第06講角平分線的性質(zhì)與判定知識(shí)點(diǎn)1：尺規(guī)作圖作角平分線知識(shí)點(diǎn)2：角平分線的性質(zhì)定理知識(shí)點(diǎn)3：角平分線的判定定理角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。幾何表示：∵OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E?！郟D=PE?！绢}型1：角平分線的性質(zhì)定理的應(yīng)用】【典例1】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AC、AB于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD=4,AB=14A．24 B．28 C．32 D．36【變式1】如圖，點(diǎn)P是∠AOB平分線OC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥OA于點(diǎn)D，點(diǎn)E是射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，已知PD=4，則PE的最小值為（

）A．5 B．3 C．4 D．1【變式2】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°分別以A，B兩點(diǎn)為圓心，大于12AB為半徑畫弧，兩弧交于M，N兩點(diǎn)，直線MN交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，若CD=3，則DE的長(zhǎng)度為（A．9 B．6 C．3 D．12【變式3】如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC=8,DE=2,AB=4，則AC長(zhǎng)是（

A．3 B．4 C．6 D．5【題型2：角平分線的性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用】【典例2】如圖，直線l1，l2，l3A．一處 B．兩處 C．三處 D．四處【變式1】某鎮(zhèn)政府為促進(jìn)旅游發(fā)展，準(zhǔn)備在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村，如圖所示．要使度假村到三條公路的距離相等，這個(gè)度假村應(yīng)修建在（

）A．△ABC三條高線的交點(diǎn)處 B．△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)處C．△ABC三條中線的交點(diǎn)處 D．△ABC三條角平分線的交點(diǎn)處【變式2】如圖，三條公路兩兩相交，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)油庫(kù)，要求油庫(kù)到這三條公路（AB,AC,BC）的距離都相等，則油庫(kù)的位置可以設(shè)計(jì)在（

）A．△ABC三條中線的交點(diǎn)B．△ABC三條角平分線的交點(diǎn)C．△ABC三條高所在直線的交點(diǎn)D．△ABC三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)【變式3】如圖，是一塊三角形草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個(gè)涼亭供大家休息．若要使涼亭到草坪三條邊的距離都相等，則涼亭應(yīng)建在三角形草坪（

）A．三條角平分線的交點(diǎn)處 B．三條中線的交點(diǎn)處C．三條高線的交點(diǎn)處 D．以上都不對(duì)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。幾何表示：∵點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上。重要拓展：1、三角形的三條角平分線相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，且該點(diǎn)到三角形三邊的距離相等。反之，三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點(diǎn)是該三角形三條角平分線的交點(diǎn)。2、三角形的角平分線與三角形一邊交于一點(diǎn)，這條角平分線把三角形分成兩個(gè)小三角形，它們的面積比等于另外兩邊的長(zhǎng)度的比。∵AD是∠BAC的角平分線；∴DF=DE；∵S△ADB=1∴S△ADBS△ADC【題型3：角平分線的性質(zhì)的判定】【典例3】如圖：在△ABC中，BF=CF，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求證：AF平分∠BAC．【變式1】如圖，在△ABC中，∠C=90°，D、F分別為BC、AC上的點(diǎn)，連接AD、DF，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，∠B+∠AFD=180°,BD=DF．求證：AD平分∠BAC．【變式2】如圖，在△ABC中，CA=CB，點(diǎn)E在邊BC上，且CE=CD，∠ACB=∠DCE=90°，AE的延長(zhǎng)線交BD于點(diǎn)F，連接CF．(1)求證：AE=BD；(2)求證：CF平分∠AFD．【變式3】如圖，已知BE⊥AC于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F，BE、CF相交于點(diǎn)D，若AB=AC．求證：AD平分∠BAC．【題型4：角平分線的性質(zhì)的判定和性質(zhì)綜合】【典例4】如圖，點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，∠ACE=28°，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EH⊥BD于點(diǎn)H，且(1)證明：AE平分∠CAF(2)若AB=8，CD=10，AC=6，且S△ABE=16，求【變式1】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是點(diǎn)E，F(xiàn)，BE=CF．(1)求證：AD平分∠BAC；(2)若△ABC的面積為84cm2，AB=12cm【變式2】如圖，CB=CD，∠D+∠ABC=180°，CE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：AC平分∠DAB．(2)若AE=18，DE=3，求AB的長(zhǎng)．【變式3】如圖1，在四邊形ABCD中，已知∠A=∠C=90°，AD=CD，連接BD．(1)求證：BD平分∠ABC；(2)點(diǎn)M，N分別是AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，∠ABD=30°，∠MDN=60°．①如圖2，若∠CDN=18°，求∠AMD的度數(shù)；②如圖3，線段AM，MN，CN之間有什么數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)加以證明．（一）作已知角的平分線（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分線）1、以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N。2、分別以M,N為圓心，大于123、畫射線OC，射線OC即為所求。【題型5：尺規(guī)作圖角平分線】【典例5】（2425七年級(jí)下·河南周口·期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°．(1)請(qǐng)用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)作∠ABC的平分線，與邊AC交于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)在（1）的作圖下，若△ABC的面積是24，AB+BC=16，求CD的長(zhǎng)．【變式1】（2425七年級(jí)下·河南駐馬店·期末）如圖，在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，AD⊥BC，(1)求作：△ABC的角平分線AE；（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)求∠BAC與∠EAD的度數(shù)．【變式2】（2425九年級(jí)下·黑龍江綏化·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中.(1)尺規(guī)作圖：作∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D.（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)若AB=8，AC=6，△ABD的面積為12，求△ABC的面積【變式3】（2324八年級(jí)上·廣東潮州·期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°,AB>CD．(1)利用尺規(guī)作∠ADC的平分線DE，交BC于點(diǎn)E，連接AE（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，若CE=BE，求證：AE平分∠DAB．1．如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，則PC與PD的大小關(guān)系是（

）A．PC>PD B．PC=PD C．PC<PD D．不能確定2．到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是（

）A．三條邊中線的交點(diǎn) B．三條邊的高的交點(diǎn)C．三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn) D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)3．如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OB，PD=4，則點(diǎn)P到OA的距離是（A．3 B．4 C．2 D．14．如圖，OC是∠AOB的平分線，PD⊥OA于點(diǎn)D，點(diǎn)P到OB的距離為5，OD=12，△OPD的面積為（

）A．30 B．60 C．78 D．395．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，CD=2,Q為AB上一動(dòng)點(diǎn)，則DQA．2 B．2 C．3 D．2.56．如圖，E為∠BAC平分線AP上一點(diǎn)，AF=4，S△AFE=6，則點(diǎn)E到直線AC的距離為（A．3 B．4 C．5 D．37.如圖所示，若AB∥CD，AP，CP分別平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=4cm，則AB與CD之間的距離為（

A．4cm B．6cm C．88．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，△ABD的面積是10，若AB=5，則點(diǎn)D到AC的距離是（）A．2 B．3 C．4 D．59．如圖，OC為∠AOB的平分線，CM⊥OB，OC=5，CM=4，則點(diǎn)C到射線OA的距離為．10．如圖，在△ABC中，AB=2AC，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AC,AB于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若S△ABD=12，則11．如圖，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，AB=36cm，BC=24cm，S△ABC=150cm12．如圖，D是△ABC的三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，已知AB:BC:AC=4:3:5，則S△ABD:13．如圖，在△ABC中，AD是角平分線，∠B=50°，∠C=62°，DE⊥AC．(1)求∠ADE的度數(shù)．(2)若DE=3，求點(diǎn)D到AB的距離．14．如圖，在△ABC中，AB=16，BC=12，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥BC，若DE=5，求△ABC的