專題14銳角的三角函數(shù)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（7大題型）【題型目錄】題型一正弦、余弦與正切的概念辨析題型二求角的正弦值題型三已知正弦值求邊長(zhǎng)題型四求角的余弦值題型五已知余弦值求邊長(zhǎng)題型六求角的正切值題型七已知正切值求邊長(zhǎng)【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：正切與余切1.正切直角三角形中一個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的比叫做這個(gè)銳角的正切（tangent）．銳角A的正切記作tanA．2.余切直角三角形中一個(gè)銳角的鄰邊與對(duì)邊的比叫做這個(gè)銳角的余切（cotangent）．銳角A的余切記作cotA．a(chǎn)acABCb知識(shí)點(diǎn)2：正弦與余弦1.正弦直角三角形中一個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的比叫做這個(gè)銳角的正弦（sine）．銳角A的正弦記作sinA．2.余弦直角三角形中一個(gè)銳角的鄰邊與斜邊的比叫做這個(gè)銳角的余弦（cosine）．銳角A的余弦記作cosA．a(chǎn)acABCb【經(jīng)典例題一正弦、余弦與正切的概念辨析】【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，構(gòu)造含∠BCD的Rt△CDE，分別算出DE、CE的長(zhǎng)，利用正切的定義計(jì)算即可．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，∵∠ACB=∠DEB=90°，∴AC∥DE∴∠A=∠EDB∴△ACB∽△DEB（AA）又∵AB=3，BC=1∵Rt△BDE∵BC=1故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了正切的定義，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正切值定義的成立條件是在直角三角形中，這點(diǎn)是容易被忽略的易錯(cuò)點(diǎn)．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知可得∠B=∠ACD，然后利用銳角三角函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】A．∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADB=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，在Rt△ACD中，cos∠ACD=，∴cosB=，故A不符合題意；B．在Rt△DBC中，cosB=，故B不符合題意；C．在Rt△DBC中，cos∠BCD=，∵∠A≠45°，∴∠B≠45°，∴∠B≠∠BCD，∴cosB≠，故C符合題意；D．在Rt△ABC中，cosB=，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，熟練掌握銳角三角函數(shù)只與角度大小有關(guān)與角度位置無(wú)關(guān)是解題的關(guān)鍵．【答案】/故答案為：．【點(diǎn)睛】考查的是銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理，熟記三角函數(shù)的定義及勾股定理是解題關(guān)鍵．

【點(diǎn)睛】本題考查了正切的定義，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．(1)求的長(zhǎng)；∵是的中點(diǎn)，【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及銳角三角函數(shù)，掌握相關(guān)計(jì)算是解題關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二求角的正弦值】【答案】B故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理和正弦函數(shù)和正切函數(shù)的定義，關(guān)鍵是要牢記正弦函數(shù)和正切函數(shù)的定義．【答案】B故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，作出合適的輔助線，構(gòu)造直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．【分析】分兩種情況：點(diǎn)D在線段上，點(diǎn)D在線段的反向延長(zhǎng)線上，分別畫(huà)出圖形，進(jìn)行求解即可．【點(diǎn)睛】此題考查了求銳角三角函數(shù)、勾股定理、含角的直角三角形等知識(shí)，分類討論是解題的關(guān)鍵．【答案】(1)見(jiàn)解析．(2)．【詳解】（1）如圖，連接，交于點(diǎn)O，（2）如圖，【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)和判定、全等三角形，勾股定理；靈活利用題干條件，根據(jù)面積公式、三角函數(shù)定義確定線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三已知正弦值求邊長(zhǎng)】【答案】C故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的概念、勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵．A．30 B．40 C．60 D．80【答案】B故選∶B．【答案】故答案為：10．是邊的中點(diǎn)，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，也考查了折疊的性質(zhì)和解直角三角形，勾股定理，三角函數(shù)，正確作出輔助線構(gòu)造成比例線段是解答本題的關(guān)鍵．【答案】1故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．(1)求證：是的切線；【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；【詳解】（1）解：連接，∵是的直徑，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∵為半徑，∴是的切線；（2）解：連接，∵是的直徑，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線，【點(diǎn)睛】本題考查了中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，切線的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，掌握切線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四求角的余弦值】A． B． C． D．【答案】C故選CA． B． C． D．【答案】B【詳解】解：在圖中標(biāo)上點(diǎn)、，連接，點(diǎn)為圓弧的圓心．以點(diǎn)為圓心長(zhǎng)度為半徑補(bǔ)充完整圓，點(diǎn)即是所求，如圖所示．圖中所標(biāo)點(diǎn)符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定依據(jù)圓周角定理，根據(jù)圓周角定理結(jié)合圖形找出點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心，三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)；重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求三角函數(shù)值，矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是作出圖形，數(shù)形結(jié)合，注意分類討論．(1)求點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；(2)．【點(diǎn)睛】本題考查折疊問(wèn)題，直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題五已知余弦值求邊長(zhǎng)】【答案】C故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查，已知余弦求邊長(zhǎng)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．A． B． C． D．4【答案】A故選：A．【答案】【分析】根據(jù)題意先求出斜邊的長(zhǎng)，再根據(jù)圓錐側(cè)面積公式進(jìn)行求解即可．故答案為：20π．

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，圓周的側(cè)面積，熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積公式是解題關(guān)鍵．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦與余弦、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握正弦與余弦的定義是解題關(guān)鍵．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及已知條件，得出∠CAD=∠ABE，進(jìn)而根據(jù)余弦的定義，即可求解．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，余弦的定義，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題六求角的正切值】A． B． C． D．【答案】C故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了求正切，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【答案】A故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及求正切值，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【答案】/0.5故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是掌握折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．(2)求的長(zhǎng)；【答案】(1)見(jiàn)解析(3)【點(diǎn)睛】本題考查了相似的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．【經(jīng)典例題七已知正切值求邊長(zhǎng)】A． B．2 C． D．【答案】A【詳解】如圖所示，連接．即解得故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理等，能根據(jù)題意構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．

A． B． C． D．【答案】A

故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，

∴是中線，【點(diǎn)睛】本題考查了重心概念、正切的定義以及勾股定理等知識(shí)，根據(jù)重心概念添加合適輔助線，構(gòu)造直角三角形求解是解題的關(guān)鍵．【答案】2或4/4或2【詳解】解：①如圖，當(dāng)在線段上時(shí)，

②如圖，當(dāng)在線段上時(shí)，

故答案：或．【點(diǎn)睛】本題考查了一般角的正切函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角函數(shù)的定義及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

①求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：，分別是，的中點(diǎn)，（2）解：①設(shè)與交于點(diǎn)，

是的中點(diǎn)，【重難點(diǎn)訓(xùn)練】【答案】B故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦值，勾股定理與網(wǎng)格,三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形．

【答案】A【詳解】解：連接交于點(diǎn)，連接OG，

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，求正弦，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

【答案】D

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，求角的正弦值，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

【答案】D故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，銳角三角函數(shù)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵．

【答案】

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，余弦，中位線等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【答案】2故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角，余弦，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于正確的添加輔助線．

【答案】5或【分析】分兩種情況畫(huà)出圖形，由相似三角形的性質(zhì)得出比例線段可求出的長(zhǎng)．∴是的垂直平分線，設(shè)與交于點(diǎn)O，

故答案為：5或．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、翻折的性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)題意畫(huà)出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵．

(1)求的長(zhǎng)；∵是的中點(diǎn)，

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及銳角三角函數(shù)，掌握相關(guān)計(jì)算是解題關(guān)鍵．

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)∵是的垂直平分線，【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，已知正弦求邊長(zhǎng)，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【答案】(1)見(jiàn)解析【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，角平分線的定義，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)9【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)質(zhì)，全等三角形的判定，解