幻燈片1：封面標題：18.3.2異分母分式相加減副標題：人教版初中數(shù)學（八年級上冊）制作人：[你的名字]日期：[具體日期]銜接提示：在上一課時，我們深入學習了同分母分式相加減的法則與運算，今天將目光聚焦于更為復雜的異分母分式相加減。異分母分式相加減的關(guān)鍵在于通過通分，將其轉(zhuǎn)化為我們熟悉的同分母分式相加減，進而運用已學知識求解，這是分式運算體系中的重要一環(huán)?；脽羝?：課程導入舊知回顧：同分母分式相加減法則：分母不變，分子相加減，結(jié)果化為最簡分式或整式。如\(\frac{3}{x}+\frac{1}{x}=\frac{3+1}{x}=\frac{4}{x}\)，\(\frac{5y}{2z}-\frac{3y}{2z}=\frac{5y-3y}{2z}=\frac{2y}{2z}=\frac{y}{z}\)。分數(shù)的通分：把幾個異分母分數(shù)化為與原來分數(shù)相等的同分母分數(shù)。如\(\frac{1}{2}\)與\(\frac{1}{3}\)通分，2和3的最小公倍數(shù)是6，則\(\frac{1}{2}=\frac{1??3}{2??3}=\frac{3}{6}\)，\(\frac{1}{3}=\frac{1??2}{3??2}=\frac{2}{6}\)。情境問題：類比分數(shù)通分，對于分式\(\frac{1}{x}\)與\(\frac{1}{2x}\)，如何將它們化為同分母分式？若要計算\(\frac{1}{a+1}+\frac{2}{a-1}\)，該如何著手？今天，我們將探究異分母分式相加減的方法，解決此類問題?；脽羝?：異分母分式相加減法則的推導與表述1.法則推導（類比分數(shù)）：分數(shù)中，異分母分數(shù)如\(\frac{1}{3}\)與\(\frac{1}{4}\)，先通分，3和4的最小公倍數(shù)是12，\(\frac{1}{3}=\frac{1??4}{3??4}=\frac{4}{12}\)，\(\frac{1}{4}=\frac{1??3}{4??3}=\frac{3}{12}\)，再按同分母分數(shù)相加減，\(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{4+3}{12}=\frac{7}{12}\)。分式中，異分母分式\(\frac{A}{B}\)與\(\frac{C}{D}\)（B≠0，D≠0），通分就是找到B和D的最簡公分母M，將\(\frac{A}{B}\)化為\(\frac{A??\frac{M}{B}}{B??\frac{M}{B}}=\frac{A??\frac{M}{B}}{M}\)，\(\frac{C}{D}\)化為\(\frac{C??\frac{M}{D}}{D??\frac{M}{D}}=\frac{C??\frac{M}{D}}{M}\)，此時變?yōu)橥帜阜质剑赐帜阜质较嗉訙p法則，\(\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{A??\frac{M}{B}}{M}+\frac{C??\frac{M}{D}}{M}=\frac{A??\frac{M}{B}+C??\frac{M}{D}}{M}\)。合理性驗證：根據(jù)分式基本性質(zhì)，通分過程中分子分母同乘非零整式，分式值不變，化為同分母分式后，運算符合同分母分式相加減法則，且分母不為0保證分式有意義。2.法則表述：文字語言：異分母分式相加減，先通分，化為同分母分式，再按同分母分式相加減的法則進行計算。符號語言：\(\frac{A}{B}?±\frac{C}{D}=\frac{AD}{BD}?±\frac{BC}{BD}=\frac{AD?±BC}{BD}\)（B≠0，D≠0，A、B、C、D為整式）。關(guān)鍵強調(diào)：通分是核心步驟：準確找到最簡公分母，這依賴對分母因式分解等知識的運用。遵循運算順序：先通分，再進行同分母分式運算，最后化簡結(jié)果為最簡分式或整式。幻燈片4：通分的關(guān)鍵——確定最簡公分母1.最簡公分母的定義：各分母所有因式的最高次冪的積。2.確定最簡公分母的方法：分母為單項式時：取各系數(shù)的最小公倍數(shù)。如\(\frac{1}{3x^2}\)與\(\frac{1}{4x}\)，3和4的最小公倍數(shù)是12。相同字母取最高次冪，這里\(x\)的最高次冪是\(x^2\)。不同字母直接相乘。所以最簡公分母是\(12x^2\)。分母為多項式時：先對分母進行因式分解。如\(\frac{1}{x^2-4}\)與\(\frac{1}{x^2+2x}\)，\(x^2-4=(x+2)(x-2)\)，\(x^2+2x=x(x+2)\)。取各因式的最高次冪，\((x+2)\)取一次，\((x-2)\)取一次，\(x\)取一次。相乘得到最簡公分母\(x(x+2)(x-2)\)?；脽羝?：例題講解（異分母分式加法）例題1（分母為單項式的加法）：計算\(\frac{1}{2x}+\frac{1}{3x}\)（x≠0）。解題步驟：確定最簡公分母：2和3的最小公倍數(shù)是6，\(x\)的最高次冪是\(x\)，所以最簡公分母是\(6x\)。通分：\(\frac{1}{2x}=\frac{1??3}{2x??3}=\frac{3}{6x}\)，\(\frac{1}{3x}=\frac{1??2}{3x??2}=\frac{2}{6x}\)。按同分母分式加法法則計算：\(\frac{3}{6x}+\frac{2}{6x}=\frac{3+2}{6x}=\frac{5}{6x}\)。例題2（分母為多項式的加法）：計算\(\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x^2-1}\)（x≠±1）。解題步驟：對分母因式分解：\(x^2-1=(x+1)(x-1)\)。確定最簡公分母：為\((x+1)(x-1)\)。通分：\(\frac{1}{x-1}=\frac{1??(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}\)，\(\frac{2}{x^2-1}\)保持不變。計算：\(\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}+\frac{2}{(x+1)(x-1)}=\frac{x+1+2}{(x+1)(x-1)}=\frac{x+3}{(x+1)(x-1)}\)?；脽羝?：例題講解（異分母分式減法）例題3（分母為單項式的減法）：計算\(\frac{3}{4y}-\frac{1}{6y}\)（y≠0）。解題步驟：確定最簡公分母：4和6的最小公倍數(shù)是12，\(y\)的最高次冪是\(y\)，最簡公分母為\(12y\)。通分：\(\frac{3}{4y}=\frac{3??3}{4y??3}=\frac{9}{12y}\)，\(\frac{1}{6y}=\frac{1??2}{6y??2}=\frac{2}{12y}\)。按同分母分式減法法則計算：\(\frac{9}{12y}-\frac{2}{12y}=\frac{9-2}{12y}=\frac{7}{12y}\)。例題4（分母為多項式，含符號處理的減法）：計算\(\frac{x}{x+2}-\frac{x-1}{x^2-4}\)（x≠±2）。解題步驟：對分母因式分解：\(x^2-4=(x+2)(x-2)\)。確定最簡公分母：為\((x+2)(x-2)\)。通分：\(\frac{x}{x+2}=\frac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)}\)，\(\frac{x-1}{x^2-4}\)保持不變。計算：\(\frac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)}-\frac{x-1}{(x+2)(x-2)}=\frac{x(x-2)-(x-1)}{(x+2)(x-2)}\)去括號：\(=\frac{x^2-2x-x+1}{(x+2)(x-2)}\)合并同類項：\(=\frac{x^2-3x+1}{(x+2)(x-2)}\)。幻燈片7：異分母分式加減與同分母分式加減的對比對比維度異分母分式相加減同分母分式相加減聯(lián)系與區(qū)別運算步驟先通分，化為同分母分式，再按同分母分式法則計算分母不變，直接分子相加減異分母分式加減需多一步通分轉(zhuǎn)化，最終都歸結(jié)為同分母分式運算關(guān)鍵要點通分確定最簡公分母準確進行分子運算通分是異分母分式運算關(guān)鍵，同分母分式關(guān)鍵在分子運算準確性示例（加法）\(\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}=\frac{2}{2x}+\frac{1}{2x}=\frac{3}{2x}\)\(\frac{2}{x}+\frac{3}{x}=\frac{2+3}{x}=\frac{5}{x}\)示例均體現(xiàn)各自運算規(guī)則，異分母先通分，同分母直接運算示例（減法）\(\frac{2}{x^2-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{2}{(x+1)(x-1)}-\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}=\frac{2-(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{1-x}{(x+1)(x-1)}=-\frac{1}{x+1}\)\(\frac{5}{x}-\frac{3}{x}=\frac{5-3}{x}=\frac{2}{x}\)異分母減法先通分再運算，同分母直接減，結(jié)果都需化簡幻燈片8：課堂練習（分層鞏固）基礎(chǔ)題：計算下列異分母分式加法：①\(\frac{1}{3x}+\frac{1}{5x}\)（x≠0）；②\(\frac{1}{a+1}+\frac{a}{a^2-1}\)（a≠±1）。計算下列異分母分式減法：①\(\frac{3}{2y}-\frac{1}{3y}\)（y≠0）；②\(\frac{2}{x^2-9}-\frac{1}{x-3}\)（x≠±3）。提升題：3.計算：①\(\frac{x}{x^2-4}+\frac{1}{x+2}\)（x≠±2）；②\(\frac{2}{x^2-2x}-\frac{1}{x^2-4}\)（x≠0，x≠2，x≠-2）。已知\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3\)，求\(\frac{x+y}{xy}\)的值（提示：先對\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)通分計算）。解題提示：第1題①：最簡公分母是\(15x\)，結(jié)果為\(\frac{5+3}{15x}=\frac{8}{15x}\)；②：\(a^2-1=(a+1)(a-1)\)，最簡公分母是\((a+1)(a-1)\)，結(jié)果為\(\frac{a-1+a}{(a+1)(a-1)}=\frac{2a-1}{(a+1)(a-1)}\)。第2題①：最簡公分母是\(6y\)，結(jié)果為\(\frac{9-2}{6y}=\frac{7}{6y}\)；②：\(x^2-9=(x+3)(x-3)\)，最簡公分母是\((x+3)(x-3)\)，結(jié)果為\(\frac{2-(x+3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{-x-1}{(x+3)(x-3)}\)。第3題①：\(x^2-4=(x+2)(x-2)\)，最簡公分母是\((x+2)(x-2)\)，結(jié)果為\(\frac{x+x-2}{(x+2)(x-2)}=\frac{2(x-1)}{(x+2)(x-2)}\)；②：\(x^2-2x=x(x-2)\)，\(x^2-4=(x+2)(x-2)\)，最簡公分母是\(x(x+2)(x-2)\)，結(jié)果為\(\frac{2(x+2)-x}{x(x+2)(x-2)}=\frac{x+4}{x(x+2)(x-2)}\)。第4題：\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y}{xy}+\frac{x}{xy}=\frac{x+y}{xy}=3\)?；脽羝?：易錯點與注意事項通分錯誤：確定最簡公分母出錯。如計算\(\frac{1}{x^2-1}+\frac{1}{x-1}\)，誤將最簡公分母定為\(x-1\)，正確應(yīng)為\((x+1)(x-1)\)。通分過程中分子漏乘相應(yīng)因式。如\(\frac{1}{2x}\)通分后寫成\(\frac{1}{4x}\)（應(yīng)為\(\frac{2}{4x}\)）。符號問題：去括號時符號出錯。如計算\(\frac{x}{x-1}-\frac{x+1}{x^2-1}\)，去括號后\(\frac{x(x+1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)}\)誤【2024新教材】2025-2026學年人教版數(shù)學

八年級上冊

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18.3.2異分母分式相加減第18章

分式aiTujmiaNg數(shù)的混合運算的順序是什么？你能將它們推廣，得出分式的混合運算順序嗎？分式的混合運算順序：“從高到低、從左到右、括號從小到大”．

知識點分式的混合運算探究新知例1

計算：這道題的運算順序是怎樣的？

素養(yǎng)考點1較簡單的分式的混合運算探究新知探究新知解：對于不帶括號的分式混合運算：(1)運算順序：先乘方，再乘除，然后加減；(2)計算結(jié)果要化為分式的最簡形式或整式．化簡的結(jié)果是(

)A.a–bB.a+b

C.

D.B鞏固練習計算：=(

)A.B.C.

D.A例2

計算：素養(yǎng)考點2較復雜的分式的混合運算探究新知解:原式探究新知解:原式

對于帶括號的分式混合運算：(1)將各分式的分子、分母分解因式后，再進行計算；(2)先算乘方，再算乘除，最后算加減，若有括號，先算括號內(nèi)的；(3)計算結(jié)果要化為最簡分式或整式．探究新知歸納總結(jié)=解：(按運算順序)

原式=(利用乘法分配律)原式鞏固練習用兩種方法計算：

解題不要拘泥于基本思路，要善于捕捉有用信息，根據(jù)題目的特點，選擇合適的方法靈活處理，可能會收到事半功倍的效果.素養(yǎng)考點3已知分式恒等式，確定分子或分母探究新知例3已知其中A，B為常數(shù)，求A+B的值.解：∵又∵∴∴鞏固練習對于任意的x值都有

則M，N的值為（

）A.M=1，N=3B.M=﹣1，N=3