專題14空間向量與立體幾何一、知識(shí)速覽二、考點(diǎn)速覽知識(shí)點(diǎn)1空間向量的概念及有關(guān)定理1、空間向量的有關(guān)概念（1）空間向量：在空間中，具有大小和方向的量；（2）相等向量：方向相同且模相等的向量；（3）相反向量：方向相反且模相等的向量；（4）共線向量(或平行向量)：表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量；（5）共面向量：平行于同一個(gè)平面的向量2、空間向量的有關(guān)定理知識(shí)點(diǎn)2兩個(gè)向量的數(shù)量積及其運(yùn)算1、空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律（1）數(shù)量積及相關(guān)概念（2）空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律2、空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積共線垂直模夾角知識(shí)點(diǎn)3空間中的平行與垂直的向量表示1、直線的方向向量和平面的法向量（1）直線的方向向量：如果表示非零向量的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量為直線l的方向向量．（2）平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量，則向量叫做平面α的法向量．2、空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為，直線l的方向向量為，平面α的法向量為平面α，β的法向量分別為，知識(shí)點(diǎn)4利用空間向量求空間角1、異面直線所成角2、直線與平面所成角如圖所示，設(shè)l為平面α的斜線，l∩α＝A，為l的方向向量，為平面α的法向量，3、二面角（1）若AB，CD分別是二面角α-l-β的兩個(gè)平面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角(或其補(bǔ)角)的大小就是向量與的夾角，如圖a.知識(shí)點(diǎn)5利用空間向量求空間距離1、點(diǎn)到直線的距離已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，設(shè)向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，則點(diǎn)P到直線l的距離為eq\r(a2－a·u2)(如圖)．2、點(diǎn)到平面的距離已知平面的法向量為,是平面內(nèi)的任一點(diǎn)，是平面外一點(diǎn)，過點(diǎn)作則平面的垂線，交平面于點(diǎn)，3、線面距和面面距線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解。一、用基向量表示指定向量的方法（1）結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形．（2）將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中．（3）利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來．【答案】D【答案】B【答案】D【解析】取中點(diǎn)為，二、證明三點(diǎn)共線和空間四點(diǎn)共面的方法比較三點(diǎn)(P，A，B)共線空間四點(diǎn)(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))且同過點(diǎn)Peq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up6(→))【答案】證明見解析所以B，C，D三點(diǎn)共線．（1）求證：、、三點(diǎn)共線；【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析故A、、三點(diǎn)共線；故、、三點(diǎn)共線．【典例4】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在幾何體ABCDE中，ABC，BCD，CDE均為邊長為2的等邊三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．求證：A，B，D，E四點(diǎn)共面；【答案】證明見解析從而以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，三、空間向量數(shù)量積的應(yīng)用A．共線B．相交C．垂直D．不共面【答案】CA．B．C．D．3【答案】B（1）試用，，表示；（2）求異面直線與所成角的余弦值.四、利用空間向量證明空間線面位置關(guān)系1、利用空間向量證明平行的方法線線平行證明兩直線的方向向量共線線面平行①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行面面平行①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題2.利用空間向量證明垂直的方法線線垂直證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零線面垂直證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示面面垂直證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎尽敬鸢浮孔C明見解析過點(diǎn)C作DA的平行線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，【答案】證明見解析【解析】因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，所以AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）以A為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，（2）連接，，如圖所示，五、用向量法求異面直線所成角的一般步驟（1）建立空間直角坐標(biāo)系；（2）用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；（3）利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；（4）注意兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對(duì)值．【答案】A【答案】C所以直線與直線夾角的余弦值為.故選：C.【答案】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，所以異面直線與所成角的余弦值為，故答案為：六、用向量法求解直線與平面所成角的方法A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系：【答案】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸，過點(diǎn)且平行于的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，（2）求直線AC與平面ABD所成角的正弦值．以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz．七、利用向量法解二面角問題的策略1、找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大??；2、找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體ABEF-DCE′F′中，M，N分別為AC，BF的中點(diǎn)，則平面MNA與平面MNB的夾角的余弦值為（）【答案】B【解析】設(shè)正方體棱長為1，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BE，BC所在直線分別為x軸、y軸、z軸故∠AGB為兩平面夾角或其補(bǔ)角．設(shè)平面MNA與平面MNB的夾角為θ，故所求兩平面夾角的余弦值為.設(shè)平面MNA與平面MNB的夾角為θ，故所求兩平面夾角的余弦值為.故選：B.【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，，∴，，兩兩垂直，連接、，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸，建立如上圖所示空間直角坐標(biāo)系，易錯(cuò)點(diǎn)1忽視零向量點(diǎn)撥：在進(jìn)行空間向量相關(guān)概念判斷時(shí)，要注意零向量的特殊性，如零向量與任意向量平行等?！镜淅?】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在下列命題中：①若向量共線，則向量所在的直線平行；②若向量所在的直線為異面直線，則向量一定不共面；A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】對(duì)于①，若向量共線，則向量所在的直線平行，也可能共線，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，由于向量可以平移，兩個(gè)向量一定共面，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，任意兩個(gè)向量自然是兩兩共面，三個(gè)向量則不一定共面，對(duì)于空間中的任意向量則不一定成立，故④錯(cuò)誤.于是四個(gè)選項(xiàng)都是錯(cuò)的.故選：A【典例2】（2023秋·重慶萬州·高二校考階段練習(xí)）（多選）以下四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（）【答案】ABD當(dāng)為零向量時(shí)，與不一定共線，故B錯(cuò)；相等向量具有傳遞性，故C正確；易錯(cuò)點(diǎn)2忽視異面直線的夾角與向量的夾角范圍不同A．B．C．D．0【答案】A故⊥，所以⊥，設(shè)直線與所成角的大小為，與所成角的余弦值為.故選：A易錯(cuò)點(diǎn)2線面角與向量夾角轉(zhuǎn)