第1講空間幾何體專題四

立體幾何與空間向量考情分析空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是立體幾何的基礎(chǔ)，空間幾何體的表面積和體積是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式考查，難度中等或偏上.考點(diǎn)一三視圖與直觀圖考點(diǎn)二表面積與體積考點(diǎn)三多面體與球?qū)ｎ}強(qiáng)化練內(nèi)容索引三視圖與直觀圖

考點(diǎn)一1.一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則俯視圖放在正視圖的下面，長(zhǎng)度與正視圖的長(zhǎng)度一樣，側(cè)視圖放在正視圖的右面，高度與正視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣.即“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”.2.由三視圖還原幾何體的步驟一般先依據(jù)俯視圖確定底面，再利用正視圖與側(cè)視圖確定幾何體.核心提煉例1(1)(2022·全國(guó)甲卷)如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該多面體的體積為A.8 B.12C.16 D.20√三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體是放倒的直四棱柱，如圖，直四棱柱的高為2，底面是上底為2，下底為4，高為2的梯形，(2)如圖，已知用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的△ABC的直觀圖是邊長(zhǎng)為a的正三角形，則原△ABC的面積為_(kāi)_______.如圖，過(guò)點(diǎn)C′作C′M′∥y′軸，交x′軸于點(diǎn)M′，過(guò)點(diǎn)C′作C′D′⊥x′軸，交x′軸于點(diǎn)D′，由三視圖還原直觀圖的方法(1)注意圖中實(shí)、虛線，分別是原幾何體中的可視線與被遮擋線.(2)想象原形，并畫(huà)出草圖后進(jìn)行三視圖還原，把握三視圖和幾何體之間的關(guān)系，與所給三視圖比較，通過(guò)調(diào)整，準(zhǔn)確畫(huà)出原幾何體.(3)由三視圖還原直觀圖時(shí)，往往采用削體法，選定一個(gè)視圖，比如俯視圖，然后逐步削切正方體等幾何載體.規(guī)律方法

(1)(2021·全國(guó)乙卷)以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為_(kāi)___________________________(寫(xiě)出符合要求的一組答案即可).跟蹤演練1③④(答案不唯一，②⑤也可)根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”及圖中數(shù)據(jù)，可知圖②③只能是側(cè)視圖，圖④⑤只能是俯視圖，則組成某個(gè)三棱錐的三視圖，所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次是③④或②⑤.若是③④，則原幾何體如圖1所示；若是②⑤，則原幾何體如圖2所示.(2)(2022·運(yùn)城模擬)某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖1所示，它的俯視圖的直觀圖是△A′B′C′，如圖2所示，其中O′A′＝O′B′，

O′C′＝

，則該幾何體的表面積為√由俯視圖的直觀圖，可得該幾何體的底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，由正視圖和側(cè)視圖知該幾何體是三棱錐，如圖所示，其中SA⊥平面ABC，SA＝6，△SAB，△SAC

都是直角三角形，表面積與體積

考點(diǎn)二1.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積(1)S圓柱側(cè)＝2πrl，S圓柱表＝2πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長(zhǎng)).(2)S圓錐側(cè)＝πrl，S圓錐表＝πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長(zhǎng)).(3)S球表＝4πR2(R為球的半徑).2.空間幾何體的體積公式(1)V柱＝Sh(S為底面面積，h為高).核心提煉

(1)(2022·凌源模擬)五脊殿是宋代傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式.如圖所示，其屋頂上有一條正脊和四條垂脊，可近似看作一個(gè)底面為矩形的五面體.若某一五脊殿屋頂?shù)恼归L(zhǎng)4米，底面矩形的長(zhǎng)為6米，寬為4米，正脊到底面矩形的距離為2米，則該五脊殿屋頂?shù)捏w積的估計(jì)值為例2√如圖所示，將屋頂分割為一個(gè)三棱柱和兩個(gè)相同的四棱錐，三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為4，高為2的等腰三角形，三棱柱的高為4.四棱錐的底面是長(zhǎng)為4，寬為1的矩形，其高為2，√方法一因?yàn)榧?、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，可知甲、乙兩個(gè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之比是2∶1.不妨設(shè)兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為l＝3，甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，則由題意知，兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖剛好可以拼成一個(gè)周長(zhǎng)為6π的圓，所以2πr1＝4π，2πr2＝2π，得r1＝2，r2＝1.由勾股定理得，方法二

設(shè)兩圓錐的母線長(zhǎng)為l，甲、乙兩圓錐的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角分別為n1，n2，由題意知n1＋n2＝2π，空間幾何體的表面積與體積的求法(1)公式法：對(duì)于規(guī)則的幾何體直接利用公式進(jìn)行求解.(2)割補(bǔ)法：把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，或把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體.(3)等體積法：選擇合適的底面來(lái)求體積.規(guī)律方法

(1)(2022·錦州質(zhì)檢)2022年北京冬奧會(huì)的成功舉辦使北京成為奧運(yùn)史上第一座“雙奧之城”.其中2008年北京奧運(yùn)會(huì)的標(biāo)志性場(chǎng)館之一“水立方”搖身一變成為了“冰立方”.“冰立方”在冬奧會(huì)期間承接了冰壺和輪椅冰壺等比賽項(xiàng)目.“水立方”的設(shè)計(jì)靈感來(lái)自于威爾·弗蘭泡沫，威爾·弗蘭泡沫是對(duì)開(kāi)爾文胞體的改進(jìn)，開(kāi)爾文胞體是一種多面體，它由正六邊形和正方形圍成(其中每一個(gè)頂點(diǎn)處有一個(gè)正方形和兩個(gè)正六邊形)，已知該多面體共有24個(gè)頂點(diǎn)，且棱長(zhǎng)為2，則該多面體的表面積是跟蹤演練2√邊長(zhǎng)為2的正方形的面積為2×2＝4，又正方形有4個(gè)頂點(diǎn)，正六邊形有6個(gè)頂點(diǎn)，該多面體共有24個(gè)頂點(diǎn)，所以最多有6個(gè)正方形，最少有4個(gè)正六邊形，1個(gè)正六邊形與3個(gè)正方形相連，所以該多面體有6個(gè)正方形，正六邊形有6×4÷3＝8(個(gè)).(2)(2022·連云港模擬)如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，若兩個(gè)半圓的半徑分別是1和2，則該圓臺(tái)的體積是√如圖，設(shè)上底面的半徑為r，下底面的半徑為R，高為h，母線長(zhǎng)為l，則2πr＝π·1,2πR＝π·2，l＝2－1＝1，下底面面積S＝π·12＝π，多面體與球

考點(diǎn)三求空間多面體的外接球半徑的常用方法(1)補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；(2)定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可.核心提煉例3(1)(2022·煙臺(tái)模擬)如圖，三棱錐V－ABC中，VA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝VA＝2，則該三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為√因?yàn)閂A⊥底面ABC，AB，AC?底面ABC，所以VA⊥AB，VA⊥AC，又因?yàn)椤螧AC＝90°，所以AB⊥AC，而AB＝AC＝VA＝2，所以三條互相垂直且共頂點(diǎn)的棱，可以看成正方體中共頂點(diǎn)的長(zhǎng)、寬、高，因此該三棱錐外接球的半徑設(shè)該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為r，因?yàn)椤螧AC＝90°，因?yàn)閂A⊥AB，VA⊥AC，AB＝AC＝VA＝2，由三棱錐的體積公式可得，(2)(2022·全國(guó)乙卷)已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為√該四棱錐的體積最大即以底面截球的圓面和頂點(diǎn)O組成的圓錐體積最大.設(shè)圓錐的高為h(0<h<1)，底面半徑為r，(1)求錐體的外接球問(wèn)題的一般方法是補(bǔ)形法，把錐體補(bǔ)成正方體、長(zhǎng)方體等求解.(2)求錐體的內(nèi)切球問(wèn)題的一般方法是利用等體積法求半徑.規(guī)律方法

(1)(2022·新高考全國(guó)Ⅱ)已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為

，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為A.100π B.128πC.144π D.192π跟蹤演練3√設(shè)該棱臺(tái)上、下底面的外接圓的圓心分別為O1，O2，連接O1O2，則O1O2＝1，其外接球的球心O在直線O1O2上.所以R2＝25，所以該球的表面積為4πR2＝100π.綜上，該球的表面積為100π.(2)(2022·衡水中學(xué)調(diào)研)將兩個(gè)一模一樣的正三棱錐共底面倒扣在一起，已知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2，若該組合體有外接球，則正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為_(kāi)_______，該組合體的外接球的體積為_(kāi)_______.如圖，連接PA交底面BCD于點(diǎn)O，則點(diǎn)O就是該組合體的外接球的球心.設(shè)三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，專題強(qiáng)化練

一、選擇題1.(2022·唐山模擬)圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的表面積與圓柱的側(cè)面積的比值為A.1∶1 B.1∶2C.2∶1 D.2∶312345678910111213141516設(shè)球的半徑為r，依題意知圓柱的底面半徑也是r，高是2r，圓柱的側(cè)面積為2πr·2r＝4πr2，球的表面積為4πr2，其比例為1∶1.√12345678910111213141516√123456789101112131415163.(2022·福州模擬)已知一個(gè)直三棱柱的高為2，如圖，其底面△ABC水平放置的直觀圖(斜二測(cè)畫(huà)法)為△A′B′C′，其中O′A′＝O′B′＝O′C′＝1，則此三棱柱的表面積為√12345678910111213141516由斜二測(cè)畫(huà)法的“三變”“三不變”可得底面△ABC的原圖形如圖所示，123456789101112131415164.(2021·新高考全國(guó)Ⅱ)正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為√12345678910111213141516作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上、下底面的中心，如圖，因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，下底面面積S1＝16，上底面面積S2＝4，12345678910111213141516√12345678910111213141516畫(huà)出球與垃圾簍組合體的軸截面圖，如圖所示.設(shè)籃球的半徑為r，則r2＝10a2＋(12a)2＝154a2.故該籃球的表面積為4πr2＝616πa2.6.(2022·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬)如圖1，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P在正方形A1B1C1D1內(nèi)(包含邊界)，若三棱錐P－ABC的側(cè)視圖如圖2所示，則此三棱錐的俯視圖不可能是12345678910111213141516√12345678910111213141516如圖(1)所示，當(dāng)點(diǎn)P為A1D1的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)三棱錐P－ABC的俯視圖為選項(xiàng)C；如圖(3)所示，取A1D1和B1C1的中點(diǎn)E和F，連接EF，當(dāng)點(diǎn)P為EF的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)三棱錐P－ABC的俯視圖為選項(xiàng)A，如圖(2)所示，當(dāng)點(diǎn)P為B1C1的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)三棱錐P－ABC的俯視圖為選項(xiàng)B；所以此三棱錐P－ABC的俯視圖不可能是選項(xiàng)D.123456789101112131415167.(2022·湖北聯(lián)考)定義：24小時(shí)內(nèi)降水在平地上積水厚度(mm)來(lái)判斷降雨程度.其中小雨(<10mm)，中雨(10mm～25mm)，大雨(25mm～50mm)，暴雨(50mm～100mm)，小明用一個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)A.小雨

B.中雨C.大雨

D.暴雨√123456789101112131415168.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝

，AA1＝6，∠ACB＝30°，則此直三棱柱的外接球的表面積是A.48π B.64π C.72π D.84π12345678910111213141516√12345678910111213141516如圖所示，設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，設(shè)直三棱柱ABC－A1B1C1的外接球的球半徑為R，所以該直三棱柱外接球的表面積是S＝4πR2＝84π.9.如圖，在正三棱錐P－ABC中，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝30°，PA＝PB＝PC＝2，一只蟲(chóng)子從A點(diǎn)出發(fā)，繞三棱錐的三個(gè)側(cè)面爬行一周后，又回到A點(diǎn)，則蟲(chóng)子爬行的最短距離是12345678910111213141516√將三棱錐由PA展開(kāi)，如圖所示，則∠APA1＝90°，12345678910111213141516所求最短距離為AA1的長(zhǎng)度，∵PA＝2，∴由勾股定理可得1234567891011121314151610.(2022·八省八校聯(lián)考)如圖，已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，過(guò)點(diǎn)B作截面α分別交側(cè)棱AC，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且四面體ABEF的體積為四面體ABCD體積的

，則EF的最小值為√12345678910111213141516記EF＝a，AE＝b，AF＝c，1234567891011121314151611.(2022·聊城模擬)用與母線不垂直的兩個(gè)平行平面截一個(gè)圓柱，若兩個(gè)截面都是橢圓形狀，則稱夾在這兩個(gè)平行平面之間的幾何體為斜圓柱.這兩個(gè)截面稱為斜圓柱的底面，兩底面之間的距離稱為斜圓柱的高，斜圓柱的體積等于底面積乘以高.橢圓的面積等于長(zhǎng)半軸與短半軸長(zhǎng)之積的π倍，已知某圓柱的底面半徑為2，用與母線成45°角的兩個(gè)平行平面去截該圓柱，得到一個(gè)高為6的斜圓柱，對(duì)于這個(gè)斜圓柱，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是√12345678910111213141516不妨過(guò)斜圓柱的最高點(diǎn)D和最低點(diǎn)B作平行于圓柱底面的截面圓，夾在它們之間的是圓柱，如圖，矩形ABCD是圓柱的軸截面，平行四邊形BFDE是斜圓柱的過(guò)底面橢圓的長(zhǎng)軸的截面，由圓柱的性質(zhì)知∠ABF＝45°，12345678910111213141516EG⊥BF，垂足為G，則EG＝6，由于斜圓柱的兩個(gè)底面的距離為6，而圓柱的底面直徑為4，所以斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的半徑為2，則球的表面積為4π×22＝16π，C錯(cuò)誤.12345678910111213141516√方法一

如圖，設(shè)該球的球心為O，半徑為R，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，12345678910111213141516解得R＝3.1234567891011121314151612345678910111213141516方法二

如圖，設(shè)該球的球心為O，半徑為R，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，12345678910111213141516解得R＝3.12345678910111213141516方法三

如圖，設(shè)該球的半徑為R，球心為O，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，正四棱錐的側(cè)棱與高所成的角為θ，12345678910111213141516所以l＝6cosθ，12345678910111213141516則y＝sinθcos2θ＝t(1－t2)＝t－t3，則y′＝1－3t2.1234567891011121314151612345678910111213141516二、填空題13.(2022·湘潭模擬)陀螺是中國(guó)民間的娛樂(lè)工具之一，也叫做陀羅.陀螺的形狀結(jié)構(gòu)如圖所示，由一個(gè)同底的圓錐體和圓柱體組合而成，若圓錐體和圓柱體的高以及底面圓的