2.2.4均值不等式及其應(yīng)用第二章等式與不等式人教B版（2019）素養(yǎng)目錄

03理解算術(shù)平均值、幾何平均值的概念；04掌握兩個(gè)正變量的和或積為常數(shù)的最值問(wèn)題；05掌握均值不等式的實(shí)際應(yīng)用.新知導(dǎo)入給定兩個(gè)正數(shù)a，b，數(shù)稱為a，b的算術(shù)平均值；數(shù)稱為a，b的幾何平均值．兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值，實(shí)質(zhì)上是這兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)，那么幾何平均值有什么幾何意義呢？?jī)蓚€(gè)數(shù)的算術(shù)平均值和幾何平均值之間有什么相對(duì)大小關(guān)系呢？探究新知【嘗試與發(fā)現(xiàn)】(1)假設(shè)一個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬分別為

a和

b，求與這個(gè)矩形周長(zhǎng)相等的正方形的邊長(zhǎng)，以及與這個(gè)矩形面積相等的正方形的邊長(zhǎng)，并比較這兩個(gè)邊長(zhǎng)的大??；探究新知【嘗試與發(fā)現(xiàn)】（2）如下表所示，再任意取幾組正數(shù)，算出它們的算術(shù)平均值和幾何平均值，猜測(cè)一般情況下兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值與幾何平均值的相對(duì)大小，并根據(jù)（1）說(shuō)出結(jié)論的幾何意義．a(chǎn)1246810b146810121357

9

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一般地，如果a，b都是正數(shù)，那么均值不等式當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．探究新知證明因?yàn)閍，b都是正數(shù)，所以即

而且，等號(hào)成立時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即a＝b．值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正實(shí)數(shù)，因此我們可以代入任意滿足條件的數(shù)或式子，比如

一定是正確的．探究新知均值不等式也稱為基本不等式（基本不等式中的a，b還可以為零），其實(shí)質(zhì)是：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值．【思考】均值不等式有什么幾何意義呢？探究新知將均值不等式兩邊平方可得≥ab．如果矩形的長(zhǎng)和寬分別為a和b，那么矩形的面積為ab，

可以看成與矩形周長(zhǎng)相等的正方形的面積，因此均值不等式的一個(gè)幾何意義為：所有周長(zhǎng)一定的矩形中，正方形的面積最大．探究新知【想一想】你能推廣這個(gè)結(jié)論嗎？比如所有周長(zhǎng)相等的三角形中，什么樣的三角形面積最大？平面上，周長(zhǎng)相等的所有封閉圖形中，什么樣的圖形面積最大？周長(zhǎng)相等的三角形中，正三角形的面積最大.平面上，周長(zhǎng)相等的所有封閉圖形中，圓的面積最大，當(dāng)周長(zhǎng)一定時(shí)，正多邊形的面積隨著邊數(shù)的增加而增加，當(dāng)邊數(shù)趨近于正無(wú)窮時(shí)，邊長(zhǎng)趨近于一個(gè)點(diǎn)，正多邊形的形狀趨近圓，故圓的面積最大.探究新知【探索與研究】如圖所示的半圓中，AB為直徑，O為圓心．已知AC＝a，BC＝b，D為半圓上一點(diǎn)，且DC⊥AB，算出OD和CD，是否可以給出均值不等式的另一個(gè)幾何意義？探究新知【結(jié)論】均值不等式的幾何意義是：一個(gè)圓的直徑大于等于垂直該直徑的弦.CD＝

，OD＝

，由圖可知OD≥CD，所以

，變形為a＋b≥

．探究新知例1已知

x＞0，求

y＝x＋的最小值，并說(shuō)明

x為何值時(shí)

y取得最小值．探究新知

探究新知解：(1)設(shè)矩形的長(zhǎng)與寬分別為

x與

y，依題意得

xy＝100．所以2(x＋y)≥40．因?yàn)?/p>

x＞0，y＞0，所以

，因此，當(dāng)矩形的長(zhǎng)和寬都是10時(shí)，它的周長(zhǎng)最短，最短周長(zhǎng)為40．當(dāng)且僅當(dāng)

x＝y(tǒng)時(shí)，等號(hào)成立，由

，可知此時(shí)

x＝y(tǒng)＝10．例3

(1)已知矩形的面積為100，則這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最短？最短周長(zhǎng)是多少？分析：在

(1)中，矩形的長(zhǎng)與寬的積是一個(gè)常數(shù)，要求長(zhǎng)與寬之和的兩倍的最小值；探究新知例3(2)已知矩形的周長(zhǎng)為36，則這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，它的面積最大？最大面積是多少？分析：在

(2)中，矩形的長(zhǎng)與寬之和的兩倍是一個(gè)常數(shù)，要求長(zhǎng)與寬的積的最大值．解：

(2)設(shè)矩形的長(zhǎng)與寬分別為

x與

y，依題意得2

(x＋y)＝36，即

x＋y＝18．因?yàn)?/p>

x＞0，y＞0，所以

，因此

≤9，即

xy≤81.當(dāng)且僅當(dāng)

x＝y(tǒng)時(shí)，等號(hào)成立，由

，可知此時(shí)

x＝y(tǒng)＝9．因此，當(dāng)矩形的長(zhǎng)和寬都是9時(shí)，它的面積最大，最大面積為81．探究新知【結(jié)論】當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有最大值.探究新知例5已知

a，b是實(shí)數(shù)，求證：a2＋b2≥2ab．并說(shuō)明等號(hào)成立的條件.證明：因?yàn)?/p>

a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以

a2＋b2－2ab≥0，即

a2＋b2≥2ab．等號(hào)成立時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)

(a－b)2＝0，即

a＝b．例5的結(jié)論也是經(jīng)常要用的.均值不等式與例

5

的結(jié)論既有聯(lián)系，又有區(qū)別.區(qū)別在于例5中去掉了a，b

是正數(shù)的條件，聯(lián)系在于均值不等式可以看成例5結(jié)論的一種特殊情況.探究新知例6已知a，b∈R，求證：

(1)(a＋b)2≥4ab；

(2)2(a2＋b2)≥(a＋b)2．證明：(1)因?yàn)?/p>

a2＋b2≥2ab，兩邊同時(shí)加上2ab，得a2＋b2＋2ab≥4ab，即

(a＋b)2≥4ab；探究新知證明：(2)因?yàn)?/p>

a2＋b2≥2ab，兩邊同時(shí)加上

a2＋b2，得2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，即

2(a2＋b2)≥(a＋b)2．(a＋b)2≥4ab以及

2(a2＋b2)≥(a＋b)2都是均值不等式的變形，其中

2(a2＋b2)≥(a＋b)2又常變形為