8．6.3第1課時平面與平面垂直的判定【課標要求】1.理解二面角的有關概念，會作二面角的平面角，能求簡單二面角的平面角的大小.2.借助長方體，通過直觀感知，歸納出平面與平面垂直的判定定理，并加以證明.3.會應用平面與平面垂直的判定定理證明平面與平面垂直．【導學】學習目標一二面角師問：同學們在打開課本154頁的過程中，會給人以面面“夾角”變大的感覺，你認為應該怎樣刻畫不同的面面“夾角”呢？生答：例1如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點，且PA＝AC，求二面角P-BC-A的大?。偨Y：求二面角的平面角的大小的一般步驟(1)作：作出平面角，一般在交線上找一特殊點，分別在兩個半平面內向交線作垂線．(2)證：證明所作的角滿足定義．(3)求：將作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大?。櫽柧?如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中：(1)二面角D′-AB-D的大小為________．(2)二面角A′-AB-D的大小為________．學習目標二平面與平面垂直的定義師問：教室中墻面與地面有怎樣的位置關系？你認為應該怎樣定義兩個平面垂直？生答：例2如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一側的兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.證明：平面AEC⊥平面AFC.用定義證明兩個平面垂直的步驟跟蹤訓練2如圖所示，在四面體ABCD中，BD＝2a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求證：平面ABD⊥平面BCD.學習目標三平面與平面垂直的判定定理師問：建筑工人在砌墻時，常用鉛錘來檢測所砌的墻面與地面是否垂直，你能描述這個操作過程嗎？生答：例3如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側面AA1C1C為菱形，∠A1AC＝60°，且AB⊥AA1，BC1⊥A1C.求證：平面ABC⊥平面A1ACC1.總結：通常情況下利用判定定理要比定義簡單些，這也是證明面面垂直的常用方法，即要證面面垂直，只要轉證線面垂直，其關鍵與難點是在其中一個平面內尋找一直線與另一平面垂直．跟蹤訓練3如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求證：平面PDC⊥平面PAD.【導練】1．在二面角α-l-β的棱l上任選一點O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，則必須具有的條件是()A．AO⊥BO，AO?α，BO?βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO?α，BO?βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β2．下列不能確定兩個平面垂直的是()A．兩個平面相交，所成二面角是直二面角B．一個平面垂直于另一個平面內的一條直線C．一個平面經過另一個平面的一條垂線D．平面α內的直線a垂直于平面β內的直線b3．已知三棱錐A-BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，則有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ADC⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ABC⊥平面ADB4．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝22AA1，E為CC1的中點，則二面角E-BD-C【導思】如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BD＝BC，BD⊥AC，M是棱BB1上一點．(1)求證：MD⊥AC；(2)當M在BB1上的何處時，有平面DMC1⊥平面CC1D1D.指津：(1)證明BB1⊥AC，結合BD⊥AC可得AC⊥平面BB1D1D，即得證．(2)取DC的中點N，D1C1的中點N1，連接NN1交DC1于點O，連接OM，BN，證得BN⊥平面CC1D1D，可得當點M為棱BB1的中點時，OM⊥平面CC1D1D.溫馨提示：8．6.3平面與平面垂直第1課時平面與平面垂直的判定導學學習目標一生答：用二面角的平面角來刻畫二面角的大?。?解析：由已知PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，PA⊥AC.∵AB是⊙O的直徑，且點C在圓周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC?平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角．由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P-BC-A的大小是45°.跟蹤訓練1解析：(1)在正方體ABCD-A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD為二面角D′-AB-D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′-AB-D的大小為45°.(2)因為AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD為二面角A′-AB-D的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′-AB-D的大小為90°.答案：45°90°學習目標二生答：垂直．一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．例2證明：如圖，連接BD，交AC于點G，連接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨設GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.同理可得FG⊥AC，所以∠EGF為二面角E-AC-F的平面角．在Rt△EBG中，可得BE＝EG2?BG2＝在Rt△FDG中，可得FG＝DG2+DF在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝22，可得EF＝3從而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.即二面角E-AC-F的平面角為90°，所以平面AEC⊥平面AFC.跟蹤訓練2證明：∵AB＝AD＝CB＝CD＝a，∴△ABD與△BCD是等腰三角形．如圖，取BD的中點E，連接AE，CE，則AE⊥BD，BD⊥CE，∴∠AEC為二面角A-BD-C的平面角．在Rt△ABE中，AB＝a，BE＝12BD＝22a，∴AE＝AB2同理CE＝22在△AEC中，AE＝CE＝22∴AC2＝AE2＋CE2，∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°，即二面角A-BD-C的平面角為90°，∴平面ABD⊥平面BCD.學習目標三生答：鉛錘所在直線垂直于地面，那么經過鉛錘所在直線的墻面垂直于地面．例3證明：連接AC1，如圖，由AA1C1C是菱形，所以AC1⊥CA1.又BC1⊥CA1，BC1∩AC1＝C所以CA1⊥平面ABC1，故CA1⊥AB，又AA1⊥AB，CA1∩AA1＝A所以AB⊥平面AA1C1C，又AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面A1ACC1.跟蹤訓練3證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，又∵CD?平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.導練1．解析：根據二面角平面角的定義，二面角平面角的頂點在棱上，兩個邊分別在兩個半平面內，且都垂直于棱，故排除A，B，C，所以必須具備的條件是D.故選D.答案：D2．解析：對于A，兩個平面所成二面角是直二面角，兩個平面垂直，故正確；對于B，一個平面垂直于另一個平面內的一條直線，即這條直線垂直于這個平面，所以經過這條直線的平面與另一個平面垂直，故正確；對于C，一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直，故正確；對于D，如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面A1DCB1內的直線A1B1垂直于平面ABCD內的一條直線BC，但平面A1DCB1與平面ABCD顯然不垂直，故不正確．故選D.答案：D3．解析：畫出圖象如圖所示，由于AD⊥BC，AD⊥CD，所以AD⊥平面BCD，而AD?平面ADC，所以平面ADC⊥平面BCD.故選B.答案：B4．解析：連接AC交BD于點F，連接EF.∵AB＝BC，∴底面ABCD是正方形，則AC⊥BD即CF⊥BD，又CC1⊥底面ABCD，CE⊥BD，CE∩CF＝C，∴BD⊥平面CFE，EF?平面CFE，∴BD⊥EF，∴∠CFE為二面角E-BD-C的平面角．不妨設AB＝BC＝1，則AA1＝2，CE＝22，CF＝12AC＝tan∠CFE＝CECF＝2222＝1，又∠CFE∈[0，π]，答案：π導思解析：(1)證明：在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，則BB1⊥AC，而BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，BD，BB1?平面BB1D1D，于是AC⊥平面BB1D1D，而MD?平面BB1D所以MD⊥AC.(2)當點M為棱BB1的中點時，平面DMC1⊥平面CC1D1D.如圖，取DC的中點N，D1C1的中點N1，連接NN1交DC1于點O，連接OM，BN，顯然NN1∥CC1，則O是NN1的中點，由N是DC的中點，BD＝BC，得BN⊥DC，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，DD1