初中數(shù)學(xué)競賽集訓(xùn)班講義第二十講直線與圓直線與圓的位置有相交、相切、相離三種情形，既可從直線與圓交點的個數(shù)來判定，也可以從圓心到直線的距離與圓的半徑的大小比較來考察．討論直線與圓的位置關(guān)系的重點是直線與圓相切，直線與圓相切涉及切線的性質(zhì)和判定、切線長定理、弦切角的概念和性質(zhì)、切割線定理等豐富的知識，這些豐富的知識對應(yīng)著以下基本圖形、基本結(jié)論：注：點與圓的位置關(guān)系和直線與圓的位置關(guān)系的確定有共同的精確判定方法，即量化的方法(距離與半徑的比較)，我們稱“由數(shù)定形”，勾股定理的逆定理也具有這一特點．【例題求解】【例1】如圖，AB是半圓O的直徑，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延長線于E，若EA=1，ED=2，則BC的長為．思路點撥從C點看，可用切線長定理，從E點看，可用切割線定理，而連OD，則OD⊥EC，又有相似三角形，先求出⊙O的半徑．注：連結(jié)圓心與切點是一條常用的輔助線，利用切線的性質(zhì)可構(gòu)造出直角三角形，在圓的證明與計算中有廣泛的應(yīng)用．【例2】如圖，AB、AC與⊙O相切于B、C，∠A=50°，點P是圓上異于B、C的一個動點，則∠BPC的度數(shù)是()A．65°B．115°C．60°和115°D．130°和50°(山西省中考題)思路點撥略【例3】如圖，以等腰△ABC的一腰AB為直徑的⊙O交BC于D，過D作DE⊥AC于E，可得結(jié)論：DE是⊙O的切線．問：(1)若點O在AB上向點B移動，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓的交BC于D，DE⊥AC的條件不變，那么上述結(jié)論是否還成立?請說明理由；(2)如果AB=AC=5cm，sinA=，那么圓心O在AB的什么位置時，⊙O與AC相切?(2001年黑龍江省中考題)思路點撥(1)是結(jié)論探索題，(2)是條件探索題，從切線的判定方法和性質(zhì)入手，分別畫圖，方能求解．【例4】如圖，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB邊上的動點(與點A、B不重合)，Q是BC邊上的動點(與點B、C不重合)．(1)當(dāng)PQ∥AC，且Q為BC的中點時，求線段PC的長；(2)當(dāng)PQ與AC不平行時，△CPQ可能為直角三角形嗎?若有可能，求出線段CQ的長的取值范圍；若不可能，請說明理由．(廣州市中考題)思路點撥對于(2)，易發(fā)現(xiàn)只有點P能作為直角頂點，建立一個研究的模型——以CQ為直徑的圓與線段AB的交點就是符合要求的點P，從直線與圓相切特殊位置入手，以此確定CQ的取值范圍．注：判定一直線為圓的切線是平面幾何中一種常見問題，判定的基本方法有：(1)從直線與圓交點個數(shù)入手；(2)利用角證明，即證明半徑和直線垂直；(3)運(yùn)用線段證明，即證明圓心到直線的距離等于半徑．一個圓的問題，從不同的條件出發(fā)，可有不同的添輔助線方式，進(jìn)而可得不同的證法，對于分層次設(shè)問的問題，需整體考慮；【例5】如圖，在正方形ABCD中，AB=1，EQ\o(\s\up8(︵),\s\do1(AC))是以點B為圓心，AB長為半徑的圓的一段弧，點E是邊AD上的任意一點（點E與點A、D不重合），過E作EQ\o(\s\up8(︵),\s\do1(AC))所在圓的切線，交邊DC于點F，G為切點．（1）當(dāng)∠DEF=45°時，求證點G為線段EF的中點；（2）設(shè)AE=x，F(xiàn)C=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）將△DEF沿直線EF翻折后得△D1EF，如圖，當(dāng)EF=時，討論△AD1D與△ED1F是否相似，如果相似，請加以證明；如果不相似，只要求寫出結(jié)論，不要求寫出理由．思路點撥圖中有多條⊙B的切線，由切線長定理可得多對等長線段，這是解(1)、(2)問的基礎(chǔ)，對于(3)，由(2)求出的值，確定E點位置，這是解題的關(guān)鍵．注：本例將幾何圖形置于直角坐標(biāo)系中，綜合了圓的有關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等豐富的知識，并結(jié)合了待定系數(shù)法、數(shù)形互助等思想方法，具有較強(qiáng)的選拔功能．學(xué)力訓(xùn)練1．如圖，AB為⊙O的直徑，P點在AB延長線上，PM切⊙O于M點，若OA=，F(xiàn)M=，那么△PMB的周長為．2．PA、PB切⊙O于A、B，∠APB=78°，點C是⊙O上異于A、B的任意一點，則∠ACB=．3．如圖，EB、EC是⊙O的兩條切線，B、C是切點，A、D是⊙O上兩點，如果∠F=46°，∠DCF=32°，則∠A的度數(shù)是．4．如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O交BC于D，過點D作⊙O的切線交AC于E，要使DE⊥AC，則△ABC的邊必須滿足的條件是．5．、表示直線，給出下列四個論斷：①∥；②切⊙O于點A；③切⊙O于點B；④AB是⊙O的直徑．若以其中三個論斷作為條件，余下的一個作為結(jié)論，可以構(gòu)造出一些命題，在這些命題中，正確命題的個數(shù)為()1B．2C．3D．46．如圖，圓心O在邊長為的正方形ABCD的對角線BD上，⊙O過B點且與AD、DC邊均相切，則⊙O的半徑是()A．B．C．D．7．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BC<DC，若腰DC上有一點P，使AP⊥BP，則這樣的點()A．不存在B．只有一個C．只有兩個D．有無數(shù)個⌒⌒⌒⌒A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③9．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠ACB=45°，∠ABC=120°，⊙O的半徑為1，(1)求弦AC、AB的長；(2)若P為CB的延長線上一點，試確定P點的位置，使PA與⊙O相切，并證明你的結(jié)論．10．如圖，AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，弦CD⊥AB于E，且PC2=PE·PO．(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)若OE：EA=1：2，且PA＝6，求⊙O的半徑；(3)求sin∠PCA的值．11．(1)如圖a，已知直線AB過圓心O，交⊙O于A、B，直線AF交⊙O于F(不與B重合)，直線交⊙O于C、D，交AB于E且與AF垂直，垂足為G，連AC、AD，求證：①∠BAD=∠CAG；②AC·AD=AE·AF．(2)在問題(1)中，當(dāng)直線向上平行移動與⊙O相切時，其他條件不變．①請你在圖b中畫出變化后的圖形，并對照圖a標(biāo)記字母；②問題(1)中的兩個結(jié)論是否成立?如果成立，請給出證明；如不成立，請說明理由．12．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，⊙O分別與AB、AC相切于點E、F，圓心O在BC上，若AB=a，AC=b，則⊙O的半徑等于．13．如圖，AB是半圓O的直徑，點M是半徑OA的中點，點P在線段AM上運(yùn)動(不與點M重合)，點Q在半圓O上運(yùn)動，且總保持PQ=PO，過點Q作⊙O的切線交BA的延長線于點C．(1)當(dāng)∠QPA=60°時，請你對△QCP的形狀做出猜想，并給予證明．(2)當(dāng)QP⊥AB時，△QCP的形狀是三角形．(3)由(1)、(2)得出的結(jié)論，請進(jìn)一步猜想當(dāng)點P在線段AM上運(yùn)動到任何位置時，△QCP一定是三角形．14．如圖，已知AB為⊙O的直徑，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延長線于E，若AB=3，ED=2，則BC的長為()A．2B．3C．3．5D．4⌒⌒⌒⌒A．3個B．2個C．1個D．0個16．如圖，已知△ABC，過點A作外接圓的切線交BC的延長線于點P，，點D在AC上，且，延長PD交AB于點E，則的值為()A．B．C．D．⌒⌒17．如圖，已知AB為半圓O的直徑，AP為過點A的半圓的切線．在AB上任取一點C(點C與A、B不重合)，過點C作半圓的切線CD交AP于點D；過點C作CE⊥AB，垂足為E．連結(jié)BD，交CE于點F．⌒⌒(1)當(dāng)點C為AB的中點時(如圖1)，求證：CF＝EF；(2)當(dāng)點C不是AB的中點時(如圖2)，試判斷CF與EF的相等關(guān)系是否保持不變，并證明你的結(jié)論．18．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，點D在AC邊上，以D為圓心的⊙D與AB切于點E．(1)求證：△ADE∽△ABC；(2)設(shè)⊙D與BC交于點F，當(dāng)CF=2時，求CD的長；(3)設(shè)CD=，試給出一個值，使⊙D與BC沒有公共點，并說明你給出的值符合的要求．19．如圖，PA、PB與⊙O切于A、B兩點，PC是任意一條割線，且交⊙O于點E、C，交AB于點D．求證：20．如圖，⊙Oˊ與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、D兩點，圓心Oˊ的坐標(biāo)是(1，一1)，半徑是，(1)求A、B、C、D四點的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過點D的切線的解析式；(3)問過點A的切線與過點D的切線是否垂直?若垂直，請寫出證明過程；若不垂直，試說明理由．

21．當(dāng)你進(jìn)入博物館的展覽廳時，你知道站在何處觀賞最理想?如圖，設(shè)墻壁上的展品最高處點P距離地面a米，最低處點Q距離地面b米，觀賞者的眼睛點E距離地面m米，當(dāng)過P、Q、E三點的圓與過點E的水平線相切于點E時，視角∠PEQ最大，站在此處觀賞最理想．(1)設(shè)點E到墻壁的距離為x米，求a、b、m，x的關(guān)系式；(2)當(dāng)a=2.5，b=2，m=1.6時，求：(a)點E和墻壁距離x米；(b)最大視角∠PER的度數(shù)(精確到1度)．初中數(shù)學(xué)競賽集訓(xùn)班講義第二十講直線與圓直線與圓的位置有相交、相切、相離三種情形，既可從直線與圓交點的個數(shù)來判定，也可以從圓心到直線的距離與圓的半徑的大小比較來考察．討論直線與圓的位置關(guān)系的重點是直線與圓相切，直線與圓相切涉及切線的性質(zhì)和判定、切線長定理、弦切角的概念和性質(zhì)、切割線定理等豐富的知識，這些豐富的知識對應(yīng)著以下基本圖形、基本結(jié)論：注：點與圓的位置關(guān)系和直線與圓的位置關(guān)系的確定有共同的精確判定方法，即量化的方法(距離與半徑的比較)，我們稱“由數(shù)定形”，勾股定理的逆定理也具有這一特點．【例題求解】【例1】如圖，AB是半圓O的直徑，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延長線于E，若EA=1，ED=2，則BC的長為．思路點撥從C點看，可用切線長定理，從E點看，可用切割線定理，而連OD，則OD⊥EC，又有相似三角形，先求出⊙O的半徑．注：連結(jié)圓心與切點是一條常用的輔助線，利用切線的性質(zhì)可構(gòu)造出直角三角形，在圓的證明與計算中有廣泛的應(yīng)用．【例2】如圖，AB、AC與⊙O相切于B、C，∠A=50°，點P是圓上異于B、C的一個動點，則∠BPC的度數(shù)是()A．65°B．115°C．60°和115°D．130°和50°(山西省中考題)思路點撥略【例3】如圖，以等腰△ABC的一腰AB為直徑的⊙O交BC于D，過D作DE⊥AC于E，可得結(jié)論：DE是⊙O的切線．問：(1)若點O在AB上向點B移動，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓的交BC于D，DE⊥AC的條件不變，那么上述結(jié)論是否還成立?請說明理由；(2)如果AB=AC=5cm，sinA=，那么圓心O在AB的什么位置時，⊙O與AC相切?(2001年黑龍江省中考題)思路點撥(1)是結(jié)論探索題，(2)是條件探索題，從切線的判定方法和性質(zhì)入手，分別畫圖，方能求解．【例4】如圖，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB邊上的動點(與點A、B不重合)，Q是BC邊上的動點(與點B、C不重合)．(1)當(dāng)PQ∥AC，且Q為BC的中點時，求線段PC的長；(2)當(dāng)PQ與AC不平行時，△CPQ可能為直角三角形嗎?若有可能，求出線段CQ的長的取值范圍；若不可能，請說明理由．(廣州市中考題)思路點撥對于(2)，易發(fā)現(xiàn)只有點P能作為直角頂點，建立一個研究的模型——以CQ為直徑的圓與線段AB的交點就是符合要求的點P，從直線與圓相切特殊位置入手，以此確定CQ的取值范圍．注：判定一直線為圓的切線是平面幾何中一種常見問題，判定的基本方法有：(1)從直線與圓交點個數(shù)入手；(2)利用角證明，即證明半徑和直線垂直；(3)運(yùn)用線段證明，即證明圓心到直線的距離等于半徑．一個圓的問題，從不同的條件出發(fā)，可有不同的添輔助線方式，進(jìn)而可得不同的證法，對于分層次設(shè)問的問題，需整體考慮；【例5】如圖，在正方形ABCD中，AB=1，EQ\o(\s\up8(︵),\s\do1(AC))是以點B為圓心，AB長為半徑的圓的一段弧，點E是邊AD上的任意一點（點E與點A、D不重合），過E作EQ\o(\s\up8(︵),\s\do1(AC))所在圓的切線，交邊DC于點F，G為切點．（1）當(dāng)∠DEF=45°時，求證點G為線段EF的中點；（2）設(shè)AE=x，F(xiàn)C=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）將△DEF沿直線EF翻折后得△D1EF，如圖，當(dāng)EF=時，討論△AD1D與△ED1F是否相似，如果相似，請加以證明；如果不相似，只要求寫出結(jié)論，不要求寫出理由．思路點撥圖中有多條⊙B的切線，由切線長定理可得多對等長線段，這是解(1)、(2)問的基礎(chǔ)，對于(3)，由(2)求出的值，確定E點位置，這是解題的關(guān)鍵．注：本例將幾何圖形置于直角坐標(biāo)系中，綜合了圓的有關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等豐富的知識，并結(jié)合了待定系數(shù)法、數(shù)形互助等思想方法，具有較強(qiáng)的選拔功能．學(xué)力訓(xùn)練1．如圖，AB為⊙O的直徑，P點在AB延長線上，PM切⊙O于M點，若OA=，F(xiàn)M=，那么△PMB的周長為．2．PA、PB切⊙O于A、B，∠APB=78°，點C是⊙O上異于A、B的任意一點，則∠ACB=．3．如圖，EB、EC是⊙O的兩條切線，B、C是切點，A、D是⊙O上兩點，如果∠F=46°，∠DCF=32°，則∠A的度數(shù)是．4．如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O交BC于D，過點D作⊙O的切線交AC于E，要使DE⊥AC，則△ABC的邊必須滿足的條件是．5．、表示直線，給出下列四個論斷：①∥；②切⊙O于點A；③切⊙O于點B；④AB是⊙O的直徑．若以其中三個論斷作為條件，余下的一個作為結(jié)論，可以構(gòu)造出一些命題，在這些命題中，正確命題的個數(shù)為()1B．2C．3D．46．如圖，圓心O在邊長為的正方形ABCD的對角線BD上，⊙O過B點且與AD、DC邊均相切，則⊙O的半徑是()A．B．C．D．7．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BC<DC，若腰DC上有一點P，使AP⊥BP，則這樣的點()A．不存在B．只有一個C．只有兩個D．有無數(shù)個⌒⌒⌒⌒A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③9．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠ACB=45°，∠ABC=120°，⊙O的半徑為1，(1)求弦AC、AB的長；(2)若P為CB的延長線上一點，試確定P點的位置，使PA與⊙O相切，并證明你的結(jié)論．10．如圖，AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，弦CD⊥AB于E，且PC2=PE·PO．(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)若OE：EA=1：2，且PA＝6，求⊙O的半徑；(3)求sin∠PCA的值．11．(1)如圖a，已知直線AB過圓心O，交⊙O于A、B，直線AF交⊙O于F(不與B重合)，直線交⊙O于C、D，交AB于E且與AF垂直，垂足為G，連AC、AD，求證：①∠BAD=∠CAG；②AC·AD=AE·AF．(2)在問題(1)中，當(dāng)直線向上平行移動與⊙O相切時，其他條件不變．①請你在圖b中畫出變化后的圖形，并對照圖a標(biāo)記字母；②問題(1)中的兩個結(jié)論是否成立?如果成立，請給出證明；如不成立，請說明理由．12．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，⊙O分別與AB、AC相切于點E、F，圓心O在BC上，若AB=a，AC=b，則⊙O的半徑等于．13．如圖，AB是半圓O的直徑，點M是半徑OA的中點，點P在線段AM上運(yùn)動(不與點M重合)，點Q在半圓O上運(yùn)動，且總保持PQ=PO，過點Q作⊙O的切線交BA的延長線于點C．(1)當(dāng)∠QPA=60°時，請你對△QCP的形狀做出猜想，并給予證明．(2)當(dāng)QP⊥AB時，△QCP的形狀是三角形．(3)由(1)、(2)得出的結(jié)論，請進(jìn)一步猜想當(dāng)點P在線段AM上運(yùn)動到任何位置時，△QCP一定是三角形．14．如圖，已知AB為⊙O的直徑，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延長線于E，若AB=3，ED=2，則BC的長為()A．2B．3C．3．5D．4⌒⌒⌒⌒A．3個B．2個C．1個D．0個16．如圖，已知△ABC，過點A作外接圓的切線交BC的延長線于點P，，點D在AC上，且，延長PD交AB于點E，則的值為()A．B．C．D．⌒