第01講與三角形有關(guān)的線段知識點(diǎn)1：三角形的概念知識點(diǎn)2：三角形的分類知識點(diǎn)3：三角形的三邊關(guān)系知識點(diǎn)4：三角形的三種重要線段由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形；記作：△ABC，如圖：其中：線段AB，AC，CA是三角形的邊，A，B，C是三角形的頂點(diǎn)，∠A，∠B，∠C是相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角．【題型1三角形的概念】【典例1】下面各項(xiàng)都是由三條線段組成的圖形，其中屬于三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了三角形的定義，掌握“在同一平面內(nèi)，由三條線段首尾順次連接形成的封閉圖形叫做三角形”是解題關(guān)鍵．【詳解】解：由三角形的定義可知，只有C選項(xiàng)的圖形是三角形，故選：C．【變式1】下面是小航用三根火柴組成的圖形，其中符合三角形的概念的是（

）A．B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了三角形的定義，解題的關(guān)鍵是熟練記住定義.根據(jù)三角形的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：因?yàn)槿切问怯刹辉谕粭l直線上的三條線段首尾順次相接所成的圖形，所以選項(xiàng)C符合題意.故選：C．【變式2】如圖，老師講桌上的一個(gè)三角形卡片被壓在了書下．請你根據(jù)三角形卡片露出的部分判斷該三角形的形狀，是（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形【答案】D【分析】本題考查了三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的分類；根據(jù)三角形的分類即可得到正確的結(jié)論【詳解】解：由圖可知：三角尺露出的角是鈍角，故該三角形是鈍角三角形，故選D【變式3】如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，E是AD邊上一點(diǎn)．在△ACE中，∠CAE的對邊是．

【答案】CE/EC【分析】此題主要考查了三角形，關(guān)鍵是掌握三角形邊角間的關(guān)系．利用三角形邊、角間的關(guān)系可得答案．【詳解】解：在△ACE中，∠CAE的對邊是CE．故答案為：CE．等腰三角形：在等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角?！绢}型2三角形的分類】【典例2】我們已經(jīng)學(xué)了很多數(shù)學(xué)知識，它們之間有密切的聯(lián)系．下列不能正確表示它們之間關(guān)系的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形，四邊形，有理數(shù)分類，解答本題需熟練掌握分類標(biāo)準(zhǔn)，明確分類方法．根據(jù)等邊三角形、等腰三角形之間的關(guān)系；三角形按照角度分類：銳角三角形，鈍角三角形和直角三角形；有理數(shù)包含整數(shù)和分?jǐn)?shù)；長方形屬于特殊的平行四邊形；進(jìn)行解答即可．【詳解】解：A．等邊三角形屬于特殊的等腰三角形，等腰三角形屬于特殊的三角形，因此等邊三角形應(yīng)該是等腰三角形的圓圈內(nèi)，故A符合題意；B．長方形屬于特殊的平行四邊形，故B不符合題意；C．三角形按照角度可以分為：銳角三角形，鈍角三角形和直角三角形，故C不符合題意；D．整數(shù)屬于有理數(shù)，故D不符合題意．故選：A．【變式1】若一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為2:3:4，則這個(gè)三角形是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】A【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的分類，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180度求出這個(gè)三角形最大的內(nèi)角的度數(shù)即可得到答案．【詳解】解：∵一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為2:3:4，∴這個(gè)三角形最大的內(nèi)角度數(shù)為180°×4∴這個(gè)三角形是銳角三角形，故選：A．【變式2】如圖，∠ABM是銳角，點(diǎn)C從點(diǎn)B出發(fā)沿BM方向運(yùn)動(dòng)，連結(jié)AC．關(guān)于△ABC的形狀變化情況，下列說法正確的是（

）A．鈍角三角形→銳角三角形→鈍角三角形B．鈍角三角形→直角三角形→鈍角三角形C．鈍角三角形→直角三角形→銳角三角形→鈍角三角形D．以上說法都不對【答案】D【分析】本題考查三角形的分類，根據(jù)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)路線，分段進(jìn)行討論即可．【詳解】解：點(diǎn)C從點(diǎn)B出發(fā)后至AC⊥BC前，∠ACB>90°，△ABC是鈍角三角形；當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)至AC⊥BC時(shí)，∠ACB=90°，△ABC是直角三角形；點(diǎn)C繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)，∠BAC由小變大，當(dāng)∠BAC<90°時(shí)，△ABC是銳角三角形；當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，△ABC是直角三角形；當(dāng)∠BAC>90°時(shí)，△ABC是鈍角三角形；因此變化情況為：鈍角三角形→直角角三形→銳角三角形→直角三角形→鈍角三角形，故選D．【變式3】三角形按角分類可以分為（

）A．銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形B．等腰三角形、等邊三角形、不等邊三角形C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正確【答案】A【分析】根據(jù)三角形的分類情況可得答案．此題主要考查了三角形的分類，關(guān)鍵是掌握三角形的分類一種是按邊分類，另一種按角分類．【詳解】解：三角形按角分類可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，故選：A．三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。【拓展：三邊關(guān)系的運(yùn)用】①判斷三條線段能否組成三角形；②當(dāng)已知三角形的兩邊長時(shí)，可求第三邊的取值范圍?！绢}型3構(gòu)成三角形的條件】【典例3】下列長度的各組線段能組成一個(gè)三角形的是（

）A．2cm，3cm，5cmB．【答案】B【分析】本題主要考查了構(gòu)成三角形的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，據(jù)此求解即可．【詳解】解：A、∵2+3=5，∴長為2cm，B、∵4+4>6，∴長為4cm，C、∵3+4<8，∴長為3cm，D、∵1+2<4，∴長為1cm，故選：B．【變式1】下列四組三條線段的比：①2:2:3；②2:3:5；③1:4:6；④3:4:5．其中能構(gòu)成三角形的有（

）A．①②④ B．①④ C．②③④ D．②④【答案】B【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系．熟練掌握三角形中三邊關(guān)系滿足：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．根據(jù)三角形三邊關(guān)系進(jìn)行求解判斷即可．【詳解】解：①設(shè)三邊為2a、2a、3a，由2a+2a=4a>3a可得，三邊能構(gòu)成三角形，故符合要求；②設(shè)三邊為2a、3a、5a，由2a+3a=5a可得，三邊不能構(gòu)成三角形，故不符合要求；③設(shè)三邊為a、4a、6a，由4a+a=5a<6a可得，三邊不能構(gòu)成三角形，故不符合要求；④設(shè)三邊為3a、4a、5a，由3a+4a=7a>5a可得，三邊能構(gòu)成三角形，故符合要求；∴共有①④能構(gòu)成三角形．故選：B．【變式2】已知一個(gè)等腰三角形的一邊長等于4cm，一邊長等于7A．15cm B．18cm C．15cm或18【答案】C【分析】本題考查等腰三角形及三角形三邊關(guān)系．解題的關(guān)鍵是分情況討論．分兩種情況討論，當(dāng)4cm為底邊長時(shí)和當(dāng)7【詳解】解：當(dāng)4cm為底邊長時(shí)，腰長為7∵4+7>7，∴滿足三角形的三邊關(guān)系，∴周長為7+7+4=18cm當(dāng)7cm為底邊長，腰長為4∵4+4>7，∴滿足三角形的三邊關(guān)系，∴周長為4+4+7=15cm故它的周長為15cm或18故選：C．【變式3】現(xiàn)有4cm和9cm的小棒各一根，再取一根整厘米長的小棒與它們拼成三角形可以有【答案】7/七【分析】本題考查了構(gòu)成三角形的條件，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．設(shè)三角形的第三邊長為xcm，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到5<x<13【詳解】解：設(shè)三角形的第三邊長為xcm則9?4<x<9+4，即5<x<13，∴x可取6cm，7cm，8cm，9cm，10cm，11cm，12cm，有7種取法；故答案為：7．【題型4三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用】【典例4】已知a,b,c是△ABC的三條邊長，化簡：a+b?c+2b?c?a【答案】2a+2c【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系、化簡絕對值以及整式的加減運(yùn)算，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出a+b?c>0,b?c?a<0,a?b?c<0是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷：a+b?c>0,b?c?a<0,a?b?c<0，然后化簡絕對值，再進(jìn)行整式的加減計(jì)算即可得．【詳解】解：∵a,b,c是△ABC的三條邊長，∴a+b?c>0,b?c?a<0,a?b?c<0，∴=a+b?c?2b+2c+2a?a+b+c=2a+2c，故答案為：2a+2c．【變式1】為估計(jì)池塘兩岸A、B間的距離，如圖，小明在池塘一側(cè)選取了一點(diǎn)O，測得OA=16m，OB=12m，那么AB的距離不可能是（A．5m B．15m C．20m【答案】D【分析】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)三邊關(guān)系求出AB的取值范圍是解題的關(guān)鍵．首先確定三角形的兩邊是16m，12m，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定【詳解】解：根據(jù)三角形三邊關(guān)系得：16?12<AB<16+12，即4<AB<28，所以AB的距離不能是30m故選：D．【變式2】若△ABC的三邊為a,b,c，則化簡|a+b?c|?|b?a?c|的結(jié)果是．【答案】2b?2c【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系，不等式的性質(zhì)，絕對值，合并同類項(xiàng)，掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得到a+b?c>0,b?a?c<0，再去絕對值，最后合并，即可解答．【詳解】解：∵△ABC的三邊為a,b,c，∴a+b>c,b<a+c，即a+b?c>0,b?a?c<0，∴|a+b?c|?|b?a?c|=a+b?c+b?a?c=2b?2c．故答案為：2b?2c．【變式3】如圖，已知O為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，求證(1)OA+OB+OC>1(2)OA+OB+OC<AB+AC+BC【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系．解題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形，利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行證明．（1）在△OAB、△OBC和△OCA（2）延長BO交AC于點(diǎn)D．在△ABD和△ODC中，得到AB+AD+OD+CD>BD+OC，推出AB+AC>OB+OC；同理AB+BC>OA+OC，AC+BC>OA+OB，據(jù)此即可證明結(jié)論成立．【詳解】（1）證明：在△OAB中，OA+OB>AB①，在△OBC中，OB+OC>BC在△OCA中，OC+OA>AC③，①+②+即OA+OB+OC>1（2）證明：如圖，延長BO交AC于點(diǎn)D．在△ABD中，AB+AD>BD①，在△ODC中，OD+CD>OC②，①+②，得∵BD=OB+OD，AD+CD=AC，∴AB+AC+OD>OB+OD+OC，∴AB+AC>OB+OC③，同理可證AB+BC>OA+OC④，AC+BC>OA+OB⑤，③+④+∴OA+OB+OC<AB+AC+BC．【題型5三角形的高】【典例5】下列四個(gè)圖形中，線段BE是△ABC的高的是（

）B．C． D．【答案】A【分析】此題考查了三角形的高，解題的關(guān)鍵是掌握從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫作三角形的高．利用三角形高的定義即可求解．【詳解】解：線段BE是△ABC的高的是選項(xiàng)A中的圖形；故選：A．【變式1】下列各組圖形中，AD是△ABC的高的圖形是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了三角形的高線，熟記概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)過三角形的頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線解答．【詳解】解：△ABC的高AD是過頂點(diǎn)A與BC垂直的線段，只有D選項(xiàng)符合．故選：D．【變式2】如圖，BE是△ABC的高的圖形是（

）【答案】D【分析】本題主要考查了三角形的高，三角形的高是指從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，連接頂點(diǎn)與垂足之間的線段．根據(jù)三角形高的定義求解即可．【詳解】解：BE是△ABC的高的圖形是：故選：D．【變式3】畫三角形ABC的高時(shí)，一同學(xué)畫出下列四種圖形，其中正確的圖形為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了三角形高的定義，是易錯(cuò)題，熟記高的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的高是過一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呉咕€，頂點(diǎn)與垂足之間的線段是三角形的高，對各圖形作出判斷．【詳解】解：根據(jù)高的定義，只有第一個(gè)圖形中BE是過點(diǎn)B且BE⊥AC．故選：A．【題型6利用三角形的中線求長度】【典例6】如圖，在△ABC中，AB>AC,D是BC邊上的中點(diǎn)，AB=10，△ABD與△ADC的周長之差為2，則AC的長為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】本題考查了中點(diǎn)的定義及線段的和差，根據(jù)圖中信息找到線段的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)中點(diǎn)的定義得出BD=CD，再根據(jù)線段的和差即可得出AB?AC=2，從而得出答案．【詳解】解：∵D是BC邊上的中點(diǎn)，∴BD=CD，∵△ABD與△ADC的周長之差為2，∴AB+AD+BD即AB+AD+BD?AC?CD?AD=2，∴AB?AC=2，∵AB=10，∴AC=AB?2=10?2=8，故選C．【變式1】如圖，△ABC的周長為30cm，AD是邊BC上的中線，若CD=6cm，AC=11cm，則ABA．11cm B．7cm C．6cm【答案】B【分析】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，三角形的周長等知識，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得到BD=CD=6cm，求出BC=12【詳解】解：∵AD是邊BC上的中線，CD=6cm∴BD=CD=6cm∴BC=BD+CD=12cm∵△ABC的周長為30cm∴AB+BC+AC=30，∴AB=7cm故選：B．【變式2】在△ABC中，AC=7，BC邊上的中線AD把△ABC分成周長差為5的兩個(gè)三角形，則AB的長為（

）A．2 B．19 C．2或19 D．2或12【答案】D【分析】本題考查了中線，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先整理得BD=CD，再進(jìn)行分類討論以及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合三角形的周長之間的關(guān)系進(jìn)行列式計(jì)算，即可作答．【詳解】解：∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，依題意，當(dāng)AB>AC時(shí)，如圖所示：∵BC邊上的中線AD把△ABC分成周長差為5的兩個(gè)三角形，∴AB+BD+AD?AC+CD+AD∴AC=7，∴AB=5+7=12；當(dāng)AB<AC時(shí)，如圖所示：∵BC邊上的中線AD把△ABC分成周長差為5的兩個(gè)三角形，∴AC+BD+AD?AB+CD+AD∴AC=7，∴AB=7?5=2；綜上：AB的長為2或12，故選：D【變式3】如圖CM是△ABC的中線，BC=8cm，若△BCM的周長比△ACM的周長大3cm，則AC的長是【答案】5【分析】本題主要考查了三角形的中線的定義，熟練掌握三角形中線的有關(guān)計(jì)算是解題的關(guān)鍵，根據(jù)中線的定義得出AM=BM，由△BCM的周長比△ACM的周長大3cm，得BC?AC=3【詳解】解：∵CM是△ABC的中線，∴AM=BM，由△BCM的周長為BC+BM+MC，△ACM的周長AC+AM+MC，∵△BCM的周長比△ACM的周長大3cm∴BC+BM+MC?AC+AM+MC∵BC=8cm∴AC=5cm故答案為：5．【題型7利用三角形的中線求面積】【典例7】如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，E是AC的中點(diǎn)，連接DE，若△CDE的面積為6，則△BDC的面積為．【答案】12【分析】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，掌握三角形的中線把三角形分成面積相同的兩部分是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)求得△ADC的面積，再根據(jù)三角形中線的性質(zhì)即可求得△BDC的面積．【詳解】解：∵E是AC的中點(diǎn)，△CDE的面積為6，∴△ADC的面積為2×6=12，∵CD是AB邊上的中線，∴△BDC的面積等于△ADC的面積12．故答案為：12．【變式1】如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，BE是△ABD的邊AD上的中線，若△ABC的面積是48，則△ABE的面積是．【答案】12【分析】本題考查三角形中線的性質(zhì)，三角形的中線將三角形分為兩個(gè)面積相等的小三角形，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵AD是BC邊上的中線，∴S△ABD∵BE是△ABD的邊AD上的中線，∴S△ABE故答案為：12【變式2】如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D，E分別為BC，AD的中點(diǎn)，EF=3CF，且△ABC的面積為12，則△BEF的面積為【答案】9【分析】本題考查了三角形中線的性質(zhì)．掌握中線能夠把三角形的面積等分是解題的關(guān)鍵．由點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，可得S△ABD=S△ACD=12S△ABC=6，由E是AD的中點(diǎn)，得出【詳解】∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴S△ABD∵E是AD的中點(diǎn)，∴S△ABE=S∴S△BCE∵EF=3CF，∴S△BEF故答案為：92【變式3】如圖，在△ABC中，G是邊BC上任意一點(diǎn)，D、E、F分別是AG、BD、CE的中點(diǎn)，S△ABC=48，則A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【分析】本題考查了三角形的面積，主要利用了三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形，原理為等底等高的三角形的面積相等．根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形解答．【詳解】解：連接CD，如圖所示：∵點(diǎn)D是AG的中點(diǎn)，∴S△ABD=1∴S△ABD∴S△BCD∵點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，∴S△CDE∵點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，∴S△DEF故選：A．1．下列長度的三條線段能拼成三角形的是（

）A．3，8，4 B．5，6，11 C．5，6，10 D．2，3，5【答案】C【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)兩邊之和大于第三邊進(jìn)行逐項(xiàng)分析，即可作答．【詳解】解：A、3+4=7<8，不滿足兩邊之和大于第三邊，故該選項(xiàng)不符合題意；B、5+6=11，不滿足兩邊之和大于第三邊，故該選項(xiàng)不符合題意；C、5+6=11>10，滿足兩邊之和大于第三邊，故該選項(xiàng)符合題意；D、2+3=5，不滿足兩邊之和大于第三邊，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C2．如圖所示，D，E分別是△ABC的邊AC，BC的中點(diǎn)，則下列說法不正確的是（

）A．DE是△BCD的中線 B．BD是△ABC的中線C．AD=DC，BE=EC D．∠C的對邊是DE【答案】D【分析】本題考查了三角形中線的概念，三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．根據(jù)中線的定義分析各個(gè)選項(xiàng)．【詳解】解：∵D，E分別是△ABC的邊AC，BC的中點(diǎn)，∴DE是△BCD的中線，BD是△ABC的中線，故選項(xiàng)A，B正確，不符合題意；∴AD=DC，BE=EC，故選項(xiàng)C正確，不符合題意；在△ABC中，∠C的對邊是AB，在△CDE中，∠C的對邊是DE，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．3．如圖所示，在△ABC中，AB邊上的高線是（）A．BD B．CD C．BC D．AC【答案】B【分析】本題考查三角形的高線，根據(jù)三角形的高線的定義，進(jìn)行判斷即可．熟練掌握三角形的高線的定義，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圖可知：CD⊥AB，∴AB邊上的高線是CD；故選：B．4．如圖，點(diǎn)B在∠A的一條邊上固定不動(dòng)，點(diǎn)C在∠A的另一條邊上可以任意移動(dòng)，連接BC，三角形ABC（

）①銳角三角形②直角三角形③鈍角三角形④等腰三角形A．只能是① B．只能是④C．可能是①②③ D．可能是①②③④【答案】D【分析】此題主要考查三角形的分類，分別畫出圖形判斷即可．【詳解】解：如圖，當(dāng)∠ABC<90°,∠ACB<90°時(shí)，此時(shí)三角形ABC為銳角三角形；如圖，當(dāng)∠ABC=90°或∠ACB=90°時(shí)，此時(shí)三角形ABC為直角三角形；或如圖，