微專題9空間動(dòng)態(tài)問題【備選理由】例1主要考查動(dòng)點(diǎn)引起的位置關(guān)系問題;例2考查軌跡長(zhǎng)度的計(jì)算,首先要確定軌跡的形狀;例3涉及點(diǎn)面距、線面角及最值問題,主要是強(qiáng)化訓(xùn)練,增加綜合分析與解題能力.1[配合微點(diǎn)一使用](多選題)[2025·浙江強(qiáng)基聯(lián)盟聯(lián)考]在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AA1,點(diǎn)M是棱DD1上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)),則 (AB)A.過點(diǎn)M有且僅有一條直線與直線AC,B1D1都垂直B.過點(diǎn)M有且僅有一條直線與直線AC,B1D1都相交C.有且僅有一個(gè)點(diǎn)M滿足△MAC和△MB1D1的面積相等D.有且僅有一個(gè)點(diǎn)M滿足平面MAC⊥平面MB1D1[解析]易知直線AC和直線B1D1異面,則過空間中一點(diǎn)都是有且僅有一條直線與它們都垂直,有且僅有一條直線與它們都相交,故A,B正確;如圖,連接BD交AC于O,連接MO,易知MA=MC,所以MO⊥AC,可知點(diǎn)M到AC的距離大于DO,且DO=22AB=2AA1因?yàn)辄c(diǎn)M到B1D1的距離小于AA1,AC=B1D1,所以△MAC和△MB1D1的面積不可能相等,故C錯(cuò)誤;易知AC⊥平面MB1D1,又AC?平面MAC,所以對(duì)任意M恒有平面MAC⊥平面MB1D1,故D錯(cuò)誤.故選AB.2[配合微點(diǎn)二使用]如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分別是棱C1D1,AA1,BC的中點(diǎn),Q為平面PMN上的動(dòng)點(diǎn),且直線QB1與直線DB1的夾角為30°,則點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為 (C)A.π2 B.π C.2π D.[解析]以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖①所示的空間直角坐標(biāo)系,則P(1,2,0),M(0,1,2),N(2,0,1),D(0,0,0),B1(2,2,2),所以DB1=(2,2,2),PM=(-1,PN=(1,-2,1).設(shè)平面PMN的法向量為m=(x,y,z),則m取z=1,則m=(1,1,1).因?yàn)镈B1=2m,所以DB1⊥如圖②,Q為平面PMN上的動(dòng)點(diǎn),直線QB1與直線DB1的夾角為30°,DB1⊥平面PMN,設(shè)垂足為S,易知S是B1D的中點(diǎn),以S為圓心,33B1S為半徑作圓即為點(diǎn)Q的軌跡,因?yàn)锽1D=|B1D|=4+4+4=2所以B1S=12B1D=3,所以半徑r=33×3故點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為2π.故選C.3[配合微點(diǎn)三使用][2024·江蘇南京模擬]如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是梯形,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB=AP=2,BC=2AD=22,∠ABC=45°,E為棱PB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不包含端點(diǎn)).(1)若E為棱PB的中點(diǎn),求點(diǎn)E到平面PDC的距離;(2)求直線PC與平面EAD所成角的正弦值的最大值.解:(1)連接AC,因?yàn)锳B=2,BC=22,∠ABC=45°,所以AC=4+8-2×2×2所以AB2+AC2=BC2,所以AB⊥AC.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AC,AP的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),C(0,2,0),D(-1,1,0),因?yàn)镋為BP的中點(diǎn),所以E(1,0,1),所以DP=(1,-1,2),DC=(1,1,0).設(shè)平面PDC的法向量為n=(x,y,z),則n取x=1,則n=(1,-1,-1),因?yàn)镋D=(-2,1,-1),所以點(diǎn)E到平面PDC的距離d=|n·ED||(2)設(shè)BE=λBP=λ(-2,0,2)(0<λ<1),則AE=AB+BE=(2-2λ,0,2λ),PC=(0,2,-2),AD=(-1,1,0).設(shè)平面EAD的法向量為m=(a,b,c),則m取a=λ,則m=(λ,λ,λ-1).設(shè)直線PC與平面EAD所成的角為θ