初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽集訓(xùn)班講義第三講充滿(mǎn)活力的韋達(dá)定理一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，通常也稱(chēng)為韋達(dá)定理，這是因?yàn)樵摱ɡ硎怯?6世紀(jì)法國(guó)最杰出的數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的。韋達(dá)定理簡(jiǎn)單的形式中包含了豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用廣泛，主要體現(xiàn)在：運(yùn)用韋達(dá)定理，求方程中參數(shù)的值；運(yùn)用韋達(dá)定理，求代數(shù)式的值；利用韋達(dá)定理并結(jié)合根的判別式，討論根的符號(hào)特征；利用韋達(dá)定理逆定理，構(gòu)造一元二次方程輔助解題等。韋達(dá)定理具有對(duì)稱(chēng)性，設(shè)而不求、整體代入是利用韋達(dá)定理解題的基本思路。韋達(dá)定理，充滿(mǎn)活力，它與代數(shù)、幾何中許多知識(shí)可有機(jī)結(jié)合，生成豐富多彩的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而解這類(lèi)問(wèn)題常用到對(duì)稱(chēng)分析、構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想方法?！纠}求解】【例1】已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為。思路點(diǎn)撥：所求代數(shù)式為、的非對(duì)稱(chēng)式，通過(guò)根的定義、一元二次方程的變形轉(zhuǎn)化為(例【例2】如果、都是質(zhì)數(shù)，且，，那么的值為()A、B、或2C、D、或2思路點(diǎn)撥：可將兩個(gè)等式相減，得到、的關(guān)系，由于兩個(gè)等式結(jié)構(gòu)相同，可視、為方程的兩實(shí)根，這樣就為根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用創(chuàng)造了條件。注：應(yīng)用韋達(dá)定理的代數(shù)式的值，一般是關(guān)于、的對(duì)稱(chēng)式，這類(lèi)問(wèn)題可通過(guò)變形用+、表示求解，而非對(duì)稱(chēng)式的求值常用到以下技巧：(1)恰當(dāng)組合；(2)根據(jù)根的定義降次；(3)構(gòu)造對(duì)稱(chēng)式?！纠?】已知關(guān)于的方程：(1)求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)根。(2)若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根、滿(mǎn)足，求m的值及相應(yīng)的、。思路點(diǎn)撥：對(duì)于(2)，先判定、的符號(hào)特征，并從分類(lèi)討論入手?！纠?】設(shè)、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)m為何值時(shí)，有最小值?并求出這個(gè)最小值。思路點(diǎn)撥：利用根與系數(shù)關(guān)系把待求式用m的代數(shù)式表示，再?gòu)呐浞椒ㄈ胧?，?yīng)注意本例是在一定約束條件下(△≥0)進(jìn)行的。注：應(yīng)用韋達(dá)定理的前提條件是一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即應(yīng)用韋達(dá)定理解題時(shí)，須滿(mǎn)足判別式△≥0這一條件，轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，但要注意轉(zhuǎn)化前后問(wèn)題的等價(jià)性。【例5】已知：四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根。(1)當(dāng)m＝2和m>2時(shí)，四邊形ABCD分別是哪種四邊形?并說(shuō)明理由。(2)若M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，線段MN分別交AC、BD于點(diǎn)P，Q，PQ＝1，且AB<CD，求AB、CD的長(zhǎng)．思路點(diǎn)撥：對(duì)于(2)，易建立含AC、BD及m的關(guān)系式，要求出m值，還需運(yùn)用與中點(diǎn)相關(guān)知識(shí)找尋CD、AB的另一隱含關(guān)系式。注：在處理以線段的長(zhǎng)為根的一元二次方程問(wèn)題時(shí)，往往通過(guò)韋達(dá)定理、幾何性質(zhì)將幾何問(wèn)題從“形”向“數(shù)”(方程)轉(zhuǎn)化，既要注意通過(guò)根的判別式的檢驗(yàn)，又要考慮幾何量的非負(fù)性．

充滿(mǎn)活力的韋達(dá)定理學(xué)歷訓(xùn)練1、(1)已知和為一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根，并和滿(mǎn)足不等式，則實(shí)數(shù)取值范圍是。(2)已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)負(fù)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是。2、已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為。3、CD是Rt△ABC斜邊上的高線，AD、BD是方程的兩根，則△ABC的面積是。4、設(shè)、是關(guān)于的方程的兩根，+1、+1是關(guān)于的方程的兩根，則、的值分別等于()A．1，-3B．1，3C．-1，-3D．-1，35、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，a、b是關(guān)于的方程的兩根，那么AB邊上的中線長(zhǎng)是()A．B．C．5D．26、方程恰有兩個(gè)正整數(shù)根、，則的值是()A．1B．-lC．D．7、若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿(mǎn)足關(guān)系式：，判斷是否正確?8、已知關(guān)于的方程。當(dāng)是為何值時(shí)，此方程有實(shí)數(shù)根；(2)若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根、滿(mǎn)足：，求的值。9、已知方程的兩根均為正整數(shù)，且，那么這個(gè)方程兩根為。10、已知、是方程的兩個(gè)根，則的值為。11、△ABC的一邊長(zhǎng)為5，另兩邊長(zhǎng)恰為方程的兩根，則m的取值范圍是。12、兩個(gè)質(zhì)數(shù)、恰好是整系數(shù)方程的兩個(gè)根，則的值是()A．9413B．C．D．13、設(shè)方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，則以、為根的一元二次方程為()A．B．C．D．14、如果方程的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．0≤m≤1B．m≥C．D．≤m≤115、如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為10，且AB、BC(AB>BC)的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根。(1)求rn的值；（2）若E是AB上的一點(diǎn)，CF⊥DE于F，求BE為何值時(shí)，△CEF的面積是△CED的面積的，請(qǐng)說(shuō)明理由．16、設(shè)m是不小于的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程工有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、。若，求m的值。（2）求的最大值。17、如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90°，過(guò)C作CD⊥AB于D，且AD＝m，BD=n，AC2：BC2＝2：1；又關(guān)于x的方程兩實(shí)數(shù)根的差的平方小于192，求整數(shù)m、n的值。18、設(shè)、、為三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得方程和和有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，并且使方程和也有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，試求的值。初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽集訓(xùn)班講義第三講充滿(mǎn)活力的韋達(dá)定理一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，通常也稱(chēng)為韋達(dá)定理，這是因?yàn)樵摱ɡ硎怯?6世紀(jì)法國(guó)最杰出的數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的。韋達(dá)定理簡(jiǎn)單的形式中包含了豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用廣泛，主要體現(xiàn)在：運(yùn)用韋達(dá)定理，求方程中參數(shù)的值；運(yùn)用韋達(dá)定理，求代數(shù)式的值；利用韋達(dá)定理并結(jié)合根的判別式，討論根的符號(hào)特征；利用韋達(dá)定理逆定理，構(gòu)造一元二次方程輔助解題等。韋達(dá)定理具有對(duì)稱(chēng)性，設(shè)而不求、整體代入是利用韋達(dá)定理解題的基本思路。韋達(dá)定理，充滿(mǎn)活力，它與代數(shù)、幾何中許多知識(shí)可有機(jī)結(jié)合，生成豐富多彩的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而解這類(lèi)問(wèn)題常用到對(duì)稱(chēng)分析、構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想方法?！纠}求解】【例1】已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為。思路點(diǎn)撥：所求代數(shù)式為、的非對(duì)稱(chēng)式，通過(guò)根的定義、一元二次方程的變形轉(zhuǎn)化為(例【例2】如果、都是質(zhì)數(shù)，且，，那么的值為()A、B、或2C、D、或2思路點(diǎn)撥：可將兩個(gè)等式相減，得到、的關(guān)系，由于兩個(gè)等式結(jié)構(gòu)相同，可視、為方程的兩實(shí)根，這樣就為根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用創(chuàng)造了條件。注：應(yīng)用韋達(dá)定理的代數(shù)式的值，一般是關(guān)于、的對(duì)稱(chēng)式，這類(lèi)問(wèn)題可通過(guò)變形用+、表示求解，而非對(duì)稱(chēng)式的求值常用到以下技巧：(1)恰當(dāng)組合；(2)根據(jù)根的定義降次；(3)構(gòu)造對(duì)稱(chēng)式?！纠?】已知關(guān)于的方程：(1)求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)根。(2)若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根、滿(mǎn)足，求m的值及相應(yīng)的、。思路點(diǎn)撥：對(duì)于(2)，先判定、的符號(hào)特征，并從分類(lèi)討論入手?！纠?】設(shè)、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)m為何值時(shí)，有最小值?并求出這個(gè)最小值。思路點(diǎn)撥：利用根與系數(shù)關(guān)系把待求式用m的代數(shù)式表示，再?gòu)呐浞椒ㄈ胧?，?yīng)注意本例是在一定約束條件下(△≥0)進(jìn)行的。注：應(yīng)用韋達(dá)定理的前提條件是一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即應(yīng)用韋達(dá)定理解題時(shí)，須滿(mǎn)足判別式△≥0這一條件，轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，但要注意轉(zhuǎn)化前后問(wèn)題的等價(jià)性。【例5】已知：四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根。(1)當(dāng)m＝2和m>2時(shí)，四邊形ABCD分別是哪種四邊形?并說(shuō)明理由。(2)若M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，線段MN分別交AC、BD于點(diǎn)P，Q，PQ＝1，且AB<CD，求AB、CD的長(zhǎng)．思路點(diǎn)撥：對(duì)于(2)，易建立含AC、BD及m的關(guān)系式，要求出m值，還需運(yùn)用與中點(diǎn)相關(guān)知識(shí)找尋CD、AB的另一隱含關(guān)系式。注：在處理以線段的長(zhǎng)為根的一元二次方程問(wèn)題時(shí)，往往通過(guò)韋達(dá)定理、幾何性質(zhì)將幾何問(wèn)題從“形”向“數(shù)”(方程)轉(zhuǎn)化，既要注意通過(guò)根的判別式的檢驗(yàn)，又要考慮幾何量的非負(fù)性．

充滿(mǎn)活力的韋達(dá)定理學(xué)歷訓(xùn)練1、(1)已知和為一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根，并和滿(mǎn)足不等式，則實(shí)數(shù)取值范圍是。(2)已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)負(fù)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是。2、已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為。3、CD是Rt△ABC斜邊上的高線，AD、BD是方程的兩根，則△ABC的面積是。4、設(shè)、是關(guān)于的方程的兩根，+1、+1是關(guān)于的方程的兩根，則、的值分別等于()A．1，-3B．1，3C．-1，-3D．-1，35、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，a、b是關(guān)于的方程的兩根，那么AB邊上的中線長(zhǎng)是()A．B．C．5D．26、方程恰有兩個(gè)正整數(shù)根、，則的值是()A．1B．-lC．D．7、若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿(mǎn)足關(guān)系式：，判斷是否正確?8、已知關(guān)于的方程。當(dāng)是為何值時(shí)，此方程有實(shí)數(shù)根；(2)若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根、滿(mǎn)足：，求的值。9、已知方程的兩根均為正整數(shù)，且，那么這個(gè)方程兩根為。10、已知、是方程的兩個(gè)根，則的值為。11、△ABC的一邊長(zhǎng)為5，另兩邊長(zhǎng)恰為方程的兩根，則m的取值范圍是。12、兩個(gè)質(zhì)數(shù)、恰好是整系數(shù)方程的兩個(gè)根，則的值是()A．9413B．C．D．13、設(shè)方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，則以、為根的一元二次方程為()A．B．C．D．14、如果方程的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．0≤m≤1B．m≥C．D．≤m≤115、如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為10，且AB、BC(AB>BC)的長(zhǎng)