第八課時等比數(shù)列(二)教學目標：靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義及通項公式，深刻理解等比中項概念，掌握等比數(shù)列的性質(zhì)；提高學生的數(shù)學素質(zhì)，增強學生的應(yīng)用意識.教學重點：1.等比中項的理解與應(yīng)用.2.等比數(shù)列定義及通項公式的應(yīng)用.教學難點：靈活應(yīng)用等比數(shù)列定義、通項公式、性質(zhì)解決一些相關(guān)問題.教學過程：Ⅰ.復(fù)習回顧等比數(shù)列定義，等比數(shù)列通項公式Ⅱ.講授新課根據(jù)定義、通項公式，再與等差數(shù)列對照，看等比數(shù)列具有哪些性質(zhì)?(1)若a，A，b成等差數(shù)列a＝eq\f(a＋b,2)，A為等差中項.那么，如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，……則即eq\f(G,a)＝eq\f(b,G)，即G2＝ab反之，若G2＝ab，則eq\f(G,a)＝eq\f(b,G)，即a，G，b成等比數(shù)列∴a，G，b成等比數(shù)列G2＝ab(a·b≠0)總之，如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么稱這個數(shù)G為a與b的等比中項.即G＝±eq\r(ab)，(a，b同號)另外，在等差數(shù)列中，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq，那么，在等比數(shù)列中呢？由通項公式可得：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ap＝a1qp－1，aq＝a1·qq－1不難發(fā)現(xiàn)：am·an＝a12qm+n－2，ap·aq＝a12qp+q－2若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq下面看應(yīng)用這些性質(zhì)可以解決哪些問題?［例1］在等比數(shù)列{an}中，若a3·a5＝100，求a4.分析：由等比數(shù)列性質(zhì)，若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq可得：解：∵在等比數(shù)列中，∴a3·a5＝a42又∵a3·a5＝100，∴a4＝±10.［例2］已知{an}、{bn}是項數(shù)相同的等比數(shù)列，求證{an·bn}是等比數(shù)列.分析：由等比數(shù)列定義及通項公式求得.解：設(shè)數(shù)列{an}的首項是a1，公比為p；{bn}的首項為b1，公比為q.則數(shù)列{an}的第n項與第n＋1項分別為a1pn－1，a1pn數(shù)列{bn}的第n項與第n＋1項分別為b1qn－1，b1qn.數(shù)列{an·bn}的第n項與第n＋1項分別為a1·pn－1·b1·qn－1與a1·pn·b1·qn，即為a1b1(pq)n－1與a1b1(pq)n∵eq\f(an+1,an)·eq\f(bn+1,bn)＝eq\f(a1b1（pq）n,a1b1（pq）n－1)＝pq它是一個與n無關(guān)的常數(shù)，∴{an·bn}是一個以pq為公比的等比數(shù)列.特別地，如果{an}是等比數(shù)列，c是不等于0的常數(shù)，那么數(shù)列{c·an}是等比數(shù)列.［例3］三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于14，它們的積等于64，求這三個數(shù).解：設(shè)m，G，n為此三數(shù)由已知得：m＋n＋G＝14，m·n·G＝64，又∵G2＝m·n，∴G3＝64，∴G＝4，∴m＋n＝10∴eq\b\lc\{(\a\al(m＝2,n＝8))或eq\b\lc\{(\a\al(m＝8,n＝2))即這三個數(shù)為2，4，8或8，4，2.評述：結(jié)合已知條件與定義、通項公式、性質(zhì)，選擇解題捷徑.Ⅲ.課堂練習課本P50練習1，2，3，4，5.Ⅳ.課時小結(jié)本節(jié)主要內(nèi)容為：(1)若a，G，b成等比數(shù)列，則G2＝ab，G叫做a與b的等比中項.(2)若在等比數(shù)列中，m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aqⅤ.課后作業(yè)課本P52習題5，6，7，9等比數(shù)列(二)1．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么aA.5 B.10C.15 2．在等比數(shù)列中，a1＝1，q∈R且|q|≠1，若am＝a1a2a3A.9 B.10C.11 D.123．非零實數(shù)x、y、z成等差數(shù)列，x＋1、y、z與x、y、z＋2分別成等比數(shù)列，則y等于（）A.10 B.12C.14 D.164．有四個數(shù)，前三個數(shù)成等比數(shù)列，其和為19，后三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為12，求此四數(shù).5．在數(shù)列{an}和{bn}中，an＞0，bn＞0，且an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列，a1＝1，b1＝2，a2＝3，求an∶bn的值.6．設(shè)x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy，eq\f(y,x)能按某種順序構(gòu)成等比數(shù)列，試求這個等比數(shù)列.7．有四個數(shù)，前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，首末兩項的和為21，中間兩項的和為18，求這四個數(shù).等比數(shù)列(二)答案1．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么aA.5 B.10C.15 分析：要確定一個等比數(shù)列，必須有兩個獨立條件，而這里只有一個條件，故用先確定基本量a1和q，再求a3＋a5的方法是不行的，而應(yīng)尋求a3＋a5整體與已知條件之間的關(guān)系.解法一：設(shè)此等比數(shù)列的公比為q，由條件得a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝即a12q4(q2＋1)2＝25，又an＞0，得q＞0∴a1q2(q2＋1）＝5a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(q2＋1)＝5解法二：∵a2a4＋2a3a5＋a由等比數(shù)列性質(zhì)得a32＋2a3a5＋a5即(a3＋a5)2＝25，又an＞0，∴a3＋a5＝5評述：在運用方程思想方法的過程中，還要注意整體觀念，善于利用等比數(shù)列的性質(zhì)，以達到簡化解題過程、快速求解的目的.2．在等比數(shù)列中，a1＝1，q∈R且|q|≠1，若am＝a1a2a3A.9 B.10C.11 D.12解：∵am＝a1a2a3a4a5＝a15q1+2+3+4＝a15q又∵a1＝1，∴am＝q11－1，∴m＝11.答案：C3．非零實數(shù)x、y、z成等差數(shù)列，x＋1、y、z與x、y、z＋2分別成等比數(shù)列，則y等于（）A.10 B.12C.14 D.16解：由已知得eq\b\lc\{(\a\al(2y＝x＋z,y2＝（x＋1）z,y2＝x（z＋2）))eq\b\lc\{(\a\al(2y＝x＋z,y2＝（x＋1）z,z＝2x))eq\b\lc\{(\a\al(2y＝3x,y2＝（x＋1）2x))y＝12答案：B4．有四個數(shù)，前三個數(shù)成等比數(shù)列，其和為19，后三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為12，求此四數(shù).解：設(shè)所求的四個數(shù)分別為a，x－d，x，x＋d則eq\b\lc\{(\a\al(（x－d）2＝ax①,a＋（x－d）＋x＝19②,（x－d）＋x＋（x＋d）＝12③))解得x＝4，代入①、②得eq\b\lc\{(\a\al(（4－d）2＝4a,a－d＝11))解得eq\b\lc\{(\a\al(a＝25,d＝14))或eq\b\lc\{(\a\al(a＝9,d＝－2))故所求四個數(shù)為25，－10，4，18或9，6，4，2.5．在數(shù)列{an}和{bn}中，an＞0，bn＞0，且an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列，a1＝1，b1＝2，a2＝3，求an∶bn的值.分析：關(guān)鍵是求出兩個數(shù)列的通項公式.根據(jù)條件，應(yīng)注意兩個數(shù)列之間的聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)換.解：由題意知：eq\b\lc\{(\a\al(2bn＝an＋an＋1①,an＋12＝bnbn＋1②))∴an+1＝eq\r(bnbn＋1)，an＝eq\r(bnbn－1)(n≥2)代入①得2bn＝eq\r(bnbn＋1)＋eq\r(bnbn－1)即2eq\r(bn)＝eq\r(bn＋1)＋eq\r(bn－1)(n≥2)∴{eq\r(bn)}成等差數(shù)列，設(shè)公差為d又b1＝2，b2＝eq\f(a22,b1)＝eq\f(9,2)，∴d＝eq\r(b2)－eq\r(b1)＝eq\f(3\r(2),2)－eq\r(2)＝eq\f(\r(2),2)∴eq\r(bn)＝eq\r(2)＋eq\f(\r(2),2)（n－1）＝eq\f(\r(2),2)（n＋1），bn＝eq\f(1,2)（n＋1）2，當n≥2時，an＝eq\r(bnbn－1)＝eq\f(n（n＋1）,2)③且a1＝1時適合于③式，故eq\f(an,bn)＝eq\f(n,n＋1).評述：對于通項公式有關(guān)系的兩個數(shù)列的問題，一般采用消元法，先消去一個數(shù)列的項，并對只含另一個數(shù)列通項的關(guān)系進行恒等變形，構(gòu)造一個新的數(shù)列.6．設(shè)x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy，eq\f(y,x)能按某種順序構(gòu)成等比數(shù)列，試求這個等比數(shù)列.分析：先由x＞y＞2，可知x－y＜x＋y＜xy，下來只需討論eq\f(y,x)和x－y的大小關(guān)系，分成兩種情況討論.解：∵x＞y＞2，x＋y＞x－y，xy＞x＋y，而eq\f(y,x)＜1＜x－y當eq\f(y,x)＜x－y時，由eq\f(y,x)，x－y，x＋y，xy順次構(gòu)成等比數(shù)列.則有eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(y,x)·xy＝（x－y）（x＋y）,（x＋y）2＝（x－y）xy))解方程組得x＝7＋5eq\r(2)，y＝5＋eq\f(7,2)eq\r(2)∴所求等比數(shù)列為eq\f(\r(2),2)，2＋eq\f(3,2)eq\r(2)，12＋eq\f(17,2)eq\r(2)，70＋eq\f(99,2)eq\r(2).當eq\f(y,x)＞x－y時，由x－y，eq\f(y,x)，x＋y，xy順次構(gòu)成等比數(shù)列則有eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(y,x)·xy＝（x＋y）2,eq\f(y,x)（x＋y）＝（x－y）xy))解方程組得y＝eq\r(eq\f(1,12))，這與y＞2矛盾，故這種情況不存在.7．有四個數(shù)，前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，首末兩項的和為21，中間兩項的和為18，求這四個數(shù).分析一：從后三個數(shù)入手.解法一：設(shè)所求的四個數(shù)為eq\f(（x－d）2,x)，x－d，x，x＋d，根據(jù)題意有eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(（x－d）2,x)＋（x＋d）＝21,（x－d）＋x＝18))，解得eq\b\lc\{(\a\al(x＝12,d＝6))或eq\b\lc\{(\a\al(x＝eq\f(27,4),d＝eq\f(9,2)))eq\f(27,4)∴所求四個數(shù)為3，6，12，18或eq\f(75,4)，eq\f(45,4)，eq\f(27,4)，eq\f(9,4).分析二：從前三數(shù)入手.解法二：設(shè)前三個數(shù)為eq\f(x,q)，x，xq，則第四個數(shù)為2xq－x.依題設(shè)有eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(x,q)＋2xq－x＝21,x＋xq＝18))，解得eq\b\lc\{(\a\al(x＝6,q＝2))或eq\b\lc\{(\a\al(x＝eq\f(45,4),q＝eq\f(3,5)))故所求的四個數(shù)為3，6，12，18或eq\f(75,4)，eq\f(45,4)，eq\f(27,4)，e