專題10-1極坐標(biāo)與參數(shù)方程題型歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u講高考 1題型全歸納 3【題型一】極坐標(biāo)1：三線及三線段型 3【題型二】極坐標(biāo)2：極坐標(biāo)求面積型 6【題型三】極坐標(biāo)3：極坐標(biāo)最值型 8【題型四】極坐標(biāo)4：面積最值 11【題型五】極坐標(biāo)5：極坐標(biāo)求軌跡型 15【題型六】參數(shù)方程1：三等分點型 18【題型七】參數(shù)方程2：參數(shù)點型 21【題型八】參數(shù)方程3：最值求參 23【題型九】參數(shù)方程4：復(fù)雜參數(shù)型最值與范圍 26【題型十】參數(shù)方程5：取得最值時求對應(yīng)點的坐標(biāo)型 29【題型十一】參數(shù)方程6：交點求參數(shù)型 32專題訓(xùn)練 35講高考1.（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為．(1)寫出l的直角坐標(biāo)方程；(2)若l與C有公共點，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式處理即可；（2）方法一：聯(lián)立l與C的方程，采用換元法處理，根據(jù)新設(shè)a的取值范圍求解m的范圍即可.【詳解】（1）因為l：，所以，又因為，所以化簡為，整理得l的直角坐標(biāo)方程：（2）[方法一]：【最優(yōu)解】參數(shù)方程聯(lián)立l與C的方程，即將，代入中，可得，化簡為，要使l與C有公共點，則有解，令，則，令，，對稱軸為，開口向上，，，，即m的取值范圍為.[方法二]：直角坐標(biāo)方程由曲線的參數(shù)方程為，為參數(shù)，消去參數(shù)，可得，聯(lián)立，得，即，即有，即，的取值范圍是．【整體點評】方法一：利用參數(shù)方程以及換元，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象有交點，是該題的最優(yōu)解；方法二：通過消參轉(zhuǎn)化為直線與拋物線的位置關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，與方法一本質(zhì)上差不多，但容易忽視的范圍限制而出錯．2．（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅰ））在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）求C和l的直角坐標(biāo)方程；（2）求C上的點到l距離的最小值．【答案】（1）；；（2）【分析】（1）利用代入消元法，可求得的直角坐標(biāo)方程；根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化原則可得的直角坐標(biāo)方程；（2）利用參數(shù)方程表示出上點的坐標(biāo)，根據(jù)點到直線距離公式可將所求距離表示為三角函數(shù)的形式，從而根據(jù)三角函數(shù)的范圍可求得最值.【詳解】（1）由得：，又整理可得的直角坐標(biāo)方程為：又，的直角坐標(biāo)方程為：（2）設(shè)上點的坐標(biāo)為：則上的點到直線的距離當(dāng)時，取最小值則【點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、求解橢圓上的點到直線距離的最值問題.求解本題中的最值問題通常采用參數(shù)方程來表示橢圓上的點，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值求解問題.3．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅰ））已知曲線，直線：（為參數(shù)）.（I）寫出曲線的參數(shù)方程，直線的普通方程；（II）過曲線上任意一點作與夾角為的直線，交于點，的最大值與最小值．【答案】（I）；（II）最大值為，最小值為.【詳解】試題分析：（I）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)，得橢圓的參數(shù)方程為，消去參數(shù)即得直線的普通方程為；（II）關(guān)鍵是處理好與角的關(guān)系．過點作與垂直的直線，垂足為，則在中，，故將的最大值與最小值問題轉(zhuǎn)化為橢圓上的點，到定直線的最大值與最小值問題處理．試題解析：（I）曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．直線的普通方程為．（II）曲線C上任意一點到的距離為．則．其中為銳角，且．當(dāng)時，取到最大值，最大值為．當(dāng)時，取到最小值，最小值為．題型全歸納【題型一】極坐標(biāo)1：三線及三線段型【講題型】例題1.在極坐標(biāo)系下，曲線E的極坐標(biāo)方程為：(1)以極坐標(biāo)系的極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，求E直角坐標(biāo)方程，并說明E的軌跡是什么圖形；(2)A，B，C為曲線E上不同的三點，O為極點，，證明：為定值．【答案】(1)，軌跡為橢圓(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)方程直接轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系方程即可，隨之可判斷曲線的軌跡圖形；（2）根據(jù)極坐標(biāo)方程結(jié)合極徑的幾何意義即可證明結(jié)論.【詳解】（1）解：，所以，則所以，整理得：，軌跡為橢圓.（2）解：設(shè)，則所以：.即為定值2.例題2.在直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為，曲線的方程為以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為(1)求曲線，的極坐標(biāo)方程；(2)若，直線與曲線交于，兩點，與曲線的一個交點為點，且，求的值【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)曲線的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式，即可求解；（2）將代入曲線的極坐標(biāo)方程，得，將代入曲線的極坐標(biāo)方程，得到韋達(dá)定理，并表示，即可求.【詳解】（1）由，得，所以曲線的極坐標(biāo)方程為由，得，即，此即曲線的極坐標(biāo)方程；（2）將代入（），得將代入，得，設(shè)對應(yīng)的參數(shù)分別是，則，，所以，解得：【講技巧】極坐標(biāo)基礎(chǔ)型：【練題型】在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，圓以為圓心且與圓外切.以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求圓的極坐標(biāo)方程.(2)若射線與圓交于點，與圓交于點且，求直線的斜率.【答案】(1)(2)【分析】（1）由圓與圓外切，求出半徑，得出圓的普通方程，再由得出的極坐標(biāo)方程；（2）由題意得，所以，把代入圓的極坐標(biāo)方程，結(jié)合韋達(dá)定理求出結(jié)果.【詳解】（1）因為圓以為圓心且與圓外切，所以其半徑為.

所以圓的普通方程為.展開得由得圓的極坐標(biāo)方程為（2）由題意得所以把代入得則是的兩個根，所以，解得所以，所以，即直線的斜率為【題型二】極坐標(biāo)2：極坐標(biāo)求面積型【講題型】例題1.如圖，在極坐標(biāo)系中，曲線是以為圓心的半圓，曲線是以為圓心的圓，曲線都過極點.(1)分別寫出半圓，圓的極坐標(biāo)方程；(2)直線與曲線分別交于兩點（異于極點），求的面積.【答案】(1)：，：(2)【分析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用，寫出極坐標(biāo)方程；（2）利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換和三角形的面積的公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】（1）曲線是以為圓心的半圓，所以半圓的極坐標(biāo)方程為，曲線以為圓心的圓，轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為.故半圓，圓的極坐標(biāo)方程分別為：，（2）由（1）得：.點到直線的距離.所以.故的面積為：例題2.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程；(2)若直線，的極坐標(biāo)方程分別為，，設(shè)直線，與曲線的交點分別為和，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）先將參數(shù)方程化為普通方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程即可；（2）將，代入曲線的極坐標(biāo)方程解出，再由三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）由參數(shù)方程（為參數(shù)），消去參數(shù)可得曲線的普通方程為，把代入，得，所以曲線的極坐標(biāo)方程為.（2）將，代入曲線的極坐標(biāo)方程，可得，，又因為，所以.【講技巧】極坐標(biāo)中求面積：1.直接轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系求解2.在極坐標(biāo)系中，三角形底邊是極坐標(biāo)弦長公式求解，高，可以用極徑與夾角的極角正弦求解?！揪氼}型】1.在平面直角坐標(biāo)系中，伯努利雙紐線C（如圖）的普通方程為，直線l的參數(shù)方程為（其中為直線l傾斜角，t為參數(shù)）．(1)以O(shè)為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C和l的極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)A、B是C與x軸異于原點的交點，當(dāng)時，l與C在第一象限的交點為M，求的面積．【答案】(1)的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為(2)【分析】（1）根據(jù)普通方程與極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化方法即可得到的極坐標(biāo)方程，通過消參法可以直線的普通方程，再將其轉(zhuǎn)為極坐標(biāo)方程即可；（2）首先求出，聯(lián)立聯(lián)立,的極坐標(biāo)方程，代入求出，則得到的值，則得到三角形面積.【詳解】（1）由,則為,的極坐標(biāo)方程為,由題設(shè),應(yīng)用消參法可知:直線的普通方程為,則的極坐標(biāo)方程為.（2）由題設(shè),當(dāng)時有,即,是過原點的直線,聯(lián)立,有，且，則,又,且所以.2.已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，點的極坐標(biāo)為.(1)求直線的極坐標(biāo)方程以及曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)記為直線與曲線的一個交點，其中，求的面積.【答案】(1)直線的極坐標(biāo)方程：，曲線的直角坐標(biāo)方程(2)12【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程、直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程的知識求得正確答案.（2）聯(lián)立直線與曲線的直角坐標(biāo)，求得點的坐標(biāo)，根據(jù)極坐標(biāo)的知識求得的面積.【詳解】（1）由直線的參數(shù)方程可得直線的普通方程為，將代入得，故直線的極坐標(biāo)方程為.而曲線，即，則，故曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）由,可得或,因為，所以點，轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)為.由于點的極坐標(biāo)為，故的面積.【題型三】極坐標(biāo)3：極坐標(biāo)最值型【講題型】例題1.．?dāng)?shù)學(xué)中有許多美麗的曲線，如在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線，（）的形狀如心形（如圖），我們稱這類曲線為笛卡爾心形曲線．以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，當(dāng)時．(1)求曲線E的極坐標(biāo)方程；(2)已知P，Q為曲線E上異于O的兩點，且，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）將，代入曲線E，化簡可得答案；（2）不妨設(shè)，，，，則，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求最大值即可.【詳解】（1）將，代入曲線E，得，即，所以，E的極坐標(biāo)方程為；（2）不妨設(shè)，，即，，，而，故.例題2.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求直線、曲線的極坐標(biāo)方程；(2)若射線：分別交直線，曲線C于M、N兩點（點N異于原點О），求的最大值.【答案】(1)直線：，曲線：(2)【分析】（1）由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化可得極坐標(biāo)方程；將參數(shù)方程化為普通方程，再根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化得到極坐標(biāo)方程；（2）將代入極坐標(biāo)方程求得，利用三角恒等變換公式可將化為，由三角函數(shù)值域可求得結(jié)果.【詳解】（1）直線的直角坐標(biāo)方程為，根據(jù)轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為；曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為普通方程為，即，根據(jù)轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為；（2）∵射線：分別交直線，曲線C于M，N兩點（點N異于原點O），∴聯(lián)立，得，聯(lián)立，得，∴，故的最大值為.【練題型】1.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)射線：與曲線，分別交于點A，B（均異于極點），當(dāng)時，求的最小值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）先消去參數(shù)得到的普通方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式將轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程即可；（2）根據(jù)的定義計算，化簡計算可得，再利用即得結(jié)果.【詳解】（1）曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），消參可得普通方程為，由可得，因為，所以曲線的直角坐標(biāo)方程整理得（2）曲線根據(jù)可得對應(yīng)的極坐標(biāo)方程為整理得，聯(lián)立，得，聯(lián)立，得，因為，所以因為，所以，所以當(dāng)時，有最小值，該值為2.在極坐標(biāo)系中，若點A為曲線：上一動點，點B在射線AO上，且滿足，記動點B的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)若過極點的直線交曲線C和曲線分別于P，Q兩點，且線段PQ的中點為M，求的最大值．【答案】(1)或(2)3【分析】（1）當(dāng)點B在線段AO上時，可得到或；當(dāng)點B不在線段AO上時，設(shè)，采用相關(guān)點法可求得點B的軌跡，再綜合兩種情況可得結(jié)論．（2）當(dāng)曲線C為，此時點P，Q重合，不合題意；曲線C為，設(shè)直線：，與曲線C和曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立可得，，由此用表示出，結(jié)合正弦型函數(shù)值域求法和的單調(diào)性可求得最大值．【詳解】（1）當(dāng)點B在線段AO上時，由，得或．當(dāng)點B不在線段AO上時，設(shè)，則，所以，所以．綜上所述，曲線C的極坐標(biāo)方程為或．（2）若曲線C為，此時點P，Q重合，不合題意．若曲線C為，設(shè)直線：．由，得；由，得．因為M是線段PQ的中點，所以．因為，所以．記，則．又在上單調(diào)遞減，，故當(dāng)時，取最大值為3．【題型四】極坐標(biāo)4：面積最值【講題型】例題1.如圖，在極坐標(biāo)系中，曲線是以為圓心的半圓，曲線是以為圓心的圓，曲線、都過極點O．(1)分別寫出半圓和圓的極坐標(biāo)方程；(2)直線與曲線、分別交于M、N兩點（異于極點O），P為上的動點，求面積的最大值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）先求出曲線、的直角坐標(biāo)方程，再根據(jù)直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程即可；（2）通過聯(lián)立極坐標(biāo)方程，即可求得M、N兩點的極坐標(biāo)，進(jìn)而求得的長度，若求面積最大值，只需求點到直線距離最大，即過圓心做垂直于的線反向延長交的點為，通過直角三角形中邊與角的關(guān)系，求得圓心到直線距離，進(jìn)而求得高的最大值，即三角形面積最大值.【詳解】（1）解：因為曲線是以為圓心的半圓，且過極點O，所以半徑為2，故曲線的直角坐標(biāo)方程為：，，即，將代入化簡可得：，由，即，即，即，故，所以的極坐標(biāo)方程為；因為曲線是以為圓心的圓，且過極點O，所以圓心為，半徑為1，故的直角坐標(biāo)方程為：，即，將代入可得：圓的極坐標(biāo)方程為；（2）因為M、N是直線與曲線、的兩個交點，不妨設(shè)，由（1）得：，：，所以，所以，若面積最大，只需P點到直線MN的距離最大，因為P在上，所以當(dāng)P點為過且與直線MN垂直的直線與圓的一個交點時，距離最大，如圖所示：設(shè)與直線MN垂直于點H，因為，所以，在中，，所以點P到直線MN的最大距離為，所以面積的最大值為．例題2.如圖，在極坐標(biāo)系中，圓O的半徑為2，半徑均為1的兩個半圓弧所在圓的圓心分別為，M是半圓弧上的一個動點.(1)若點A是圓O與極軸的交點，求的最大值；(2)若點N是射線與圓O的交點，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，得到半圓弧的直角坐標(biāo)方程，從而可得的最大值；（2）根據(jù)題意，表示出，結(jié)合三角形的面積公式，即可得到，再根據(jù)三角恒等變換公式化簡，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題知，半圓弧的極坐標(biāo)方程為:，化為直角坐標(biāo)方程為:，其圓心為，半徑為，由題可知，所以（2）由題知，，，所以因為，所以，即，所以【練題型】1.在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線T的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線T經(jīng)過點.(1)求曲線T的極坐標(biāo)方程.(2)若直線和直線分別與曲線T相交于A，C和B，D兩點，求四邊形的面積的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由曲線T的參數(shù)方程得曲線T的直角坐標(biāo)方程，代入點M的直角坐標(biāo)，可求得參數(shù)，進(jìn)而由公式法化為極坐標(biāo)方程；（2）由極坐標(biāo)方程組結(jié)合韋達(dá)定理表示弦長，說明討論最值即可【詳解】（1）極坐標(biāo)的直角坐標(biāo)為，由曲線T的參數(shù)方程得曲線T的直角坐標(biāo)方程為，代入可解得，∴曲線T的直角坐標(biāo)方程為，則曲線T的極坐標(biāo)方程為；（2）設(shè)交點，由得∴，同理可得，令代替，則.由直線和直線相交可得，∴，當(dāng)時，取得最小值.2.在直角坐標(biāo)系中，已知曲線：（為參數(shù)）.經(jīng)伸縮變換后的曲線為，以原點О為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程；(2)M，N是曲線上的兩點，且，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)伸縮變換求出的普通方程，再根據(jù)根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的公式轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程（2）轉(zhuǎn)化為極角的關(guān)系，用三角函數(shù)解決.【詳解】（1）為參數(shù)，經(jīng)過伸縮變換即為參數(shù)，所以為參數(shù)，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的公式，可得（2）由（1）知曲線的普通方程為且極坐標(biāo)方程為，設(shè)的極坐標(biāo)為，則的極坐標(biāo)為，，又因為，所以，面積的取值范圍為【題型五】極坐標(biāo)5：極坐標(biāo)求軌跡型【講題型】例題1.如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，點，曲線M是以O(shè)A為直徑，為圓心的半圓，點B在曲線M上，四邊形OBCD是正方形．(1)當(dāng)時，求B，C兩點的極坐標(biāo)；(2)當(dāng)點B在曲線M上運動時，求D點軌跡的極坐標(biāo)方程．【答案】(1)點B的極坐標(biāo)為，點C的極坐標(biāo)為(2)【分析】（1）連接，可得到，通過數(shù)據(jù)可得到，即可得到點B的極坐標(biāo)，再算出，即可得到點C的極坐標(biāo)；（2）設(shè)，，通過題意可得到，通過求出曲線M的極坐標(biāo)方程即可得到點B的極坐標(biāo)方程，將上式關(guān)系代入即可得到答案【詳解】（1）連接，因為是直徑，所以，在中，，，∴，∴點B的極坐標(biāo)為，在正方形OBCD中，，，∴點C的極坐標(biāo)為；（2）設(shè)，，且①，由題意可得的直角坐標(biāo)為，所以曲線M的普通方程為即將代入曲線M的普通方程得極坐標(biāo)方程為，當(dāng)時，O，B兩點重合，不合題意，∴點B的極坐標(biāo)方程為，將①式代入得點D的極坐標(biāo)方程為例題2.如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，圓O的半徑為2，半徑均為1的兩個半圓弧，所在圓的圓心分別為，，M是半圓弧上的一個動點．(1)當(dāng)時，求點M的極坐標(biāo)；(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點，極軸Ox為x軸正半軸，的方向為y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系．若點N為線段的中點，求點N的軌跡方程．【答案】(1)(2)（為參數(shù)，且）【分析】（1）由題意得到點M的極角為，在中，利用正弦定理列出方程，求得的長，即可求解；（2）求得的參數(shù)方程為，結(jié)合線段的中點N的坐標(biāo)為，利用中點坐標(biāo)公式，即可求解.（1）解：由，，可得點M的極角為．在等腰中，由正弦定理得，即．所以，所以點M的極坐標(biāo)為．（2）解：由題意，在直角坐標(biāo)系中，點M在以為圓心，1為半徑的半圓弧上，其參數(shù)方程為（為參數(shù)，且）．設(shè)線段的中點N的坐標(biāo)為，又由點，，根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得，所以點N的軌跡方程為（為參數(shù)，且）．【練題型】1.在極坐標(biāo)系下，設(shè)點為曲線：在極軸上方的一點，且，以極點為原點，極軸為軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系．(1)求曲線的參數(shù)方程；(2)以為直角頂點，為一條直角邊作等腰直角三角形在的右下方，求點軌跡的極坐標(biāo)方程．【答案】(1)，其中為參數(shù)；(2)，【分析】先將曲線的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)系中的方程，再利用圓的參數(shù)方程即可得解；使用代入法求軌跡方程,設(shè)為，設(shè)為，再根據(jù)題意可得兩點坐標(biāo)的關(guān)系，代入，從而得點軌跡的極坐標(biāo)方程．【詳解】（1）曲線：，，，，在直角坐標(biāo)系中，曲線是以為圓心，為半徑的圓，曲線的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)；（2）設(shè)為，則，且，設(shè)為，則根據(jù)題意可得：，，又，且，，，，，點軌跡的極坐標(biāo)方程為，．2.以坐標(biāo)原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)若是上一動點，，作線段的中垂線交直線于點，求點的軌跡方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化公式直接求解即可；（2）由題知點的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線，再求其方程即可.【詳解】（1）解：因為曲線的極坐標(biāo)方程為，，所以，，即，所以，曲線的直角坐標(biāo)方程為（2）解：因為，所以其直角坐標(biāo)為所以為圓的圓心，圓的半徑為，如圖，，所以，點的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線，記為所以，焦距，，，因為中點為，即曲線的對稱中心為，所以，點的軌跡方程,即.【題型六】參數(shù)方程1：三等分點型【講題型】例題1.已知的極坐標(biāo)方程為，以極點O為坐標(biāo)原點，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，(1)求的直角坐標(biāo)方程，(2)過作直線l交圓于P，Q兩點，且，求直線l的斜率．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式即可求解；（2）設(shè)直線的傾斜角為，則直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入圓方程中化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合已知和參數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】（1）解：因為的極坐標(biāo)方程為：，且，所以，，故的直角坐標(biāo)方程為.（2）解：設(shè)直線的傾斜角為，則直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），與聯(lián)立，得．點P對應(yīng)的參數(shù)為，點Q對應(yīng)的參數(shù)為，則，因為，所以，聯(lián)立可得，解得：，所以直線的斜率為或.例題2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程：(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點，若點恰為線段AB的一個三等分點，求正數(shù)m的值．【答案】(1)l：，C：(2)【分析】（1）消去參數(shù)得直線的普通方程，利用可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）把直線轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再用幾何意義求解即可（1）直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為普通方程為；曲線C的極坐標(biāo)方程為，根據(jù)，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為；（2）將直線l的方程轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程為（n為參數(shù)），代入；得到；所以；；由于點恰為線段AB的一個三等分點，不妨設(shè)，由，，得；又，解得．【講技巧】直線參數(shù)方程，涉及到線段時，有以下基本公式【練題型】1.在直角坐標(biāo)系中，點，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為．(1)寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點M為C上的動點，點P滿足，寫出P的軌跡的參數(shù)方程，并判斷l(xiāng)與是否有公共點．【答案】(1)，：(2)，（為參數(shù)），直線l與圓沒有公共點?！痉治觥浚?）根據(jù)消參法可得曲線C的普通方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化公式可得直線的直角坐標(biāo)方程.（2）設(shè)，設(shè)，根據(jù)，即可求得P的軌跡的參數(shù)方程，表示圓，計算圓心到直線的距離，即可判斷斷l(xiāng)與是否有公共點．【詳解】（1）因為曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，所以，即曲線C的普通方程為：，因為，由，可得l的方程為：.（2）設(shè)，設(shè)，因為，所以，則，（為參數(shù)），故P的軌跡的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），所以曲線為以為圓心，半徑為4的圓，而圓心到直線l的距離為，因為，所以直線l與圓相離，故直線l與圓沒有公共點.2.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)曲線C與x軸的交點為A，B（點A在點B的左側(cè)），若直線l上存在點M，滿足，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角函數(shù)的差角公式，整理直線方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式，可得答案；（2）將參數(shù)方程整理為普通方程，求得，由題意，建立方程，將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置問題，可得答案.【詳解】（1）∵，∴，即.又∵，，∴，即直線l的直角坐標(biāo)方程為；（2）由，且，則曲線C的普通方程為，其與x軸的交點分別為，.設(shè)點，由，得，即，∴，它表示圓心為，半徑為的圓.∵點既在直線l上，又在圓E上，∴，即，∴，即實數(shù)m的取值范圍為.【題型七】參數(shù)方程2：參數(shù)點型【講題型】例題1.已知直線過點且傾斜角為150°，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為.(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)點是直線與圓面的公共點，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式直接求解即可，（2）設(shè)，圓C的圓心為，半徑為2，將直線的參數(shù)方程代入得，而直線過圓心，圓C的半徑為2，從而可求出范圍(1)由，得，所以，即(2)由（1）得圓C的圓心為，半徑為2，因為直線過點且傾斜角為150°，所以直線的參數(shù)方程為，即，（為參數(shù)）設(shè)，則，因為直線過圓心，圓C的半徑為2，點是直線與圓面的公共點，所以，所以，所以，所以的取值范圍為例題2.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）．(1)求C的直角坐標(biāo)方程；(2)點是曲線C上在第一象限內(nèi)的一動點，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）消去參數(shù)，求出普通方程，注意；（2）設(shè)出點P的三角函數(shù)坐標(biāo)，其中，利用三角函數(shù)的運算得到，結(jié)合單調(diào)性，求出最小值.(1)由題可知，，所以因為．因為，所以C的直角坐標(biāo)方程為．(2)點P（x，y）是曲線C上在第一象限內(nèi)的一動點，令，，，則，因為上式在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取得最小值．【練題型】1.在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).(Ⅰ)求曲線的極坐標(biāo)方程；(Ⅱ)若曲線向左平移一個單位,再經(jīng)過伸縮變換得到曲線，設(shè)為曲線上任一點，求的最小值，并求相應(yīng)點M的直角坐標(biāo).【答案】（I）;（Ⅱ），的坐標(biāo)為或.【詳解】試題分析：（I）消參得曲線的普通方程為曲線的極坐標(biāo)方程為；（Ⅱ）利用變換公式求得曲線的直角坐標(biāo)方程為，再利用參數(shù)法結(jié)合三角函數(shù)求得最值及相應(yīng)坐標(biāo).試題解析：（I）由（為參數(shù)）得曲線的普通方程為得曲線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅱ），向左平移一個單位再經(jīng)過伸縮變換得到曲線的直角坐標(biāo)方程為，設(shè)，則當(dāng)時，的最小值為，此時點的坐標(biāo)為或.2.已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的方程為，以為極點，軸非負(fù)半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的直角坐標(biāo)方程和橢圓的參數(shù)方程；(2)設(shè)為橢圓上任意一點，求的最大值.【答案】(1)直線的直角坐標(biāo)方程為，橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù)）；(2)9.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)題意，由參數(shù)方程的定義可得橢圓的參數(shù)方程，對直線的極坐標(biāo)方程利用兩角和的正弦展開，將，代入可得直線的普通方程；（2）根據(jù)題意，設(shè)，進(jìn)而分析可得，由三角函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案.試題解析：(1)由，得，將代入，得直線的直角坐標(biāo)方程為.橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù)）.(2)因為點在橢圓上，所以設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以.【題型八】參數(shù)方程3：最值求參【講題型】例題1.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，直線的參數(shù)方程為.(1)若，求與的交點坐標(biāo)；(2)若時，曲線上的點到距離的最大值為，求.【答案】(1)，(2)8【分析】（1）將曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，直線的參數(shù)方程化為一般方程，聯(lián)立方程可以求得交點坐標(biāo).（2）曲線上的點可以表示成，應(yīng)用點到直線的距離公式可以表示出到直線的距離，再結(jié)合距離最大值為進(jìn)行分析，即可求出的值.(1)曲線的普通方程為.當(dāng)時，直線的普通方程為.由解得或從而與的交點坐標(biāo)為，.(2)直線的普通方程為，故上的點到的距離為.當(dāng)時，的最大值為.由題設(shè)得，所以.例題2.在直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.以直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.在極坐標(biāo)系中，曲線S的極坐標(biāo)方程為.(1)①求直線l的普通方程；②當(dāng)曲線S過極坐標(biāo)系中的點時，求曲線S的直角坐標(biāo)方程.(2)若直線l與曲線S交于A、B兩點，定點，且.求m的值.【答案】(1)①；②(2)【分析】(1)①兩式相加消去參數(shù)t即可；②將點代入，求出，再化成直角坐標(biāo)方程；(2)將曲線S的極坐標(biāo)方程為化為直角坐標(biāo)方程,再將直線的參數(shù)方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，聯(lián)立可得，求解即可.(1)解：①兩式相加消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為②將，代入，得，∴，得∴曲線S的極坐標(biāo)方程為，將，代入，得曲線S的直角坐標(biāo)方程為.(2)將曲線S的極坐標(biāo)方程為化為直角坐標(biāo)方程為.將直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)）轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形式為將此式代入整理得由.解得或設(shè)A、B在直線l上對應(yīng)的參數(shù)分別是、，則，由，∵∴，整理得（*）當(dāng)時由（*）得或，當(dāng)時由（*）得（舍去）故.【練題型】1.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程，(2)設(shè)A，B分別在曲線上運動，若的最小值是1，求m的值.【答案】(1)，(2)或【分析】（1）利用三角消參得到曲線的直角坐標(biāo)方程；利用得到的直角坐標(biāo)方程；（2）利用幾何法表示出最值，解得或.(1)由消去參數(shù)，得，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為由，整理得，而，所以，即的直角坐標(biāo)方程為.(2)由（1）知曲線是圓心為，半徑的圓，則圓心到直線的距離為.所以，解得或.2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l：．以平面直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為．(1)求直線l的極坐標(biāo)方程和圓C的一個參數(shù)方程；(2)若直線l與圓C交于A，B兩點，且，求m的值．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式即可求出直線極坐標(biāo)方程，由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式可得圓的直角坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程即可；（2）求出圓心到直線的距離，再由半徑、半弦長、弦心距間的關(guān)系列出方程求解即可.(1)將代入得：即直線l的極坐標(biāo)方程為.由圓C的極坐標(biāo)方程為可得：故圓C的參數(shù)方程為.(2)點到直線l：的距離，則.【題型九】參數(shù)方程4：復(fù)雜參數(shù)型最值與范圍【講題型】例題1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中有一點，圓C的方程為點為C上的動點，M為PQ的中點.以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求點M的軌跡的極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點N的直角坐標(biāo)為，若直線l經(jīng)過點N且與曲線交于點E，F(xiàn)，弦EF的中點為D，求的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）設(shè)出，由結(jié)合即可求出點M的軌跡的直角坐標(biāo)方程，再由公式法轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程即可；（2）先寫出直線l的參數(shù)方程，由直線l與曲線交于點E，F(xiàn)求出傾斜角的范圍，將參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，由參數(shù)的幾何意義表示出，再由傾斜角的范圍求出最大值即可.(1)因為圓C的方程為，且點Q為C上的動點，所以點滿足.設(shè)，因為M為PO的中點，所以，即有，所以，整理得的軌跡方程為，又，則點M的軌跡的極坐標(biāo)方程為；(2)直線l過點，設(shè)直線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)），為直線l的傾斜角，如圖，當(dāng)直線l與相切于點時，易得，，由直線l與曲線交于點E，F(xiàn)可得，將直線l的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程得，設(shè)E，F(xiàn)對應(yīng)的參數(shù)為，則D對應(yīng)的參數(shù)為，所以，，故，即當(dāng)時，的最大值為.例題2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點，直線與曲線的交點為，，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）直接消去參數(shù)，將直線的方程化為普通方程，利用互化公式將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，得到，得到，化簡，代入韋達(dá)定理，即可得到答案(1)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)可得的普通方程為.曲線的極坐標(biāo)方程為，即，根據(jù)，可得.∴曲線的直角坐標(biāo)方程為(2)在直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）中，設(shè)點，對應(yīng)的參數(shù)分別為，，將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），代入，得，∴，.∴【練題型】1.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點A的極坐標(biāo)為，將點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到點B，按順時針方向轉(zhuǎn)得到點C．(1)求點B和點C的極坐標(biāo)，并求點B和點C的直角坐標(biāo)；(2)設(shè)P為坐標(biāo)系中的任意一點，求的最小值．【答案】(1)點B和點C的極坐標(biāo)分別為，，點B和點C的直角坐標(biāo)分別為，(2)15【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)的定義求出點B和點C的極坐標(biāo)，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可求出其直角坐標(biāo)，（2）設(shè)P的直角坐標(biāo)為，然后表示出，化簡配方后可得結(jié)果(1)由極坐標(biāo)的定義可得點B和點C的極坐標(biāo)分別為，，則點B和點C的直角坐標(biāo)分別為，．(2)因為A的極坐標(biāo)為，所以A的直角坐標(biāo)為．設(shè)P的直角坐標(biāo)為，則，當(dāng)，時，取得最小值，且最小值為15．2.已知曲線，直線為參數(shù))．（Ⅰ）寫出曲線的參數(shù)方程，直線的普通方程；（Ⅱ）過曲線上任意一點作與直線夾角為的直線，交于點，求的最大值與最小值．【答案】（Ⅰ），為參數(shù)，；（Ⅱ）最小值為，最大值為．【分析】（Ⅰ）由橢圓方程可得橢圓的參數(shù)形式，消參數(shù)可得直線的普通方程；（Ⅱ）由與直線夾角為的直線過點可得的值為到直線的距離的2倍，再由點到直線的距離公式及三角函數(shù)的取值范圍可得的最值【詳解】解：（Ⅰ）若，則曲線，為參數(shù)由題意，消參數(shù)可得直線的普通方程：；（Ⅱ）∵是曲線C上任意一點，且過P作與直線夾角為的直線，易知是點到直線的距離的兩倍∴，其中即可知：的最小值為，最大值為【題型十】參數(shù)方程5：取得最值時求對應(yīng)點的坐標(biāo)型【講題型】例題1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線方程為：（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為：(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點P、點Q分別是曲線和上的動點，求的最小值以及取得最小值時P點坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)最小值，.【分析】（1）由極坐標(biāo)方程，應(yīng)用公式法得到直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，利用點線距離公式及對勾函數(shù)的性質(zhì)求最小值，并確定P點坐標(biāo)．(1)由，而，所以的直角坐標(biāo)方程為.(2)設(shè)，則P到的距離為：，∵或，則，∴，即，此時則.例題2.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρcosθ+4ρsinθ+4=0．(1)求l的普通方程和C的參數(shù)方程；(2)已知點M是曲線C上任一點，求點M到直線l距離的最大值，并求出此時點M的坐標(biāo)．【答案】(1)；(α為參數(shù))．(2)點M到直線l距離的最大值為+1，此時點M的坐標(biāo)為．【分析】（1）利用消元法求出l的普通方程；先求出C的普通方程，再化為參數(shù)方程；（2）利用參數(shù)方程求出點M到直線l距離的最大值，進(jìn)而得到點M的坐標(biāo).(1)因為直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，兩式相加消去t可得：；因為，所以ρ2+2ρcosθ+4ρsinθ+4=0可化為：，化為參數(shù)方程為：(α為參數(shù)).(2)可設(shè)，則點M到直線l的距離為：所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得，此時，所以.所以點M到直線l距離的最大值為+1，此時點M的坐標(biāo)為．【講技巧】參數(shù)方程最值時求對應(yīng)點的坐標(biāo)，實際上就是三角函數(shù)輔助角的知識點：【練題型】1.已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的極坐標(biāo)方程為，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點在曲線上，點在直線上，求的最小值及此時點的坐標(biāo)．【答案】(1)；.(2)，點的坐標(biāo)為.【分析】（1）根據(jù)消參法可得曲線的普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式可得直線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，利用點到直線的距離公式可表示點到直線的距離，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可求得答案.（1）由曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)），得，，所以曲線的普通方程為．由直線的極坐標(biāo)方程，得．將，代入上式，得直線的直角坐標(biāo)方程為．（2）由題意，可設(shè)點的坐標(biāo)為，，則點到直線的距離．當(dāng)時，，所以，此時點的坐標(biāo)為．2.在直角坐標(biāo)系中，曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為：.(1)寫出曲線的參數(shù)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點P為曲線上一動點，求點P到直線l距離的最小值，并求出取最小值時點P的直角坐標(biāo).【答案】(1)（為參數(shù)），(2)最小值，此時點P的坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)伸縮變換的公式，結(jié)合兩角和的正弦公式、直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化公式進(jìn)行求解，（2）根據(jù)參數(shù)方程，利用點到直線距離公式，結(jié)合輔助角公式進(jìn)行求解【詳解】（1）由題意，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），經(jīng)過伸縮變換，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），由得：，化為直角坐標(biāo)方程為（2）設(shè)，點P到直線l的距離為，當(dāng)時，即，得時，點P到直線l的距離d取到最小值，此時，點P的坐標(biāo)為.【題型十一】參數(shù)方程6：交點求參數(shù)型【講題型】例題1.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線，若直線與與曲線有公共點，試求的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）消去參數(shù)即可得直線的方程，可整理為，從而得到曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）由已知可推得，代入可得，曲線的方程是，該方程表示的軌跡為圓，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可得到的取值范圍.【詳解】（1）由題（為參數(shù)），消去參數(shù)得直線；，即，即，化為直角坐標(biāo)方程可得，，即，即曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）由得，又，所以，即，所以曲線的方程是，軌跡為圓，圓心為，半徑為1，則直線與與曲線有公共點，需滿足圓心到直線的距離，即，即，解得.所以的取值范圍是.例題2.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為．(1)寫出曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)若，且直線l與曲線C沒有公共點，求m的取值范圍．【答案】(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為；直線l的直角坐標(biāo)方程為；(2).【分析】（1）結(jié)合余弦的二倍角公式消去參數(shù)，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程，將直線l的極坐標(biāo)方程化簡后利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可求得直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）將曲線C的參數(shù)方程代入到直線l的直角坐標(biāo)方程化簡得，則由題意得無解，令，，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最值，再結(jié)合可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題知，，又，所以，即曲線C的直角坐標(biāo)方程為．因為直線l的極坐標(biāo)方程為，所以，又因為，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為，即．（2）聯(lián)立l與C的方程，將代人中，可得，要使l與C沒有公共點，則無解．令，，其對稱軸為，開口向下，所以，．因為，所以，即，所以m的取值范圍為．【練題型】1.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.(1)若，寫出曲線普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；(2)若與恰一個公共點，求的值.【答案】(1)，(2)或【分析】（1）消參法求曲線方程，根據(jù)可得方程；（2）曲線C是一個圓，直線與圓只有一個交點即圓心到直線的距離為半徑可求得.【詳解】（1）若，則曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），兩式平方相加，消參數(shù)得曲線的普通方程為，由化簡得∵，，∴直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），普通方程為是圓心在原點，半徑為的圓，若與恰一個公共點，即直線與圓相切，原點到直線的距離為，解得或.2.在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)若l與C有公共點，求m的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）展開方程為，根據(jù)，，代入即可求解；（2）聯(lián)立與C的方程可得，轉(zhuǎn)化交點問題為方程有解問題，根據(jù)范圍求得范圍，即可求解.【詳解】（1）因直線的極坐標(biāo)方程為：，所以，又因為，，所以直線的直角坐標(biāo)方程為，即.（2）聯(lián)立與C的方程，即將（為參數(shù)，）代入的直角坐標(biāo)方程中，可得，即.要使與有公共點，則有解，因為，所以，所以，所以所以.1．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸為正半軸建立極坐標(biāo)，橢圓的極坐標(biāo)方程為，其右焦點為，直線與橢圓交于兩點.(1)求的值；(2)若點是橢圓上任意一點，求的面積最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)方程可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，又直線經(jīng)過點橢圓焦點，將直線參數(shù)方程代入橢圓方程，得坐標(biāo)關(guān)系，即可得的值；（2）設(shè)點P坐標(biāo)為，直線l的直角坐標(biāo)方程為，由點到直線的距離，結(jié)合三角函數(shù)的圖象性質(zhì)求得距離最大值，即可求得的面積最大值.【詳解】（1）由得橢圓的方程為，其焦點坐標(biāo)為，由題意得直線經(jīng)過點，其參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入橢圓的方程整理得，所以，所以.（2）由橢圓方