微重點(diǎn)2函數(shù)的嵌套與旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱問題專題一

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)函數(shù)的嵌套與旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱問題在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，主要與函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)綜合，考查判斷函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根的個(gè)數(shù)、求參數(shù)問題，以及求函數(shù)的函數(shù)值、值域等，難度較大，主要以選擇、填空的形式出現(xiàn).考點(diǎn)一嵌套函數(shù)中的零點(diǎn)問題考點(diǎn)二函數(shù)的旋轉(zhuǎn)專題強(qiáng)化練考點(diǎn)三函數(shù)的對(duì)稱問題內(nèi)容索引嵌套函數(shù)中的零點(diǎn)問題

考點(diǎn)一例1考向1函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題A.4 B.3 C.2 D.1√令u＝f(x)，令g(x)＝0，當(dāng)u≥0時(shí)，則f(u)＝ln(u＋1)，當(dāng)u<0時(shí)，f(u)＝－ueu，則f′(u)＝－(u＋1)eu，當(dāng)u<－1時(shí)，f′(u)>0；當(dāng)－1<u<0時(shí)，f′(u)<0.

(2022·安康質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝

若函數(shù)y＝[f(x)]2＋mf(x)＋1有6個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是例2考向2求參數(shù)的取值范圍√設(shè)t＝f(x)，則y＝g(t)＝t2＋mt＋1，作出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖所示，則函數(shù)y＝[f(x)]2＋mf(x)＋1有6個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于g(t)＝0在[－3,1)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，解決嵌套函數(shù)問題，一般方法是令內(nèi)層函數(shù)為t，構(gòu)造新的函數(shù)或方程，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，通過觀察分析函數(shù)圖象求解.規(guī)律方法

(1)(2022·天津質(zhì)檢)已知定義域?yàn)?0，＋∞)的單調(diào)遞增函數(shù)f(x)滿足：?x∈(0，＋∞)，有f(f(x)－lnx)＝1，則方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的個(gè)數(shù)為A.3 B.2C.1 D.0跟蹤演練1√因?yàn)槎x域?yàn)?0，＋∞)的單調(diào)遞增函數(shù)f(x)滿足?x∈(0，＋∞)，有f(f(x)－lnx)＝1，則存在唯一正實(shí)數(shù)t使得f(t)＝1，且f(x)－lnx＝t，即f(x)＝t＋lnx，于是得f(t)＝t＋lnt＝1，而函數(shù)y＝t＋lnt在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且當(dāng)t＝1時(shí)，t＋lnt＝1，因此t＝1，f(x)＝1＋lnx，方程f(x)＝－x2＋4x－2＝1＋lnx，即lnx＝－x2＋4x－3，于是得方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的個(gè)數(shù)是函數(shù)y＝lnx與y＝－x2＋4x－3的圖象公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝lnx與y＝－x2＋4x－3的圖象，如圖所示，觀察圖象知，函數(shù)y＝lnx與y＝－x2＋4x－3的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，所以方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的個(gè)數(shù)為3.(2)(2022·江西重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝

若關(guān)于x的方程[f(x)]2－af(x)＋a－1＝0恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為√當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x>0時(shí)，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，因?yàn)閇f(x)]2－af(x)＋a－1＝0，即[f(x)－a＋1][f(x)－1]＝0，解得f(x)＝1或f(x)＝a－1，當(dāng)f(x)＝1時(shí)，觀察圖象易知此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，即有一個(gè)根，要使關(guān)于x的方程[f(x)]2－af(x)＋a－1＝0恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則需要y＝a－1與f(x)圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，函數(shù)的旋轉(zhuǎn)

考點(diǎn)二例3√得x2＋(y＋2)2＝13(x∈[－3,3])，設(shè)過(－3,0)與圓x2＋(y＋2)2＝13相切的直線的斜率為k，傾斜角為β，則直線方程為y＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＝0.要使對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角α，曲線C都是一個(gè)函數(shù)的圖象，函數(shù)的旋轉(zhuǎn)，要使旋轉(zhuǎn)后需滿足函數(shù)的定義，則每個(gè)自變量，都有唯一的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng).規(guī)律方法

函數(shù)y＝f(x)定義在R上，已知y＝f(x)的圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°后不變，則關(guān)于方程f(x)＝x的根，下列說法正確的是A.沒有實(shí)根B.有且僅有一個(gè)實(shí)根C.有兩個(gè)實(shí)根D.有兩個(gè)以上的實(shí)根跟蹤演練2√∵函數(shù)y＝f(x)定義在R上，y＝f(x)的圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°后不變，∴f(x)與其反函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，∴f(x)關(guān)于y＝x對(duì)稱，原點(diǎn)(0,0)是它的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)f(x)＝x時(shí)，2y＝x，y＝x，解得x＝y(tǒng)＝0，是唯一解.∴方程f(x)＝x有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根.函數(shù)的對(duì)稱問題

考點(diǎn)三

已知函數(shù)f(x)＝ax－ex與函數(shù)g(x)＝xlnx＋1的圖象上恰有兩對(duì)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為例4√由已知可得，方程f(x)＝－g(x)在(0，＋∞)上有兩解，令h′(x)＝0，得x＝1，∴當(dāng)0<x<1時(shí)，h′(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，h′(x)>0，∴h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增.∴當(dāng)x＝1時(shí)，h(x)取得最小值h(1)＝e－1，∵x→0時(shí)，h(x)→＋∞；x→＋∞時(shí)，h(x)→＋∞，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(e－1，＋∞).注意區(qū)分函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱和軸對(duì)稱、函數(shù)本身的對(duì)稱性和兩函數(shù)的對(duì)稱性，會(huì)在函數(shù)解析式中尋找對(duì)稱性.規(guī)律方法

(2022·山東聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝1＋sinπx－xsinπx在區(qū)間

上的所有零點(diǎn)之和為A.0 B.3 C.6 D.12跟蹤演練3√專題強(qiáng)化練

1.對(duì)于三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，給出定義：設(shè)f′(x)是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)，f″(x)是f′(x)的導(dǎo)數(shù)，若方程f″(x)＝0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)(x0，f(x0))為函數(shù)y＝f(x)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.請(qǐng)你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)判斷12345678√12345678依題意，得f′(x)＝x2－x＋3，所以f″(x)＝2x－1，2.(2022·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝

則函數(shù)y＝f(f(x)＋1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是A.2B.3C.4D.512345678√12345678②當(dāng)t≤0時(shí)，f(t)＝t2＋2t，由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.12345678作出函數(shù)t＝f(x)＋1，直線t＝t1，t＝－2，t＝0的圖象如圖所示，由圖象可知，直線t＝t1與函數(shù)t＝f(x)＋1的圖象有2個(gè)交點(diǎn)；直線t＝0與函數(shù)t＝f(x)＋1的圖象有2個(gè)交點(diǎn)；直線t＝－2與函數(shù)t＝f(x)＋1的圖象有且只有1個(gè)交點(diǎn).綜上所述，函數(shù)y＝f(f(x)＋1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.3.若函數(shù)f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a的值為A.－15 B.8 C.－8 D.412345678√由已知可得，±1是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，因此3和5也是f(x)的零點(diǎn)，即3和5是函數(shù)y＝x2＋ax＋b的零點(diǎn)，所以3＋5＝－a，解得a＝－8.4.將函數(shù)f(x)＝ex(x≥0)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角θ(θ∈(0，π])得到曲線C，若曲線C仍然是一個(gè)函數(shù)的圖象，則θ的取值不可能為12345678√1234567要使曲線C仍然是一個(gè)函數(shù)的圖象，則需滿足在旋轉(zhuǎn)過程中，8則f′(x)＝ex∈[1，＋∞)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，f′(x)取得最小值，5.(2022·廣東聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝

方程[f(x)]2－t·f(x)＝0有4個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，x4，且滿足x1<x2<x3<x4，則下列說法正確的是A.x1x4∈(－6ln2,0]B.x1＋x2＋x3＋x4的取值范圍為[－8，－8＋2ln2)C.t的取值范圍為[1,4]D.x2x3的最大值為412345678√1234567由[f(x)]2－t·f(x)＝0，即f(x)[f(x)－t]＝0，得f(x)＝0或f(x)＝t，作出y＝f(x)的圖象，如圖所示，8當(dāng)f(x)＝0時(shí)，x1＝－4，有1個(gè)實(shí)數(shù)根；由f(x)＝t知，當(dāng)t＝1時(shí)，有3個(gè)實(shí)數(shù)根，所以共4個(gè)實(shí)數(shù)根，滿足題意；當(dāng)t＝4時(shí)，f(x)＝t只有2個(gè)實(shí)數(shù)根，所以共3個(gè)實(shí)根，不滿足題意，此時(shí)與y＝ex的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2ln2,4).12345678要使原方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于f(x)＝t有3個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于y＝f(x)與y＝t的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，故t∈[1,4)，x4∈[0,2ln2)，所以x1x4∈(－8ln2,0]，故A錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤；又因?yàn)閤2＋x3＝－4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8＋x4，其取值范圍為[－8，－8＋2ln2)，故B正確；因?yàn)閤2＋x3＝－4，x2<x3<0，6.(2022·徐州質(zhì)檢)若f(x)和g(x)都是定義在R上的函數(shù)，且方程f(g(x))＝x有實(shí)數(shù)解，則下列式子中一定不是g(f(x))的是A.x2＋2x

B.x＋1C.ecosx

D.ln(|x|＋1)12345678√12345678由方程f(g(x))＝x有實(shí)數(shù)解可得g(f(g(x)))＝g(x)，再用x替代g(x)，即

x＝g(f(x))有解.對(duì)于A，x＝x2＋2x，即x2＋x＝0，方程有解，故A可以是g(f(x))；對(duì)于B，x＝x＋1，即0＝1，方程無解，故B一定不是g(f(x))；對(duì)于C，當(dāng)ecosx＝x時(shí)，令h(x)＝ecosx－x，12345678對(duì)于D，當(dāng)ln(|x|＋1)＝x時(shí)，x＝0為方程的解，所以方程有解，故D可以是g(f(x)).123456787.(2022·青島質(zhì)檢)對(duì)于函數(shù)f(x)，若在其圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱f(x)為“倒戈函數(shù)”，設(shè)函數(shù)f(x)＝3x＋sinx－m＋1(m∈R)是定義在[－1,1]上的“倒戈函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______________.1234567因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝3x＋sinx－m＋1(m∈R)是定義在[－1,1]上的“倒戈函數(shù)”，所以存在x0∈[－1,1]，使f(－x0)＝－f(x0)，8即

－sinx0＋m－1＝

＋sin(－x0)－m＋1，即2m－2＝