第3講三角恒等變換與解三角形[考情分析]1.三角恒等變換主要考查化簡、求值，解三角形主要考查求邊長、角度、面積等，三角恒等變換作為工具，將三角函數(shù)與三角形相結合考查求解最值、范圍問題.2.三角恒等變換以選擇題、填空題為主，解三角形以解答題為主，中等難度．考點一三角恒等變換核心提煉1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).例1(1)(2022·新高考全國Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sinβ，則()A．tan(α－β)＝1B．tan(α＋β)＝1C．tan(α－β)＝－1D．tan(α＋β)＝－1(2)(2021·全國甲卷)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tan2α＝eq\f(cosα,2－sinα)，則tanα等于()A.eq\f(\r(15),15)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(5),3)D.eq\f(\r(15),3)規(guī)律方法三角恒等變換的“4大策略”(1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；(2)項的拆分與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降冪與升冪：正用二倍角公式升冪，逆用二倍角公式降冪；(4)弦、切互化：一般是切化弦．跟蹤演練1(1)(2022·張家口模擬)已知sinθcosθ＋eq\r(3)cos2θ＝cosθ＋eq\f(\r(3),2)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則θ＝________.(2)已知α，β都是銳角，sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)，則cosβ等于()A．－eq\f(56,65)B．－eq\f(16,65)C.eq\f(16,65)D.eq\f(56,65)考點二正弦定理、余弦定理核心提煉1．正弦定理：在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)．變形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.變形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).3．三角形的面積公式：S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.例2(1)(2022·濟南模擬)若△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知bsin2A＝asinB，且c＝2b，則eq\f(a,b)等于()A．3B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)(2)(2022·全國乙卷)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)．①若A＝2B，求C；②證明：2a2＝b2＋c2.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________規(guī)律方法正、余弦定理的適用條件(1)“已知兩角和一邊”或“已知兩邊和其中一邊的對角”應采用正弦定理．(2)“已知兩邊和這兩邊的夾角”或“已知三角形的三邊”應采用余弦定理．注意：應用定理要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結構”．跟蹤演練2(1)在△ABC中，若cosC＝eq\f(7,9)，bcosA＋acosB＝2，則△ABC外接圓的面積為()A.eq\f(49π,8)B.eq\f(81π,8)C.eq\f(81π,49)D.eq\f(81π,32)(2)(2022·衡水中學模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(2c－b,b).①求角A的大??；②若a＝2，求△ABC面積的最大值及此時邊b，c的值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考點三解三角形的實際應用核心提煉解三角形應用題的?？碱愋?1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解．例3(1)滕王閣，位于江西省南昌市西北部沿江路贛江東岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代詩人王勃的詩句“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而流芳后世．如圖，小明同學為測量滕王閣的高度，在滕王閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為12m，在它們的地面上的點M(B，M，D三點共線)測得樓頂A、滕王閣頂部C的仰角分別為15°和60°，在樓頂A處測得滕王閣頂部C的仰角為30°，則小明估算滕王閣的高度為(精確到1m)()A．42m B．45mC．51m D．57m(2)(2022·宜賓模擬)如圖所示，為了測量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測，A，B分別在D處的北偏西15°，北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為()A．20eq\r(6)海里 B．40eq\r(6)海里C．20(1＋eq\r(3))海里 D．40海里規(guī)律方法解三角形實際問題的步驟跟蹤演練3(1)如圖，已知A，B，C，D四點在同一條直線上，且平面PAD與地面垂直，在山頂P點測得點A，C，D的俯角分別為30°，60°，45°，并測得AB＝200m，CD＝100m，現(xiàn)欲沿直線AD開通穿山隧道，則隧道BC的長為()A．100(eq\r(3)＋1)m B．200(eq\r(3)＋1)mC．200e