2025秋季初三數(shù)學(xué)同步講義04一元二次方程【基礎(chǔ)鞏固】1、一元二次方程的的概念是什么？2、一元二次方程的解與估算.3、一元二次方程的解法有哪些？【精準(zhǔn)突破】一．估算一元二次方程的近似解例1．觀察下列表格，一元二次方程x2x?1.13?1.12?1.11?1.10?1.09?1.08?1.07x4.674.614.564.514.464.414.35A．?1.088 B．?1.073 C．?1.124 D．?1.118例2．根據(jù)下面表格中的信息，判斷關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0.02x3.243.253.26a?0.020.010.03A．x<3.24 B．3.24<x<3.25C．3.25<x<3.26 D．x>3.26二．一元二次方程的解例1．（逢解必代）（1）關(guān)于x的一元二次方程a?1x2+x+a2A．1 B．?1 C．1或?1 D．0（2）已知方程x2+bx?a=0有一個根是?aa≠0A．a(chǎn)b B．a(chǎn)b C．a(chǎn)+b D．例2．（逢解必代+整體代入求值）（1）已知m是一元二次方程x2?x?3=0的一個根，則2024?mA．2028 B．2021 C．2024 D．2026（2）難：已知m是方程式x2+x?3=0的根，則式子m3【實戰(zhàn)演練】1．關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0A．x=1 B．x=?1 C．x=0 D．x=22．已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2?2m+1x+m2+5=0A．13 B．17 C．29 D．17或293．如果正數(shù)a是一元二次方程x2?3x+m=0的一個根，?a是一元二次方程x2+3x?m=0的一個根，那么4．已知實數(shù)a是一元二次方程x2+x?8=0的根，則2aA．14 B．7 C．16 D．155．已知關(guān)于x的一元二次方程(3a?1)x2?ax+14A．?3 B．3 C．2 D．?2三．解一元二次方程的方法配方法、公式法、因式分解法例1．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)6x?1(2)3x?2(3)x(4)x+1(5)3x(6)12(7)5x(8)4xx?例2．（換元法）若實數(shù)x滿足方程x2+xxA．?3 B．5 C．?3或5 D．3或?5例3．（配方法對應(yīng)探究）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其他重要應(yīng)用．例如：試求二次三項式．x2解：x2∵x+2∴x2+4x+5≥1試?yán)谩芭浞椒ā苯鉀Q下列問題：(1)已知y=?x2?8x+14(2)比較代數(shù)式2x2+3x?5(3)知識遷移：①如圖，學(xué)校打算用15米長的鐵柵欄圍成三個相連的長方形羊駝草料倉庫，來飼養(yǎng)兩只萌萌的羊駝，倉庫一面靠墻（墻足夠長），為方便取物，在各個倉庫之間留出了1米寬的缺口作通道，在平行于墻的一邊留下一個1米寬的缺口作小門，請嘗試用“配方法”求出如何圍，使倉庫面積雖大？最大值是多少？②如圖，在正方形ABCD中，AD=4，點E、F分別為AB、BC上的動點，且AE=BF，AF與DE交于點O，點P為EF的中點．設(shè)AE=x，用含x的代數(shù)式表示，則OP的最小值為多少．（直接寫出答案）【實戰(zhàn)演練】1．若a2+b22A．?1或3 B．1或?3 C．?1 D．3若a+ba+b+1=6，則a+b的值為3．已知x2+y2+14．如果方程x2+4x+n=0可以配方成x+m2=3，那么A．0 B．1 C．?1 D．35．x=?3±32A．2x2+3x+1=0C．2x2+3x?1=06．閱讀感悟：已知方程x2解：設(shè)所求方程的根為y，則y=2x．所以x=y把x=y2代入已知方程，得化簡，得y2故所求方程為y2這種利用方程的代換求新方程的方法，我們稱為“換元法”．請用閱讀材料提供的“換元法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式．解決問題：(1)已知方程x2(2)方程ax2+bx+c=0(3)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個實數(shù)根分別為1和?17．我們知道，配方法是解一元二次方程的一種方法，其實質(zhì)就是將一元二次方程由一般式ax2+bx+c=0【探究方法】已知a，b為任意實數(shù)，∵a即對于任意實數(shù)a，b，總有a2+b2≥2ab，且當(dāng)a=b時代數(shù)式a2+b2取得最小值為2ab【類比應(yīng)用】運用上面的結(jié)論，完成填空：（1）x2+1（2）當(dāng)x>0時，x2+9（3）當(dāng)x>0時，代數(shù)式x2【問題解決】若一個矩形的面積固定為n，它的周長是否會有最值呢？若有，求出周長的最值及此時矩形的長和寬，若沒有，請說明理由．由此你能得到怎樣的結(jié)論？四．根的判別式例1．若關(guān)于x的一元二次方程(k?1)x2?3x?2=0有兩個實數(shù)根，則k例2．（根的判別式+整體代入求值）已知關(guān)于x的一元二次方程3a?1x2?ax+14【實戰(zhàn)演練】1．關(guān)于x的一元二次方程a?5x2?4x?1=0有實數(shù)根，則aA．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)>1且a≠5 C．a(chǎn)≥1且a≠5 D．a(chǎn)≠5五．根與系數(shù)的關(guān)系【韋達定理】例1．閱讀材料：材料1：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個實數(shù)根x1,x2和系數(shù)a，材料2：已知一元二次方程x2?x?1=0的兩個實數(shù)根分別為m，n，求解：∵m，n是一元二次方程x2∴m+n=1,mn=?1．則m2根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：(1)應(yīng)用：一元二次方程2x2+3x?1=0的兩個實數(shù)根為x1，x2(2)類比：已知一元二次方程2x2+3x?1=0的兩個實數(shù)根為m，n，則m(3)提升：已知實數(shù)s，t滿足2s2+3s?1=0，2t2+3t?1=0且(4)拓展：已知關(guān)于x的一元二次方程x2?4x+m?1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2，且【實戰(zhàn)演練】1．設(shè)x1，x2是關(guān)于x的方程(1)當(dāng)x1=?1時，求x2(2)求證：(x2．已知關(guān)于x的方程x2?2m?1x+m2=0的兩實數(shù)根為x1，A．?3 B．?1 C．?3或1 D．?1或33．已知α,β是方程x2?2024x?1=0的兩個根，則14．已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；(2)若方程的一個根為另一個根的3倍，求m的值．5．已知關(guān)于x的方程4x2+a2A．5或?2 B．0 C．5 D．?2已知關(guān)于x的一元二次方程x2?4x?2k+8=0有兩個實數(shù)根x1(1)求k的取值范圍；(2)若x12x7．（綜合整體代入求值）若m，n是一元二次方程x2?x?1=0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式28．如果方程x2+px+q=0的兩個根是x1、x(1)已知關(guān)于x的方程x2(2)已知a、b滿足a2?15a?5=0，b2【強化提升】1．閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．探究：一元二次方程的幾何解法通過學(xué)習(xí)，我們知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在數(shù)學(xué)史上，人類對一元二次方程的研究經(jīng)歷了漫長的歲月．下面是9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·花拉子米利用幾何法求解x2解：x2+12x=x(x+12)=64，如圖①，分別以x和x+12為兩邊構(gòu)造一個長方形；如圖②，把長方形分成一個面積是x2的正方形和兩個面積是6x的長方形；將圖②分割、拼接成圖③的圖形，則圖③陰影部分的面積是________，這樣就將兩條邊長分別為x和x+12根據(jù)圖③可以得到：(x+6)2所以，方程的正數(shù)解x=________．任務(wù)：根據(jù)上述材料，請你用幾何方法求方程x2（1）在如圖所示的區(qū)域內(nèi)畫出圖形，并標(biāo)出相應(yīng)的線段長度．（2）根據(jù)（1）所畫圖形直接寫出方程x2+4x=32的正數(shù)解是拓展：根據(jù)閱讀探究，你能否用“立體圖形的組合”，求特殊的一元三次方程的正根？如：求方程x3類比平面圖形的研究，可將此問題轉(zhuǎn)化成正方體來求解，現(xiàn)準(zhǔn)備以下規(guī)格的立體圖形：需要準(zhǔn)備圖④中幾何體________塊；需要準(zhǔn)備圖⑤中幾何體________塊；需要準(zhǔn)備圖⑥中幾何體________塊；需要準(zhǔn)備圖⑦中幾何體________塊；請直接寫出方程x3+9x2025秋季初三數(shù)學(xué)同步講義04一元二次方程（解析）【基礎(chǔ)鞏固】1、一元二次方程的的概念是什么？2、一元二次方程的解與估算.3、一元二次方程的解法有哪些？【精準(zhǔn)突破】一．估算一元二次方程的近似解例1．觀察下列表格，一元二次方程x2x?1.13?1.12?1.11?1.10?1.09?1.08?1.07x4.674.614.564.514.464.414.35A．?1.088 B．?1.073 C．?1.124 D．?1.118【答案】D【分析】本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解，具體方法是：給出一些未知數(shù)的值，計算方程兩邊結(jié)果，當(dāng)兩邊結(jié)果愈接近時，說明未知數(shù)的值愈接近方程的根．利用表中數(shù)據(jù)可判斷方程解的范圍為?1.12<x<?1.11，然后對各選項進行判斷即可得出答案．【詳解】解：∵x=?1.12時，x2∴x∵x=?1.11時，x2∴x所以方程解的范圍為?1.12<x<?1.11．只有選項D符合要求，故選：D．例2．根據(jù)下面表格中的信息，判斷關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0.02x3.243.253.26a?0.020.010.03A．x<3.24 B．3.24<x<3.25C．3.25<x<3.26 D．x>3.26【答案】C【分析】本題考查了估算一元二次方程的近似解，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．由表中數(shù)據(jù)得到x=3.25時，ax2+bx+c=0.01；x=3.26時，ax2+bx+c=0.03，則取3.25到3.26之間的某一個數(shù)時，使ax【詳解】解：∵x=3.25時，ax2+bx+c=0.01；x=3.26∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0.02a≠0的一個解故選：C．二．一元二次方程的解例1．（逢解必代）（1）關(guān)于x的一元二次方程a?1x2+x+a2A．1 B．?1 C．1或?1 D．0【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．把x=0代入求解，但一定要注意一元二次方程二次項系數(shù)不等于0，然后舍去不滿足的取值即可．【詳解】解：把x=0代入a?1x得到：a∴a=1或a=?1∵方程a?1x∴a?1≠0，∴a≠1，∴a=?1；故選：B．（2）已知方程x2+bx?a=0有一個根是?aa≠0A．a(chǎn)b B．a(chǎn)b C．a(chǎn)+b D．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的根的定義“使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，熟記一元二次方程的根的定義是解題關(guān)鍵．將x=?a代入方程求解即可得．【詳解】解：∵方程x2+bx?a=0有一個根是∴a2∵a≠0，∴兩邊同除以a得：a?b?1=0，即a?b=1，故選：D．例2．（逢解必代+整體代入求值）（1）已知m是一元二次方程x2?x?3=0的一個根，則2024?mA．2028 B．2021 C．2024 D．2026【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的解的定義和代數(shù)式求值，熟知方程解的定義、靈活應(yīng)用整體思想是關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的根的定義可得m2【詳解】解：∵m是一元二次方程x2∴m2?m?3=0，即∴2024?m故選B．（2）難：已知m是方程式x2+x?3=0的根，則式子m3【答案】2020【分析】由題意可得出m2+m?3=0，可變形為m2+m=3，m2=3?m．再由m3【詳解】∵m是方程式x2∴m2∴m2+m=3，m3將m2=3?m代入，得：再將m2+m=3代入，得：故答案為：2020．【點睛】本題考查一元二次方程的解得定義，代數(shù)式求值．利用整體代入的思想是解題關(guān)鍵．【實戰(zhàn)演練】1．關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0A．x=1 B．x=?1 C．x=0 D．x=2【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的解的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．掌握定義是解題的關(guān)鍵．．將x=?1代入方程的左邊，得到a?b+c，再結(jié)合a?b+c=0，即可得到答案．【詳解】解：當(dāng)x=?1時，ax∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0∴此方程必有一個根為?1，故選：B．2．已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2?2m+1x+m2+5=0A．13 B．17 C．29 D．17或29【答案】B【分析】本題考查了根的判別式，一元二次方程的解法，三角形的三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)．若等腰△ABC的腰長為7，把x=7代入方程x2?2m+1x+m2+5=0得到關(guān)于m的一元二次方程，解之，代入原方程求出x1和x【詳解】解：若等腰△ABC的腰長為7，把x=7代入方程x49?14m+1解得：m1若m1=4，則原方程為：解得：x1△ABC三邊為7，7，3（能構(gòu)成三角形，符合題意），若m2=10，則原方程為：解得：x1△ABC三邊為7，7，15（不能構(gòu)成三角形，不合題意，舍去），若等腰△ABC底長為7，則△=?2解得：m=2原方程為：x2解得：x1△ABC三邊為3，3，7（不合題意，舍去），綜上可知：△ABC三邊為7，7，3，周長為：7+7+3=17，即這個三角形的周長為17．故選：B．3．如果正數(shù)a是一元二次方程x2?3x+m=0的一個根，?a是一元二次方程x2+3x?m=0的一個根，那么【答案】3【分析】此題主要考查了方程解的定義．關(guān)鍵是熟練掌握方程的解的定義，列方程，解方程．根據(jù)方程的解的定義，把x=a，x=?a分別代入方程x2?3x+m=0和【詳解】解：根據(jù)題意，得a2?3a+m=0①，①+②，得解得a=0或a=3．∵a>0，∴a=3．故答案為：3．4．已知實數(shù)a是一元二次方程x2+x?8=0的根，則2aA．14 B．7 C．16 D．15【答案】D【分析】本題考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到關(guān)于a的等式，利用等式對代數(shù)式進行化簡并求出代數(shù)式的值．把方程的解代入方程得到關(guān)于a的等式，然后利用等式對代數(shù)式進行化簡求值．【詳解】解∶∵實數(shù)a是一元二次方程x2∴a2∴a2∴2a故選∶D．5．已知關(guān)于x的一元二次方程(3a?1)x2?ax+14A．?3 B．3 C．2 D．?2【答案】B【分析】由關(guān)于x的一元二次方程(3a?1)x2?ax+14=0有兩個相等的實數(shù)根，則有Δ=0且3a?1≠0，則Δ=【詳解】∵(3a?1)x∴Δ=(?a)∵a2=3a?1∴a2故選：B．三．解一元二次方程的方法配方法、公式法、因式分解法例1．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)6x?1(2)3x?2(3)x(4)x+1(5)3x(6)12(7)5x(8)4xx?【答案】(1)x1=1，(2)x1=1，(3)x1(4)x1=?3，(5)x1=1(6)x1=1+3(7)無實數(shù)解；(8)x1=5+【分析】此題考查了解一元二次方程，根據(jù)方程特點選擇合適的方法是關(guān)鍵．（1）整理后，利用直接開平方法解方程即可；（2）利用直接開平方法解方程即可；（3）整理后，利用因式分解方法解方程即可；（4）整理后，利用因式分解方法解方程即可；（5）利用配方法解方程即可；（6）利用配方法解方程即可；（7）整理后，利用公式法解方程即可；（8）整理后，利用公式法解方程即可．【詳解】（1）解：6x?12整理得6x?12∴6x?1=±5，∴6x?1=5或6x?1=?5，解得x1=1，（2）解：3x?22∴3x?2=±x，∴3x?2=x或3x?2=?x，解得x1=1，（3）解：x2整理得8x2?4∴22解得x1（4）解：x+1x?1整理得x2+2x?3=0，即∴x+3=0或x?1=0，解得x1=?3，（5）解：3x整理得x2配方得x2+8開方得x+4解得x1=1（6）解：12整理得x2配方得x2?2x+1=2+1，即開方得x?1=±3解得x1=1+3（7）解：5x整理得5x則a=5，b=?4，c=1，∵Δ=∴原方程無實數(shù)解；（8）解：4xx?整理得4x則a=4，b=?10，c=?8，∵Δ=∴x=?b±解得x1=5+例2．（換元法）若實數(shù)x滿足方程x2+xxA．?3 B．5 C．?3或5 D．3或?5【答案】B【分析】此題考查了換元法解一元二次方程，一元二次方程的解，熟記解題步驟是解題的關(guān)鍵．設(shè)y=x2+x，則原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的新方程，通過解新方程來求y【詳解】解：設(shè)y=x原方程變形為y(y?2)?15=0，整理得：y2解得：y1當(dāng)y1=5時，即x2此時Δ=當(dāng)y2=?3時，即x2此時Δ=此時方程x2∴故選：B．例3．（配方法對應(yīng)探究）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其他重要應(yīng)用．例如：試求二次三項式．x2解：x2∵x+2∴x2+4x+5≥1試?yán)谩芭浞椒ā苯鉀Q下列問題：(1)已知y=?x2?8x+14(2)比較代數(shù)式2x2+3x?5(3)知識遷移：①如圖，學(xué)校打算用15米長的鐵柵欄圍成三個相連的長方形羊駝草料倉庫，來飼養(yǎng)兩只萌萌的羊駝，倉庫一面靠墻（墻足夠長），為方便取物，在各個倉庫之間留出了1米寬的缺口作通道，在平行于墻的一邊留下一個1米寬的缺口作小門，請嘗試用“配方法”求出如何圍，使倉庫面積雖大？最大值是多少？②如圖，在正方形ABCD中，AD=4，點E、F分別為AB、BC上的動點，且AE=BF，AF與DE交于點O，點P為EF的中點．設(shè)AE=x，用含x的代數(shù)式表示，則OP的最小值為多少．（直接寫出答案）【答案】(1)y的最大值是30(2)2x(3)①當(dāng)倉庫的寬為94時，倉庫的面積最大，最大為814【分析】（1）利用配方法解答，即可求解；（2）把兩式作差，然后利用配方法解答，即可求解；（3）①設(shè)倉庫的寬為x米，則長為15?4x+2+1=18?4x米，根據(jù)題意可得倉庫的面積，然后利用配方法解答，即可求解；②證明△ADE≌△BAF，可得∠BAF=∠ADE，從而得到∠EOF=∠AOD=90°，再由直角三角形的性質(zhì)可得OP=12EF，然后在【詳解】（1）解：解：?x∵x+4∴?x+4∴?x+4∴?x即y的最大值是30；（2）解：2x2=2=?=?=?∵x?22∴?x?2∴?x?2∴2x（3）解：①設(shè)倉庫的寬為x米，則長為15?4x+2+1=18?4x倉庫的面積為x18?4x∵x?9∴?4x?即當(dāng)x=94時，倉庫的面積最大，最大值為答：當(dāng)倉庫的寬為94時，倉庫的面積最大，最大為81②在正方形ABCD中，∵AD=4，∴AB=BC=AD=4,∠DAE=∠B=90°，∵AE=BF=x，∴△ADE≌△BAF，∴∠BAF=∠ADE，∴∠BAF+∠DAF=∠ADE+∠DAF=90°，∴∠EOF=∠AOD=90°，∵點P為EF的中點，∴OP=1在Rt△BEF中，BE=4?x,BF=xEF=B∴OP=1即OP的最小值為2．【實戰(zhàn)演練】1．若a2+b22A．?1或3 B．1或?3 C．?1 D．3【答案】D【分析】本題考查了用換元法解一元二次方程，設(shè)a2+b【詳解】設(shè)a2原方程變形為：x2x?3x?3=0或x+1=0解得x=3或?1，∵a2∴a2故選：D．2．若a+ba+b+1=6，則a+b的值為【答案】2或?3【分析】本題考查解一元二次方程，利用換元法的思想求解是解題關(guān)鍵．將a+b看作一個整體，設(shè)為x，再根據(jù)因式分解法解方程即可．【詳解】解：設(shè)a+b=x，則原方程為xx+1x2∴x?2=0或x+3=0，∴x1=2或∴a+b=2或a+b=?3．故答案為：2或?3．3．已知x2+y2+1【答案】4【分析】本題考查解一元二次方程，首先把x2+y2當(dāng)作一個整體，設(shè)x2+y2=k【詳解】解：設(shè)x2∴k+1k?3∴k2?2k?3=5，即∴k=4或k=?2，∵x2∴x24．如果方程x2+4x+n=0可以配方成x+m2=3，那么A．0 B．1 C．?1 D．3【答案】B【分析】本題考查了解一元二次方程配方法，代數(shù)式求值，利用解一元二次方程配方法進行計算，即可解答．【詳解】解：x2x2x2x+22∵方程x2+4x+n=0可以配方成∴m=2，4?n=3，解得：m=2，n=1，∴m?n2024故選：B．5．x=?3±32A．2x2+3x+1=0C．2x2+3x?1=0【答案】C【分析】本題考查解一元二次方程，根據(jù)一元二次方程ax2+bx+c=0【詳解】解：A、∵b2∴x=?3±B、∵b2∴x=3±C、∵b2∴x=?3±D、∵b2∴x=3±故選：C．6．閱讀感悟：已知方程x2解：設(shè)所求方程的根為y，則y=2x．所以x=y把x=y2代入已知方程，得化簡，得y2故所求方程為y2這種利用方程的代換求新方程的方法，我們稱為“換元法”．請用閱讀材料提供的“換元法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式．解決問題：(1)已知方程x2(2)方程ax2+bx+c=0(3)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個實數(shù)根分別為1和?1【答案】(1)y(2)c(3)2025和2022【分析】本題考查了解一元二次方程，理解題意，熟練掌握換元法是解此題的關(guān)鍵．（1）仿照例子，寫出已知方程和所求方程的根的關(guān)系，進行替換，化簡可得所求方程；（2）仿照例子，寫出已知方程和所求方程的根的關(guān)系，進行替換，化簡可得所求方程；（3）由（2）可得：關(guān)于x的一元二次方程的根與關(guān)于y?2024的一元二次方程的根互為倒數(shù)，可求出關(guān)于y?2024的一元二次方程cy?2024【詳解】（1）解：設(shè)所求方程的根為y，則y=x+1，∴x=y?1，把x=y?1代入已知方程得：y?12化簡得：y2故答案為：y2（2）解：設(shè)所求方程的根為y，則y=1∴x=1把x=1y代入已知方程得：化簡得：cy故答案為：cy（3）解：∵cy?2024∴cy?2024由（2）可得：關(guān)于x的一元二次方程的根與關(guān)于y?2024的一元二次方程的根互為倒數(shù)，∴y?2024=1∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0∴關(guān)于y?2024的一元二次方程cy?20242+by?2024+a=0∴y?2024=1或y?2024=?2，解得：y=2025或y=2022，∴關(guān)于y的一元二次方程cy?20242+by?2024+a=07．我們知道，配方法是解一元二次方程的一種方法，其實質(zhì)就是將一元二次方程由一般式ax2+bx+c=0【探究方法】已知a，b為任意實數(shù)，∵a即對于任意實數(shù)a，b，總有a2+b2≥2ab，且當(dāng)a=b時代數(shù)式a2+b2取得最小值為2ab【類比應(yīng)用】運用上面的結(jié)論，完成填空：（1）x2+1（2）當(dāng)x>0時，x2+9（3）當(dāng)x>0時，代數(shù)式x2【問題解決】若一個矩形的面積固定為n，它的周長是否會有最值呢？若有，求出周長的最值及此時矩形的長和寬，若沒有，請說明理由．由此你能得到怎樣的結(jié)論？【答案】類比應(yīng)用：（1）2；小；2；（2）6；小；6；（3）??；3；問題解決：若一個矩形的面積固定為n，它的周長有最小值，周長的最小值為4n，此時矩形的長和寬均為n【分析】本題考查了矩形的面積公式、矩形的周長公式以及完全平方式的展開式，解題的關(guān)鍵：（類比應(yīng)用）結(jié)合前面得出的結(jié)論套入數(shù)據(jù)；（問題解決）利用前面結(jié)論找出周長的最值．類比例題可得：a+b≥2ab類比應(yīng)用：（1）根據(jù)探究方法中的結(jié)論，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)探究方法中的結(jié)論，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；（3）將代數(shù)式化簡為x+1+1問題解決：設(shè)該矩形的長為a，寬為b(a≥b>0)，根據(jù)a+b≥2ab【詳解】解：已知a，b為任意實數(shù)，∵a+b?2ab∴a+b≥2ab即對于任意實數(shù)a，b，總有a+b≥2ab，且當(dāng)a=b時代數(shù)式a+b取得最小值為2類比應(yīng)用:（1）x2+1故答案為：2；小；2；（2）結(jié)合探究方法中得出的結(jié)論可知：當(dāng)x>0時，x2+9x2故答案為：6；小；6；（3）結(jié)合探究方法中得出的結(jié)論可知：當(dāng)x>0時，x2+x+1x故答案為：小；3；問題解決：設(shè)該矩形的長為a，寬為ba>b>0根據(jù)題意知，周長C=2a+b≥4ab=4n，且當(dāng)a=b此時a=b=n故若一個矩形的面積固定為n，它的周長有最小值，周長的最小值為4n，此時矩形的長和寬均為n四．根的判別式例1．若關(guān)于x的一元二次方程(k?1)x2?3x?2=0有兩個實數(shù)根，則k【答案】k≥?18【分析】本題考查一元二次方程的定義和根的判別式，掌握相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．因為一元二次方程(k?1)x【詳解】解：∵一元二次方程(k?1)x∴解得k≠1∴k的取值范圍是k≥?18且例2．（根的判別式+整體代入求值）已知關(guān)于x的一元二次方程3a?1x2?ax+14【答案】3【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，整體代入求代數(shù)式的值．根據(jù)一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則判別式為0，從而可得關(guān)于a的等式a2【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程3a?1x∴Δ∴a2則a2?2a=a?1，∴a2故答案為：3．【實戰(zhàn)演練】1．關(guān)于x的一元二次方程a?5x2?4x?1=0有實數(shù)根，則aA．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)>1且a≠5 C．a(chǎn)≥1且a≠5 D．a(chǎn)≠5【答案】C【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義和一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程a?5x∴?42∴a≥1且a≠5，故選：C．五．根與系數(shù)的關(guān)系【韋達定理】例1．閱讀材料：材料1：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個實數(shù)根x1,x2和系數(shù)a，材料2：已知一元二次方程x2?x?1=0的兩個實數(shù)根分別為m，n，求解：∵m，n是一元二次方程x2∴m+n=1,mn=?1．則m2根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：(1)應(yīng)用：一元二次方程2x2+3x?1=0的兩個實數(shù)根為x1，x2(2)類比：已知一元二次方程2x2+3x?1=0的兩個實數(shù)根為m，n，則m(3)提升：已知實數(shù)s，t滿足2s2+3s?1=0，2t2+3t?1=0且(4)拓展：已知關(guān)于x的一元二次方程x2?4x+m?1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2，且【答案】(1)?32(2)13(3)17或?(4)3<m<5【分析】（1）直接利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可；（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求出m+n=?32，mn=?1（3）由題意可將s、t可以看作方程2x2+3x?1=0的兩個根，即得出s+t=?32，st=?12（4）根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根得到Δ=?42?4m?1>0，求出m<5，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1【詳解】（1）解：∵一元二次方程2x2+3x?1=0的兩個根為x∴x1+x故答案為：?32，（2）解：∵一元二次方程2x2+3x?1=0的兩根分別為m∴m+n=?ba=?∴m===13（3）解：∵實數(shù)s、t滿足2s∴s、t可以看作方程2x∴s+t=?ba=?∵t?s==17∴t?s=172或當(dāng)t?s=171s當(dāng)t?s=?171s綜上分析可知，1s?1t的值為（4）解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2?4x+m?1=0有兩個不相等的實數(shù)根∴Δ解得m<5∵關(guān)于x的一元二次方程x∴x1+∵3∴3∴3解得m>3綜上所述，3<m<5．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，完全平方公式的變形計算．理解題意，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根與系數(shù)的關(guān)系：x【實戰(zhàn)演練】1．設(shè)x1，x2是關(guān)于x的方程(1)當(dāng)x1=?1時，求x2(2)求證：(x【答案】(1)x2=4，(2)詳見解析．【分析】本題主要考查了根據(jù)一元二次方程的根的判別式判斷一元二次方程的根的情況，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程，方程的解，正確理解一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0根的判別式Δ=b2?4ac，當(dāng)Δ>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ<0（1）把x1=?1代入方程求出（2）利用根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】（1）解：把x1=?1代入方程x?1x?2∴m=±6∴x?1x?2=6，即解方程得，x1=?1，故x2=4，（2）證明：方程x?1x?2=m∵Δ=4∴原方程有兩個不相同實數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x∵x1∵?m∴x12．已知關(guān)于x的方程x2?2m?1x+m2=0的兩實數(shù)根為x1，A．?3 B．?1 C．?3或1 D．?1或3【答案】A【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握x1·x2=?ba，x1+x2=c【詳解】解：∵關(guān)于x的方程x2?2m?1x+m∴x1·x∵x1∴x1∴2m?1+m解得：m=1，m=?3，∵方程有兩實數(shù)根，∴Δ=b解得：m≤1∴m=1（舍去），∴m=?3．故選：A．3．已知α,β是方程x2?2024x?1=0的兩個根，則1【答案】?2024【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，分式的加法，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．由題意得α+β=2024，αβ=?1，再對1α【詳解】解：∵α，β是方程x2∴α+β=2024，αβ=?1，∴1α故答案為：?2024．4．已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；(2)若方程的一個根為另一個根的3倍，求m的值．【答案】(1)見解析(2)m的值為?12【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方根根與系數(shù)的關(guān)系．（1）利用一元二次方程根的判別式進行證明即可；（2）設(shè)方程的一個根為a，則另一個根為3a，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得a+3a=2a?3a=?【詳解】（1）證明：由題意可得：Δ=故方程總有兩個實數(shù)根；（2）解：∵方程的一個根為另一個根的3倍，∴設(shè)方程的一個根為a，則另一個根為3a，由題意可得：a+3a=2a?3a=?解得：a=12，m=?1∴m的值為?12或5．已知關(guān)于x的方程4x2+a2A．5或?2 B．0 C．5 D．?2【答案】C【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程，設(shè)關(guān)于x的方程4x2+a2?3a?10x?4a=0的兩個實數(shù)根為m、n，則由根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n=?a2?3a?104，mn=?4a4=?a，再由相反數(shù)的定義得到【詳解】解：設(shè)關(guān)于x的方程4x2+∴m+n=?a2∵關(guān)于x的方程4x∴m+n=?a2?3a?10∴a=5或a=?2，∵mn=?m∴a=m∴a≥0，∴a=5，故選：C．已知關(guān)于x的一元二次方程x2?4x?2k+8=0有兩個實數(shù)根x1(1)求k的取值范圍；(2)若x12x【答案】(1)k>2(2)k=7【分析】本題考查了根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，熟知相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)兩個實數(shù)根x1，x2（2）提取公因式可得x12【詳解】（1）解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2?4x?2k+8=0有兩