專題03一元二次方程根與系數的關系重難點題型專訓（2個知識點+8大題型+4大拓展訓練+自我檢測）題型一利用根與系數的關系直接求代數式的值題型二利用根與系數的關系間接求代數式的值題型三利用根與系數的關系降次求代數式的值題型四利用根與系數的關系求參數的值題型五利用根與系數的關系判斷根的情況題型六根的代入與根與系數的關系結合問題題型七根與系數的關系中新定義問題題型八根與系數關系的多結論判斷問題拓展訓練一利用根與系數關系判斷說法正誤綜合拓展訓練二利用根與系數關系求參綜合拓展訓練三根與系數關系的新考法拓展訓練四一元二次方程根與系數關系的綜合知識點一、一元二次方程根與系數的關系比較等式兩邊對應項的系數，得①式與②式也可以運用求根公式得到．人們把公式①與②稱之為韋達定理，即根與系數的關系⑴韋達定理（根與系數的關系）：⑷其他：⑸韋達定理（根與系數的關系）主要應用于以下幾個方面：已知方程的一個根，求另一個根以及確定方程參數的值；已知方程，求關于方程的兩根的代數式的值；已知方程的兩根，求作方程；結合根的判別式，討論根的符號特征；逆用構造一元二次方程輔助解題：當已知等式具有相同的結構時，就可以把某兩個變元看作某個一元二次方程的兩根，以便利用韋達定理；⑤利用韋達定理求出一元二次方程中待定系數后，一定要驗證方程的．一些考試中，往往利用這一點設置陷阱．【即時訓練】A． B． C．1 D．3【答案】A【詳解】解：設方程的另一個根為m，∴方程的另一個根為，故選：A．【答案】【詳解】解：設，為方程的兩個根，故答案為：．知識點二、一元二次方程根與系數的關系應用1.已知方程的一個根，求方程的另一個根及待定系數2.求與兩個根有關的代數式的值3.不解方程，判定根的符號除了以上幾種應用外，利用根與系數的關系還可以求出關于、的對稱式的值，涉及到的變形如下：【即時訓練】【答案】162．（2425九年級上·湖南永州·期中）已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m+6＝0的兩實數根，且x12+x22＝5，求m的值是多少？【答案】m＝﹣4．【詳解】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+（m+1）x+m+6＝0的兩個實數根，∴（m+1）2﹣2（m+6）＝5，又∵方程x2﹣mx+2m﹣1＝0有兩個實數根，∴△＝（m+1）2﹣4（m+6）≥0，∴當m＝4時，△＝25﹣40＝﹣15＜0，舍去；故符合條件的m的值為m＝﹣4．【點睛】本題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．通過變形可以得到關于待定系數的方程解決問題．【經典例題一利用根與系數的關系直接求代數式的值】A．1 B．2 C．3 D．0【答案】D，故選：D．A．2014 B．0 C．2015 D．1【答案】C【分析】先根據一元二次方程的解的定義得到m2m1=0，即m2m=1，則（m2m+2014）（m+n）可化簡為2015（m+n），再根據根與系數的關系得到m+n=1，利用整體代入的方法計算即可．【詳解】∵m是方程x2x1=0的根，∴m2m1=0，即m2m=1，∴（m2m+2014）（m+n）=（1+2014）?（m+n）=2015（m+n），∵方程x2x1=0的兩個實根是m、n，∴m+n=1，∴（m2m+2014）（m+n）=2015×1=2015，故選C．【點睛】本題考查了一元二次方程的解、一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.一元二次方程根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個實數根，那么x1+x2=，x1x2=.【答案】2，故答案為：2本題考查了新定義運算、一元二次方程根與系數之間的關系，解題的關鍵是熟知新定義運算的法則．(1)求實數的取值范圍；(2)【分析】本題考查了根與系數的關系以及一元二次方程的解，根的判別式等知識，牢記兩根之和等于，兩根之積等于是解題的關鍵；【經典例題二利用根與系數的關系間接求代數式的值】【答案】A故選A．【點睛】本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．A．2 B．5 C．4 D．3【答案】B故選：B．【答案】4故答案為：4．【答案】(1)①是；②12【分析】本題考查了新定義題目，解題關鍵是要讀懂題目中的新定義，根據新定義即可解題．（1）根據“3倍根方程”定義進行判斷即可；故答案為：是；故答案為：12；∵方程是3倍根方程∴此方程是3倍根方程．【經典例題三利用根與系數的關系降次求代數式的值】A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C故選；C．A．1 B．3 C．3 D．2【答案】D故選D．【點睛】本題考查了方程解的定義及根與系數的關系，利用整體思想解決問題較為簡單．【答案】根據一元二次方程的根與系數的關系可得：，故答案為：．【答案】13；故答案為：13【答案】(1)，(2)，(3)【經典例題四利用根與系數的關系求參數的值】【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式的意義，根與系數的關系；故選：D．A．或1 B．1 C．3或 D．【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，根的判別式．∵原方程有實數根，故選：B．【答案】【分析】此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合是解題的關鍵．首先根據根的判別式求得m的取值范圍，然后由根與系數的關系來求m的值．的值是.故答案為：【答案】【詳解】解：∵方程有兩個實數根，∴符合條件的m的值為任意實數．∴m的值為．故答案為：．【答案】(1)(2)18(3)3故答案為：；的值為整數，【點睛】本題考查代數式求值，完全平方公式，一元二次方程根與系數的關系，分式的值等，解題的關鍵是綜合運用上述知識點，第二問注意先將一元二次方程轉化一般式，第三問注意分式的分母不能為0．【經典例題五利用根與系數的關系判斷根的情況】A．沒有實數根 B．有兩個正實數根C．兩根之積為 D．兩根之和為1【答案】C∴原方程有兩個不相等的實數根，∴方程的兩個實數根為一正一負，∴四個選項中只有C選項說法正確，符合題意；故選：C．A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】B綜上，①③④均正確，故選：B．【詳解】解；設方程的兩一個根為m，【答案】∴分情況討論：故答案為：．4．（2425九年級上·湖南婁底·期中）閱讀材料：根據上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：【答案】(1)，；(2)；(3)的最大值為．（）根據根與系數的關系進行求解即可；故答案為：，；∴，∴的最大值為．【經典例題六根的代入與根與系數的關系結合問題】A．嘉嘉，淇淇都對 B．嘉嘉對，淇淇不對C．嘉嘉不對，淇淇對 D．嘉嘉，淇淇都不對【答案】A故選：．正確的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D∴是方程Q的一個根，故③正確；綜上，正確的有①②③④，共4個，故答案為：D．【答案】【分析】本題考查了公式法解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，根據題意分別將，，代入原方程，解方程，即可求解．故答案為：．3．（2425九年級上·湖南湘潭州·階段練習）小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道二次項系數為1的一元二次方程時，小影在化簡過程中寫錯了常數項，因而得到方程的兩個根是6和1；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數，因而得到方程的兩個根是和．原來的方程是．∵小影在化簡過程中寫錯了常數項，得到方程的兩個根是6和1；4．（2425九年級上·湖南株洲·階段練習）問題：小明在思考時，感覺無從下手，就去請教學霸小剛，小剛審題后思考了片刻，對小明說∶我們可以構造一個一元二次方程，利用一元二次方程根與系數的關系及整體代入即可解答，并寫下了部分解題過程供小明參考：…請你根據小剛的思路完整地解答本題．∴方程兩個根分別是1和，【經典例題七根與系數的關系中新定義問題】A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】根據新定義的計算公式分別計算判斷．故選：．【點睛】此題考查了新定義運算，正確理解計算公式，掌握有理數混合運算法則，整式混合運算法則，一元二次方程根與系數的關系式是解題的關鍵．A．—1 B．0 C．1 D．與m有關【答案】B=0．故選B．【點睛】本題考查了新定義運算，一元二次方程根與系數關系，平方差公式，熟練掌握根與系數關系，正確理解新定義是解題的關鍵．3．（2425九年級上·湖南常德·期末）對于實數a,b,定義運算“*”：a*b=例如：４*2，因為4＞2，所以4*2=424×2=8，若是一元二次方程x25x+6=0的兩個根，則=．【答案】±3考點：一元二次方程的根．（1）求（﹣7）*（﹣2）的值；（2）若x1，x2是一元次方程x2﹣5x﹣6＝0的兩個根，求x1*x2的值．【答案】（1）10；（2）42．【分析】（1）根據題中的新定義化簡，計算即可得到結果；（2）求出已知方程的解得到x1與x2的值，利用題中新定義計算即可得到結果．【詳解】解：（1）∵﹣7＜﹣2，∴（﹣7）*（﹣2）＝14﹣4＝10；（2）方程x2﹣5x﹣6＝0變形得：（x+1）（x﹣6）＝0，解得：x＝﹣1或x＝6，當x1＝﹣1，x2＝6時，x1*x2＝﹣6﹣36＝﹣42；當x1＝6，x2＝﹣1時，x1*x2＝36+6＝42．【點睛】此題考查了根與系數的關系，實數的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【經典例題八根與系數關系的多結論判斷問題】A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D①∵關于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個整數根且乘積為正，關于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數根且乘積為正，∴x1?x2=2n＞0，y1?y2=2m＞0，∵x1+x2=2m，y1+y2=2n，∴這兩個方程的根都是負根，①正確；②∵關于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個整數根且乘積為正，關于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數根且乘積為正，∴4m28n≥0，4n28m≥0，∴m22n≥0，n22m≥0，∴（m1）2+（n1）2=m22n+1+n22m+1≥2，②正確；③∵y1?y2=2m，y1+y2=2n，∴2m2n=y1?y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）1，∵y1、y2均為負整數，∴（y1+1）（y2+1）≥0，∴2m2n≥1．∵x1?x2=2n，x1+x2=2m，∴2n2m=x1?x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）1，∵x1、x2均為負整數，∴（x1+1）（x2+1）≥0，∴2n2m≥1，即2m2n≤1．∴1≤2m2n≤1，③成立．綜上所述：成立的結論有①②③．故選D．【點睛】本題主要考查了根與系數的關系及一元二次方程的根的判別式，根據不同結論靈活運用根與系數的關系是解決本題的關鍵,也是解決問題的難點．以上結論正確的個數有（

）個．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】此題考查了解一元二次方程、一元二次方程根與系數關系、一元二次方程根的判別式等知識，利用因式分解法解①得到的方程，即可判斷①，利用分類討論即可判斷②，利用一元二次方程的根與系數關系和公式法解方程即可判斷③．故選項①正確；故選項②錯誤；故選項③錯誤，∴正確的是①，故選：B【答案】①②④故①正確；故②正確；故③錯誤；故④正確；故答案為：①②④．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的個數，根與系數的關系．解題的關鍵在于對方程兩根之和與兩根之積的靈活運用．【答案】①③【分析】將x=2代入方程，然后兩式相減進行計算，從而判斷①；設一元二次方程x2+ax+b=0的另一個根為m，x2+cx+d=0的另一個根為n，利用一元二次方程根與系數的關系求得m+2=a，2m=b，n+2=c，2n=d，然后代入計算并利用完全平方式的非負性判斷②；將方程變形為（2m+2n）x2+（m2n2）x+2=0，然后x=代入方程進行驗證，從而判斷③．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程x2+ax+b=0，x2+cx+d=0有一個公共解2，∴22+2a+b=0①，22+2c+d=0②，②①，得：2（ca）+db=0，2（ca）=bd，設一元二次方程x2+ax+b=0的另一個根為m，x2+cx+d=0的另一個根為n，∴m+2=a，2m=b，n+2=c，2n=d，∴a24b=[（m+2）]24×2m=（m2）2≥0，c24d=[（n+2）]24×2n=（n2）2≥0，∴a24b+c24d≥0，∴a2+c2≥4b+4d，∵m+2=a，2m=b，n+2=c，2n=d，∴一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2=0可變形為：（2m+2n）x2+（m2n2）x+2=0，當x=時，左邊=（2m+2n）×（）2+（m2n2）×+2=0=右邊，∴x=是一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2=0的一個解，故③正確，故答案為：①③．【點睛】本題考查一元二次方程的解，一元二次方程根與系數的關系，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根與系數的關系是解題關鍵．4．（2425九年級上·湖南株洲·期中）閱讀理解．【分析】本題主要考查新定義下一元二次方程根與系數的關系，掌握并靈活運用新定義是解題的關鍵．（1）根據“密友方程”的定義寫出對應的“密友方程”即可；（2）因式分解法求出每個方程的兩個實數根，原方程與“密友方程”的根得出規(guī)律，即可求解；或者敘述為：原方程的兩根分別與“密友方程”的兩根互為倒數．原方程的兩根與“密友方程”的兩根分別互為倒數．【拓展訓練一利用根與系數關系判斷說法正誤綜合】A．嘉嘉說得對 B．琪琪說得對C．珍珍說得對 D．三名同學說法都不對【答案】A【分析】本題考查根據判別式判斷一元二次方程根的情況和根與系數關系，解題關鍵是熟練掌握根的判別式及根據根據判別式判斷一元二次方程根的情況．由題意得出系數后，根據根的判別式判斷方程有兩個不相等的實數根，再由兩根之積為負數得出兩根異號即可求解．∴不管為何值時，方程均有兩個不相等的實數根，綜上所述：嘉嘉說法正確，琪琪、珍珍說法錯誤．故選：A．其中正確的結論有．（寫出所有正確說法的序號）【答案】（1）（3）【分析】本題考查了新定義方程，一元二次方程的解，根與系數的關系，掌握相關知識是解題的關鍵．∴符合題意的有（1）（3），故答案為：（1）（3）．你認為他們的解法中是否有正確的？如果有，指出哪位同學的解法正確；如果沒有，寫出正確的解法．小敏：小霞：【答案】（1）都不正確，過程見解析；（2）2【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；【詳解】（1）解：都不正確，∴m的值為2．【點睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與系數的關系，完全平方公式的變形．熟練掌握因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與系數的關系，完全平方公式的變形是解題的關鍵．【拓展訓練二利用根與系數關系求參綜合】(1)求m的取值范圍；(2)3（1）根據一元二次方程根的判別式即可求出答案；（2）根據一元二次方程根與系數的關系即可求出答案．另一個根的值是3．這就是一元二次方程根與系數的關系，根據上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：①求證：不論為何值，該方程總有兩個實數根；【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，一元二次方程的判別式，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．材料理解：根據一元二次方程根與系數的關系進行計算即可；【詳解】材料理解：故答案為：，；類比運用：∴不論m為何值，該方程總有兩個實數根；【答案】(1)不是(2)或【分析】本題考查了新定義運算，解一元二次方程，根的判別式，根與系數的關系，理解新定義是解題的關鍵．（1）根據“韋達定理”計算即可判斷；故答案為：不是；【拓展訓練三根與系數關系的新考法】甲：這個方程有兩個不相等的實數根；老師看后說只有兩個同學的結論是錯誤的，則這兩位同學是（

）A．甲和乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．丙和丁【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程根與系數的關系、解一元二次方程，根據以上知識點逐項分析即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．∴這個方程有兩個不相等的實數根，故甲正確；故選：C．【分析】此題考查了一元二次方程根與系數關系和分式方程的解法，熟練掌握一元二次方程根與系數關系和分式方程的解法是解題的關鍵．故答案為：；3．（2425九年級上·湖南張家界·期中）類比是探索發(fā)現的重要途徑，是發(fā)現新問題、新結論的重要方法．學習再現：類比推廣：問題解決：拓展提升：【答案】（）；（）；（）本題考查了一元二次方程根和系數的關鍵，一元二次方程根的判別式，多項式的乘法運算，掌握一元二次方程中根與系數的關系以及多項式乘以多項式的運算法則是解題的關鍵．【詳解】解：（）根據學習材料提示得，故答案為：；∴正數的最小值為．【拓展訓練四一元二次方程根與系數關系的綜合】(1)求證：該方程必有兩個不相等的實數根．【答案】(1)見解析∴該方程總有兩個不相等的實數根；【答案】(1)不是【分析】本題考查了一元二次方程的求解，根與系數的關系等知識點．熟記相關結論是解題關鍵．（1）求解一元二次方程即可進行判斷；∴該方程不是“倍根方程”，故答案為：不是；3．（2425九年級上·湖南益陽·期末）根據以下素材，解決問題．十六世紀的法國數學家韋達在研究一元二次方程的解法的過程中，發(fā)現方程的根與系數之間存在著特殊關系，由于該關系最早由韋達發(fā)現，人們把這個關系稱之為韋達定理．素材1素材2問題解決問題1問題2問題3【分析】本題考查了一元二次方程，掌握一元二次方程根與系數的關系、多項式乘多項式是解決本題的關鍵．問題1．利用根與系數的關系直接可得結論；問題2．利用根的判別式和根與系數的關系得關于m的不等式，求解即可．故答案為：，．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據韋達定理解答即可．本題考查了韋達定理，熟練掌握定理是解題的關鍵．故選：A．【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理），以及如何利用這些關系來解決具體問題．解題的關鍵在于正確應用韋達定理，通過給定的一元二次方程的系數，計算出根的和與積，并據此驗證各個選項的正確性．此外，對于涉及根的差的問題，需要通過求解具體的根來進一步驗證．根據一元二次方程根與系數的關系，直接計算根的和與積，并結合因式分解法求解方程驗證選項．無論哪種情況，差值均不為，故選項C錯誤．因根不相等且積為負，比值不可能為1，選項D錯誤．故選：A．A．4 B． C．2 D．【答案】C【分析】此題主要考查了拋物線與x軸的交點，待定系數法確定函數解析式，根與系數的關系，最小值的確定方法，解題時注意配方法的應用．故選：C．A．只有② B．只有②④ C．只有②③ D．只有②③④【答案】B【分析】本題主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質，根據一元二次方程的根的含義、一元二次方程的根的判別式、等式的性質、一元二次方程的求根公式，對各選項分別討論，即可得出答案．正確的結論為②④，故選：B