第40講空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系【備選理由】例1考查空間向量的線性運(yùn)算;例2、例3均為利用空間向量考查線面垂直與平行的問題,特別是例2在不建立空間直角坐標(biāo)系的情況下,利用空間向量結(jié)合幾何圖形進(jìn)行線面垂直與平行的討論.1[配合探究點(diǎn)一使用][2025·江蘇徐州期末]在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,CM=MD1,CQ=4QA1A.AM=13AB+2B.AM=12AB+1C.AQ=14AB+1D.AQ=15AB+1[解析]AM=AB+BC+CM=AB+AD+12(CD+CC1)=AB+AD-12AB+12AA1=1AQ=AA1+A1Q=AA1+15A1C=AA1+15(A1D1+D1C1+C1C)=AA故選D.2[配合探究點(diǎn)三使用](多選題)[2025·浙江紹興模擬]如圖,平行六面體ABCD-A1B1C1D1的棱長均相等,∠A1AD=∠A1AB,則 (AC)A.AD1∥平面BC1D B.BD1⊥平面ACC1A1C.B1D1⊥平面ACC1A1 D.A1B1∥平面BC1D[解析]對于A,因?yàn)锳B∥D1C1,且AB=D1C1,所以四邊形ABC1D1為平行四邊形,所以AD1∥BC1,又BC1?平面BC1D,AD1?平面BC1D,所以AD1∥平面BC1D,故A正確;對于B,因?yàn)槠叫辛骟wABCD-A1B1C1D1的棱長均相等,所以四邊形A1B1C1D1為菱形,因?yàn)锽D1=BA+AD+DD1=AD-所以AA1·BD1=AA1·(AD-AB+AA1)=AA1·AD-AA1·AB+AA12=|AA1|·|AD|cos∠A所以BD1與AA1不垂直,所以BD1與平面ACC1A1不垂直,對于C,易知A1C1⊥B1D1,因?yàn)锽1D1=BD=AD所以AA1·B1D1=AA1·(AD-AB)=AA1·AD-AA1·AB=|AA1|·|AD|cos∠A1所以AA1⊥B1D1,因?yàn)锳A1∩A1C1=A1,AA1,A1C1?平面ACC1A1,所以B1D1⊥平面ACC1A1對于D,因?yàn)锳1B1∥AB,AB?平面BC1D,且AB∩平面BC1D=B,所以A1B1與平面BC1D不平行,故D錯(cuò)誤.故選AC.3[配合探究點(diǎn)三使用]如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中點(diǎn),F是CC1上一點(diǎn),且CF=2.(1)求證:B1F⊥平面ADF;(2)若C1P=13C1A1,判斷直線PF解:(1)證明:因?yàn)锳B=AC,D是BC的中點(diǎn),所以AD⊥BC,取B1C1的中點(diǎn)D1,連接DD1,則DD1⊥平面ABC,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以CD,AD,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.因?yàn)锳B=AC=AA1=3,BC=2,所以D(0,0,0),A(0,-22,0),A1(0,-22,3),B1(1,0,3),C1(-1,0,3),因?yàn)镃F=2,所以F(-1,0,2),所以B1F=(-2,0,-1),DA=(0,-22,0),DF=(因?yàn)锽1F·DA=0,B1F所以B1F⊥AD,B1F⊥DF,又AD∩DF=D,AD,DF?平面ADF,所以B1F⊥平面ADF.(2)PF∥平面ADB1,證明如下:因?yàn)镃1P=13C1A1=13(1,-22所以PF=-1設(shè)平面ADB1的法向量為n=(