機械制圖目錄項目一制圖的基本知識和基本技能 31.1有關制圖的國家標準基本規(guī)定 31.2幾何作圖 121.3平面圖形的尺寸及畫法 161.4手工繪圖 18項目二投影基礎 232.1投影法的基本知識 232.2點的投影 252.3直線的投影 352.4平面的投影 452.5投影變換 55項目三基本立體及立體的形成 623.1平面立體及其表面上點的投影 633.2回轉體及其表面上點的投影 673.3立體的形成 74項目四截交線和相貫線 774.1截交線 774.2相貫線 87項目五物體三視圖 1075.1三視圖的投影規(guī)律 1075.2物體的三視圖畫法 1095.3物體的尺寸標注 1165.4物體視圖的讀圖方法 1265.5補畫視圖或視圖的缺線 1375.6第三角投影簡介 141項目六標準件和常用件的畫法 1436.1螺紋 1446.2螺紋緊固件及聯(lián)接畫法 1526.3齒輪 1616.4鍵、銷聯(lián)接 1776.5彈簧 1846.6滾動軸承 188項目七零件圖 1927.1零件圖的作用與內容 1927.2零件的表達方案的選擇 1937.3零件的工藝結構 2007.4零件圖的尺寸標注 2087.5表面結構 2177.6極限與配合 2297.7幾何公差 2397.8讀零件圖 247項目八測繪步驟 2648.1一級圓柱齒輪減速器的測繪步驟 2648.2裝配圖的作用和內容 2768.3裝配圖的規(guī)定畫法、特殊畫法和簡化畫法 2798.4畫裝配圖的步驟 2908.5讀裝配圖 2978.6由裝配圖拆畫零件圖 302項目一制圖的基本知識和基本技能機械圖樣是現(xiàn)代工業(yè)生產過程中的重要技術資料。要繪制出符合工業(yè)要求的機械圖樣，必須首先掌握機械制圖的基本知識和基本技能。1.1有關制圖的國家標準基本規(guī)定為了便于生產和技術交流，繪圖和讀圖應該有共同的準則。也就是說，圖樣的畫法、尺寸的標注、代號的使用等，應該有統(tǒng)一的規(guī)定。為此，國家質量監(jiān)督檢驗檢疫總局和中國國家標準化管理委員會頒布了國家標準《技術制圖》，對機械圖樣作了統(tǒng)一的技術規(guī)定，要求凡是從事機械工程的技術人員都必須掌握并遵守。所以，必須樹立嚴格的標準化觀念，在繪圖時認真執(zhí)行國家標準。我國的國家標準（簡稱“國標”）代號為“GB”，“G”、“B”分別是“國標”兩個字的漢語拼音的第一個字母。“GB”是國家強制性標準；“GB/T”是國家推薦標準（“T”表示是推薦標準）。例如，“GB/T14689－2008”是2008年發(fā)布的標準序號為14689的國家推薦標準。本節(jié)摘錄國家標準《技術制圖》中的部分內容，作為制圖基本規(guī)定予以介紹，其余的內容將在以后的有關章節(jié)中分別敘述。1.1.1圖紙幅面及格式（GB/T14689—2008）1.圖紙幅面繪制圖樣時，應采用國標（如表1-1）規(guī)定的基本幅面尺寸。表1-1基本幅面尺寸幅面代號 A0 A1 A2 A3 A4尺寸B×L 841×1189 594×841 420×594 297×420 210×297邊框 a 25 c 10 5 e20 10在基本幅面中，A0圖紙長邊與短邊之比為:1，其面積是1平方米。A1圖紙的面積是A0的一半。其余各種幅面都是后一幅面的面積為前一幅面的的一半。如果必要，可以對幅面加長。加長后的幅面尺寸是由基本幅面的短邊成整數(shù)倍數(shù)增加后得出，如圖1-1所示。圖1-1中的粗實線部分為基本幅面（第一選擇），細實線部分為加長幅面（第二選擇），虛線部分也是加長幅面（第三選擇）。加長后幅面代號記作：基本幅面代號×倍數(shù)。如A4×3，表示按A4圖幅短邊210加長3倍，即加長后圖紙尺寸為297×630。2.圖框格式無論圖樣是否裝訂，均應在圖幅內畫出圖框，圖框線用粗實線繪制。需要裝訂的圖樣，裝訂邊預留25mm寬。圖框距離圖紙邊界的尺寸要依據圖幅大小以及有無裝訂邊而不同，格式如圖1-2。裝訂圖樣時一般采用A4幅面豎裝或A3幅面橫裝。不需裝訂的圖樣則不留裝訂邊，其圖框格式如圖1-3。圖1-1圖紙的基本幅面及加長幅面尺寸a)有裝訂邊X型圖紙b)有裝訂邊Y型圖紙圖1-2留裝訂邊的圖框格式a)無裝訂邊X型圖紙b)無裝訂邊Y型圖紙圖1-3不留裝訂邊的圖框格式3.標題欄每張圖樣都必須有標題欄。標題欄的格式、分區(qū)及尺寸由GB/T10609.1—2008規(guī)定，線型使用粗實線和細實線。圖1-4是標題欄的格式舉例。標題欄的位置應位于圖紙右下角，右邊和底邊與圖框線重合。為了方便在學習本課程時作圖，可采用如圖1-5所示的簡化標題欄。圖1-4標題欄格式舉例圖1-5簡化標題欄4.X型Y型圖紙標題欄的長邊置于水平方向并與圖紙的長邊平行，則構成X型圖紙，如圖1-2a和圖1-3a所示圖紙。若標題欄的長邊與圖紙的長邊垂直，則構成Y型圖紙，如圖1-2b和圖1-3b所示圖紙。在此情況下，看圖的方向與看標題欄方向一致。為了利用預先印制的圖紙，允許將X形圖紙的短邊置于水平位置使用，如圖1-6；或將Y形圖紙的長邊置于水平位置使用，如圖1-7。圖1-6X形圖紙的短邊置于水平圖1-7Y形圖紙的長邊置于水平圖1-8方向符號5.附加符號1）對中符號為了使圖樣復制和縮微攝影時定位方便，應在圖紙各邊的中點處分別畫出對中符號，如圖1-6和圖1-7所示。對中符號用粗實線繪制，長度從紙邊界開始至伸入圖框內約5mm，位置誤差不大于0.5mm。當對中符號處在標題欄范圍內時，則伸入標題欄部分省略不畫，如圖1-7所示。2）方向符號對于利用預先印制的圖紙，為了明確繪圖與看圖時圖紙的方向，應在圖紙的下邊對中符號處畫出一個方向符號，如圖1-6和圖1-7所示。方向符號是用細實線繪制的等邊三角形，其大小和所處位置如圖1-8所示。1.1.2比例（GB/T14690—1993）圖中圖形與其實物相應要素的線性尺寸之比稱為比例。表1-2、表1-3是GB/T規(guī)定比例值。需要按比例繪制圖樣時，應優(yōu)先采用表1-2中比例值，必要時，也可以采用表1-3中的比例值。表1-2圖樣比例（優(yōu)先系列）種類 比例原值比例 1:1放大比例 5:12:15×10n:12×10n:11×10n:1縮小比例 1:21:51:101:2×10n1:5×10n1:1×10n注：n為正整數(shù)表1-3圖樣比例（允許系列）種類 比例放大比例 4:12.5:14×10n:12.5×10n:1縮小比例 1:1.51:2.51:31:41:61:1.5×10n1:2.5×10n1:3×10n1:4×10n1:6×10n注：n為正整數(shù)使用比例時要注意：1）無論采用何種比例畫圖，圖上標注的尺寸是機件的實際尺寸。2）原則上，同一機件的各個視圖采用相同的比例，并注在標題欄的比例欄內。如果某個視圖不采用標題欄的比例欄內的比例，必須在視圖名稱的下方或右方注出比例。1.1.3字體（GB/T14691－1993）國標要求，圖樣和有關技術文件中書寫的漢字、字母和數(shù)字必須做到：字體端正、筆劃清楚、排列整齊、間隔均勻。圖樣中書寫的字體應采用GB/T規(guī)定號數(shù)。字體的號數(shù)即字體高度（用h表示），有1.8，2.5，3.5，5，7，10，14，20mm。若書寫更大的字，字體高度按的比率遞增。1．漢字：漢字要寫成長仿宋體，并采用國家正式公布的簡化字,漢字高度不小于3.5mm,字寬一般為h/。長仿宋體的書寫要領:橫平豎直、起落有鋒、結構勻稱、寫滿方格。圖1-9是長仿宋體漢字示例。10號字橫平豎直起落有鋒結構勻稱寫滿方格7號字書寫漢字字體工整筆畫清楚間隔均勻排列整齊五號字機械制圖國家標準認真執(zhí)行耐心細致技術要求尺寸公差配合性質圖1-9長仿宋體漢字示例2．字母和數(shù)字字母和數(shù)字分A型和B型。A型字體的筆劃寬度d為字高h的1/14，B型字體的筆劃寬度d為字高h的1/10。同一圖樣只允許一種字體。字母和數(shù)字可寫成斜體或直體。斜體字字頭向右傾斜，與水平線成75°角。如圖1-10所示。圖1-10字母和數(shù)字書寫示例1.1.4圖線（GB/T17450—1998和GB/T4457.4—2002）工程圖樣是用不同型式的圖線繪制而成的，為了統(tǒng)一，便于看圖和繪圖，繪制圖樣時應采用國家標準中規(guī)定的圖線。1．圖線線型及應用國家標準GB/T17450—1998《技術制圖圖線》規(guī)定了繪制各種技術圖樣的基本線型。在實際應用時，各專業(yè)（如機械、電氣、土木工程等）要根據該標準制定相應的圖線標準。GB/T4457.4—2002《機械制圖圖樣畫法圖線》中規(guī)定的9種圖線（表1-4）符合GB/T17450—1998的規(guī)定，是機械制圖使用的圖線標準。各種圖線的名稱、型式、圖線寬度及其應用見表1-4。圖1-11為線型應用舉例。表1-4機械制圖使用的圖線代碼No. 線型 一般應用01.1 細實線 過渡線；尺寸線；尺寸界線；指引線和基準線；剖面線；重合斷面的輪廓線；短中心線；螺紋的牙底線；尺寸線的起止線；表示平面的對角線；零件形成前的彎折線；范圍線及分界線；重復要素表示線，例如，齒輪的齒根線；錐形結構的基面位置線；疊片結構位置線，例如，變壓器疊鋼片；輔助線；不連續(xù)的同一表面的連線；成規(guī)律分布的相同要素的連線；投影線；網格線 波浪線 斷裂處的邊界線；視圖和剖視圖的分界線 雙折線 斷裂處的邊界線；視圖和剖視圖的分界線01.2 粗實線 可見棱邊線；可見輪廓線；相貫線；螺紋的牙頂線；螺紋長度終止線；齒頂圓（線）；表格圖、流程圖中的主要表示線；系統(tǒng)結構線（金屬結構工程）；模樣分型線；剖切符號用線02.1 細虛線 不可見棱邊線；不可見輪廓線02.2 粗虛線 允許表面處理的表示線04.1 細點畫線 軸線；對稱中心線；分度圓（線）；孔系分布的中心線；剖切線04.2 粗點畫線 限定范圍表示線05.1 細雙點畫線 相鄰輔助零件的輪廓線；可動零件的極限位置的輪廓線；重心線；成形前輪廓線；剖切面前的結構輪廓線；軌跡線；毛坯圖中制成品的輪廓線；特定區(qū)域線；延伸公差帶表示線；工藝用結構的輪廓線；中斷線圖1-11線型應用舉例2．圖線的尺寸圖線的寬度d應根據圖幅的大小、機件的復雜程度等在下列數(shù)字系列中選擇。該數(shù)字系列的公比為1:。0.13mm、0.18mm、0.25mm、0.35mm、0.5mm、0.7mm、1mm、1.4mm、2mm。機械圖常用的粗線寬度d為0.5mm至2mm。細線的寬度約為d／2。3.線素的長度圖線中的點、長度不同的畫和間隔稱為線素。表1-4中的線型有點、短間隔、畫和長畫線素。虛線由畫和短間隔組成；點畫線、雙點畫線由長畫、短間隔和點組成。若圖線寬度為d，線素長度為：點的長度≤0.5d，短間隔的長度=3d；畫的長度=12d；長畫的長度=24d。4．圖線畫法注意事項1）同一圖樣中同類圖線的寬度應一致。2）除非另有規(guī)定，兩條平行線之間的最小間隙不得小于0.7mm。3）各種圖線相交時，應以畫相交，而不是點或間隔。如圖1-12。4）點畫線和雙點畫線的首末兩端應是畫線而不是點。點畫線應超出圖形的輪廓線3～5mm，如圖1-13。在較小的圖形上繪制點畫線有困難時，可用細實線代替。5）如果虛線是粗實線的延長線時，連接處應留出空隙，如圖1-14。6）各種圖線的優(yōu)先次序：可見輪廓線—不可見輪廓線—尺寸線—各種用途的細實線—軸線、對稱線等。a)正確b)錯誤a)正確b)錯誤圖1-12圖線相交應以畫線相交圖1-13點畫線畫法注意事項a)正確b)錯誤圖1-14虛線作為粗實線的延長線1.1.5尺寸注法（GB/T4458.4—2003和GB/T16675.2—1996）圖樣中的尺寸是必不可少的，這是由于尺寸能夠準確反映機件的大小及機件上各部分結構的相對位置。在圖樣上標注尺寸時，必須嚴格遵守制圖標準中有關尺寸注法的規(guī)定。1．基本規(guī)則1）機件的真實大小應以圖樣上所注的尺寸數(shù)值為依據，與圖形的大小及繪圖的準確度無關。2）圖樣中（包括技術要求和其他說明）的尺寸，以毫米（mm）為單位時，不需標注計量單位的代號或名稱，如采用其它單位，則必須注明相應的計量單位的代號或名稱。3）圖樣中所標注的尺寸，為該圖樣所示機件的最后完工尺寸，否則應另加說明。4）機件的每一尺寸一般只標注一次，并應標在反映該結構最清晰的圖形上。2．尺寸的組成在圖樣上標注的尺寸，一般應由尺寸界線、尺寸線和尺寸數(shù)字所組成。如圖1-15所示。圖1-15尺寸的組成圖1-16尺寸界線（l）尺寸界線尺寸界線用于表明在圖形上所標注尺寸的范圍，其畫法規(guī)定如下：1）尺寸界線用細實線繪制，并應由圖形的輪廓線、軸線或對稱中心線處引出；也可利用輪廓線、軸線或對稱中心線作尺寸界線。如圖1-16所示。2）尺寸界線一般應與尺寸線垂直，必要時才允許傾斜。在光滑過渡處標注尺寸時，應用細實線將輪廓線延長，從它們的交點處引出尺寸界線。如圖1-17所示。圖1-17尺寸界線的允許畫法（2）尺寸線尺寸線用于表明所注尺寸的度量方向，尺寸線不能用其它形式的圖線代替，一般也不能與其它圖線重合或畫在其延長線上。尺寸線用細實線繪制，其終端有下列兩種形式。1）箭頭：箭頭的形式如圖1-18所示。箭頭尖端應畫到與尺寸界線接觸，不得超過或留有空隙。在同一張圖樣中，箭頭的大小應一致。箭頭的形式適用于各種類型的圖樣。圖1-18箭頭的形式圖1-19尺寸線終端的斜線2）斜線：斜線用細實線繪制，其方向和畫法如圖1-19所示。尺寸線的終端采用斜線形式時，尺寸線與尺寸界線必須垂直。當采用箭頭時，在位置不夠的情況下，允許用圓點或斜線代替箭頭，如圖1-20所示。圖1-20用圓點或斜線代替箭頭同一張圖樣中只能采用一種尺寸線的終端形式。機械圖樣一般采用箭頭作為尺寸線的終端。（3）尺寸數(shù)字尺寸數(shù)字用于表明機件實際尺寸的大小，與圖形大小無關。1）線性尺寸的數(shù)字一般應注寫在尺寸的上方，也允許注寫在尺寸線的中斷處，如圖1-21。圖1-21尺寸數(shù)字的注寫位置2）線性尺寸數(shù)字的方向有以下兩種注法，一般采用方法一，在不致引起誤解時，也允許采用方法二。但在同一張圖樣中應盡可能采用一種方法。方法一：線性尺寸數(shù)字的方向按圖1-22所示的方向注寫，并盡可能避免在圖示30°范圍內標注尺寸，當無法避免時，可按圖1-23的形式標注。方法二：對于非水平方向的尺寸，其數(shù)字也允許注寫在尺寸線的中斷處，如圖1-24。圖1-22尺寸數(shù)字的注寫方向圖1-23在左傾斜30°范圍內的尺寸數(shù)字的注寫圖1-24非水平方向的尺寸數(shù)字的注法1-25角度數(shù)字的注寫3）角度的尺寸數(shù)字一律寫成水平方向，一般注寫在尺寸線的中斷處，必要時也可以用指引線引出注寫，如圖1-25。4）尺寸數(shù)字不可被任何圖線通過，否則必須將該圖線斷開。如圖1-26所示。圖1-26尺寸數(shù)字不可被任何圖線通過3．各種尺寸的標注1）線性尺寸標注標注線性尺寸時，尺寸線必須與所注的線段平行。串列尺寸箭頭對齊，如圖1-27；并列尺寸，小尺寸在內，大尺寸在外，如圖1-28。尺寸線間隔不小于7mm，且間隔基本保持一致。好不好好不好圖1-27串列線性尺寸標注圖1-28并列線性尺寸標注2）直徑和半徑尺寸的標注圓的直徑和圓弧半徑的尺寸線終端應畫成箭頭，尺寸線通過圓心或箭頭指向圓心。圓或大于半圓的弧一般注直徑，直徑尺寸在尺寸數(shù)字前加φ，如圖1-29。小于或等于半圓的弧一般注半徑，半徑尺寸在尺寸數(shù)字前加R，如圖1-30。圓弧的半徑過大或在圖紙范圍內無法標出其圓心位置時，可采用折線形式標注，如圖1-30的R46。圖1-31是小圓直徑的標注方法。圖1-32是小圓弧半徑的標注方法。a)圓標注直徑b)大于半圓的弧標注直徑圖1-29直徑的標注圖1-30半徑的標注圖1-31小圓直徑的標注圖1-32小圓弧半徑的標注圖1-33角度標注3）角度標注標注角度時，尺寸界線徑向引出，尺寸線應畫成圓弧，其圓心是該角的頂點，如圖1-33。4）球面標注標注球面的半徑或直徑時，應在符號“R”或“φ”前加注符號“S”。對于軸、螺桿、鉚釘以及手柄等的端部，在不致引起誤解的情況下可省略符號“S”，如圖1-34。a)標注球面的直徑b)標注球面的半徑c)標注球面半徑(省略符號“S”)圖1-34球面半徑或直徑的標注5）弦長和弧長的標注標注弦長的尺寸界線應平行于該弦的垂直平分線，如圖1-35。標注弧長時，應在尺寸數(shù)字左方加注符號“⌒”，且孤長的尺寸界線應平行于該弧所對圓心角的角平分線，如圖1-36a。當弧度較大時，尺寸界線可沿徑向引出。如圖1-36b。a)弧較小b)弧度較大圖1-35弦長的標注圖1-36弧長的標注6）參考尺寸的標注標注參考尺寸時，應將尺寸數(shù)字加上圓括號。如圖1-37。圖1-37參考尺寸的標注圖1-38對稱機件圖形的標注7）對稱圖形的標注對稱圖形，應把尺寸標注為對稱分布，如圖1-38中的19。當對稱機件的圖形只畫出一半或略大于一半時，尺寸線應略超過對稱中心線或斷裂邊界線，此時僅在尺寸線的一端畫出箭頭。如圖1-38的58、78、φ16。4．標注舉例標注尺寸要認真細致，嚴格遵守國家標準，做到正確、完整、清晰。圖1-39說明了初學標注尺寸時常犯的錯誤，應盡量避免。a)錯誤b)正確圖1-39標注舉例1.2幾何作圖繪制斜度、錐度，線段連接等是機械制圖中常用的幾何作圖方法，工程技術人員要熟練掌握，以便提高繪圖速度和保證作圖的準確性。1.2.1斜度和錐度1.斜度一直線（或平面）對另一直線（或平面）的傾斜程度稱為斜度。其大小用該兩直線（或平面）間夾角的正切來表示，通常把比值化成1：n的形式，如圖1-40。機件上斜度的標注采用斜度符號和比值，如圖1-41。標注斜度時，符號的方向應與斜度方向一致。斜度符號的畫法如圖1-42。以圖1-43a為例，說明斜度的畫法，步驟如下：1）畫圖1-43b，使AB為5個單位，BC為1個單位；2）延長BA至F，使BF為50。由F作FE垂直于BF且FE=8。過E作ED平行AC，最后連接BD，作圖完成，如圖1-43c圖1-40斜度定義圖1-41斜度標注圖1-42斜度符號的畫法a)斜度例子b)畫法步驟1c)畫法步驟2圖1-43斜度畫法圖1-44錐度定義圖1-45錐度標注圖1-46錐度符號a)錐度例子b)畫法步驟1c)畫法步驟2圖1-47錐度畫法2.錐度正圓錐底圓直徑與其高度之比稱為錐度。若是正圓錐臺，則錐度為兩底圓直徑之差與其高度之比。通常也把錐度寫成1：n的形式，見圖1-44。錐度的標注如圖1-45所示，符號的方向應與錐度方向一致。錐度符號的畫法如圖1-46。以圖1-47a為例，說明錐度的畫法，步驟如下：1）畫圖1-47b，其中AB為1個單位（AC、CB分別為0.5個單位），CD為5個單位。2）延長CD至E，使CE為32。延長AB至FG，使FG為16。過F作FH平行AD，過G作GK平行BD。過E作CE的垂線分別與FH交于H，與GK交于K，作圖完成，如圖1-47c。1.2.2圓弧連接在繪制機件的圖形時，常遇到從一條線（直線或圓?。┕饣剡^渡到另一條線的情況。這種光滑過渡就是平面幾何中的相切，在制圖中稱為連接，切點稱為連接點。用圓弧連接時，這個圓弧稱為連接弧。畫連接弧的關鍵是求其圓心和切點。1.圓弧連接的基本作圖原理1）圓弧與已知直線相切半徑為R的圓弧與已知直線L相切，其圓心的軌跡是距離直線L為R的兩條平行直線L1和L2。即以直線L1或L2上任意一點為圓心O，以R為半徑畫圓弧，圓弧與L相切。由圓心O向直線L作垂線，垂足K即為切點。如圖1-48所示。2）圓弧與已知圓弧相切半徑為R的圓弧與已知圓?。▓A心為O1、半徑為R1）相切，其圓心的軌跡是已知弧的同心圓，該圓的半徑R2根據相切的情況而定：兩圓弧外切時，R2=R1十R，如圖1-49a所示；圓弧內切時，R2=R1-R，如圖1-49b所示。即以同心圓上任意一點為圓心O，以R為半徑畫圓弧，圓弧與已知圓弧相切。連心線OO1（或OO1的延長線）與已知圓弧的交點K即為切點。圖1-48圓弧與已知直線相切圖1-49圓弧與已知圓弧相切2.圓弧連接的作圖步驟（1）用半徑為R的圓弧連接兩已知直線如圖1-50a所示，L1和L2為已知直線，當兩直線成銳角或鈍角時，作法如下：1）分別作與直線L1、L2相距為R的平行線，交點O即為連接弧的圓心，如圖1-50b所示。2）自圓心O分別向直線L1和L2作垂線，垂足K1和K2即為切點。如圖1-50c所示。3）以O為圓心，R為半徑畫弧K1K2，即為所求連接弧，如圖1-50d所示。a)圓弧連接兩直線例子b)作圖步驟1c)作圖步驟2d)作圖步驟3圖1-50用圓弧連接鈍角或銳角如圖1-51a所示，如果已知兩直線L1和L2相互垂直，作圖方法如下：1）以兩直線交點A為圓心，R為半徑畫弧，交直線L1、L2于K1、K2兩點，K1和K2即為切點,如圖1-51b所示。2）分別以K1、K2兩點為圓心，R為半徑，畫圓弧交于O，O點即連接弧的圓心，如圖1-51c所示。3）以O為圓心，R為半徑畫弧K1K2，即為所求連接弧，如圖1-51d所示。a)圓弧連接兩垂直直線例子b)作圖步驟1c)作圖步驟2d)作圖步驟3圖1-51用圓弧連接直角（2）用半徑為R的圓弧，連接一已知直線和一已知圓弧如圖1-52a所示，L為已知直線，已知圓弧的圓心為O1，半徑為R1。作圖步驟如下：1）作直線L1平行于直線L，距離為R，以O1為圓心，R＋R1為半徑畫弧，與直線L1的交點O點即所求連接弧圓心，如圖1-52b所示。2）作連心線OO1與已知弧交于K1，自O點向已知直線L作垂線得垂足K2。K1、K2為切點,如圖1-52c所示。3）以O為圓心，R為半徑畫弧K1K2，即為所求連接弧,如圖1-52d所示。a)圓弧連接直線和一圓弧例子b)作圖步驟1c)作圖步驟2d)作圖步驟3圖1-52用圓弧連接一直線和一圓?。?）用半徑為R的圓弧，連接兩已知圓弧有三種情況：外切、內切和內外切，現(xiàn)以外切（如圖1-53）為例說明作圖步驟，另外兩種情況分別見圖1-54和圖1-55。如圖1-53a所示，已知兩圓弧的圓心分別為O1和O2，其半徑分別為R1和R2。作圖步驟如下：1）分別以O1和O2為圓心，R＋R1和R＋R2為半徑作弧，交于O點即為所求連接弧的圓心，如圖1-53b所示。2）作連心線OO1和OO2與已知圓弧交于K1和K2，即為切點，如圖1-53c所示。3）以O為圓心，R為半徑，作圓弧K1K2，即為所求連接弧，如圖1-53d所示。a)圓弧外切兩圓弧的例子b)作圖步驟1c)作圖步驟2d)作圖步驟3圖1-53圓弧同時外切兩已知圓弧a)圓弧內切兩圓弧的例子b)作圖步驟1c)作圖步驟2d)作圖步驟3圖1-54圓弧同時內切兩已知圓弧a)圓弧內外切兩圓弧的例子b)作圖步驟1c)作圖步驟2d)作圖步驟3圖1-55圓弧與一已知圓弧外切，與另一已知圓弧內切1.3平面圖形的尺寸及畫法尺寸對圖形非常重要。圖形中每條線段的形狀、長短及相對位置，都由尺寸確定。圖形能否繪出，甚至繪圖的順序，都與尺寸有關。因此繪制平面圖形時，首先應對所要畫的平面圖形進行分析，以便確定正確的繪圖順序，快速準確的繪圖。1.3.1平面圖形的尺寸分析平面圖形的尺寸分析是確定尺寸的基準及尺寸的類型，明確尺寸的作用。1．尺寸基準在圖形中標注尺寸時，應首先確定標注的起始點，把標注尺寸的起點稱為尺寸基準。對于平面圖形，應有水平（左右）方向和垂直（上下）方向兩個方向的基準。圖1-56的水平方向和垂直方向的尺寸基準分別為φ27圓的垂直中心線和水平中心線。一般平面圖形中常把圖形的對稱線、較長的直線和較大直徑的圓的中心線作為尺寸基準。垂直方向的尺寸基準水平方向的尺寸基準圖1-56平面圖形的尺寸和線段分析2．定形尺寸確定平面圖形中各幾何元素（各種線段）形狀大小的尺寸。如圖1-56中的φ27、φ37、φ12、R21、R11、18等。3．定位尺寸確定圖形中各幾何元素（各個線段或線框）間相對位置的尺寸。如圖1-56中的43、26、31、21等。需要指出，有的尺寸即可以是定形尺寸，又可以是定位尺寸。如圖1-56中的18，它既可確定所注直線段的長度（屬于定形尺寸），又是圖中斜線段右下端點垂直方向的定位尺寸。1.3.2平面圖形的線段分析根據圖形中給出的各線段的定形尺寸和定位尺寸是否齊全，將線段分為已知線段、中間線段和連接線段三種。1．已知線段定形尺寸和定位尺寸齊全的線段叫已知線段。對于圖中的已知線段，根據給出的尺寸能直接畫出來。如圖1-56中的φ37、φ27、R11、φ12、18、15等。對于直線段，已知直線的兩個端點的定位尺寸，或已知直線一個端點的定位尺寸及直線的方向，則該直線段是一條已知線段。對于圓（?。?，已知其半徑尺寸及圓心的水平和垂直兩個方向的定位尺寸，則該圓（弧）是一條已知線段。2．中間線段有定形尺寸但定位尺寸不全的線段叫中間線段。對于圖中的中間線段，要根據該線段與相鄰線段的關系才能畫出來。如圖1-56中的斜線段。對于直線段，僅已知其一個端點的定位尺寸，另一端點或直線的方向要根據連接關系確定，則該直線是一條中間線段；對于圓弧，通常是圓弧半徑已知且僅有一個方向的圓心定位尺寸，則該圓弧是一條中間線段。3．連接線段僅有定形尺寸而沒有定位尺寸的線段。連接線段只有在相鄰線段已經畫出時，才能用幾何作圖方法畫出來。如圖1-56中的R21、R7、R15。1.3.3平面圖形的作圖步驟根據上述對平面圖形的分析，下面以圖1-57所示手柄的平面圖形為例，說明一般的作圖步驟：1）首先畫尺寸基準線，并根據圖形的定位尺寸畫出線段的定位線。如圖1-58a。2）畫已知線段。如圖1-58b。3）畫中間線段。以R10的圓心O2為圓心，以R135為半徑畫圓弧R1；作L的平行線L1；以R1與L1的交點O3為圓心，以R145為半徑畫圓弧。如圖1-58c。4）畫連接線段。以O1為圓心，以R33為半徑畫圓弧R3；以O3為圓心，以R161為半徑畫圓弧R4；以R3與R4的交點O4為圓心，以R16為半徑畫圓弧。如圖1-58d。5）檢查整理，描深圖線，如圖1-58e。注寫尺寸，如圖1-57。圖1-57手柄平面圖a)畫基準線b)畫已知線段c)畫中間線段d)畫連接線段e)檢查整理，描深圖線圖1-58手柄平面圖的作圖步驟1.3.4平面圖形的尺寸標注標注尺寸時，要先對平面圖形的構成進行分析，根據圖形特點，選定尺寸基準，而后標注定形尺寸和定位尺寸。尺寸注寫要符合國標有關規(guī)定，位置要合適，數(shù)字清晰無誤；尺寸要注全但又不能重復。具體例子見圖1-57。1.4手工繪圖1.4.1手工繪圖工具和用品要提高手工繪圖的準確性和效率，必須正確使用各種繪圖工具和儀器，下面介紹常用繪圖工具及其用法。1.圖板圖板用于固定圖紙，如圖1-59。板面必須平整，無裂紋，工作邊（左側邊）為導邊，應平直，使用時應注意保護。膠帶紙尺身工作邊尺身尺頭尺頭工作邊圖板導邊圖紙圖板圖1-59圖板和丁字尺2.丁字尺丁字尺由尺頭和尺身兩部分組成，尺頭工作邊稱為導邊。丁字尺與圖板配合使用，用于畫水平直線。使用時，用左手扶尺頭，使其導邊與圖板導邊靠緊，上下移動丁字尺至畫線位置，按住尺身，沿尺身工作邊從左向右畫出水平線。用鉛筆沿尺邊畫線時，筆桿應稍向外傾斜，筆尖應貼靠尺邊，如圖1-60所示。圖1-60用丁字尺畫水平線圖1-61用丁字尺、三角板畫垂直線圖1-62畫與水平線成15°整倍數(shù)角度的線段3.三角板一副三角板是由一塊45°等腰直角三角形和一塊30°、60°的直角三角形組成。利用三角板的直角邊與丁字尺配合，可畫出水平線的垂直線，如圖1-61所示。三角板與丁字尺配合還可以畫出與水平線成15°整倍數(shù)的角度或傾斜線，如圖1-62所示。此外，利用一副三角板還可以畫出任意已知直線的平行線或垂直線，如圖1-63所示。a)畫已知線段的平行線b)畫已知線段的垂直線圖1-63畫任意已知直線的平行線或垂直線4.曲線板曲線板用于繪制非圓曲線，其使用方法如下：首先點出曲線上的點，如圖1-64a。再用鉛筆徒手輕輕地將各點連接起來，如圖1-64b。依次選擇曲線板與曲線吻合的一段進行連線（吻合線段應至少包括三個已知點），如圖1-64c和1-64d。分段連線時應注意，對于曲線板與曲線相吻合的最后一段，只連其前半段，后半段留待下次再連。連接過程中應注意曲線的彎曲趨勢。a）點出曲線上的點b）輕輕地連接各點c）選擇曲線板與曲線吻合的一段連線d）選擇曲線板與曲線吻合的下一段連線如圖1-64曲線板的使用方法5.圓規(guī)圓規(guī)主要用于畫圓或圓弧。圓規(guī)的一條腿上裝有鉛芯，另一條腿上裝有鋼針，畫圖時，應將帶臺階的針尖對準圓芯并扎入圖板，然后畫圓或圓弧。如圖1-65所示。畫圓時，應根據圓的半徑大小，準確地調節(jié)圓規(guī)兩腿的開度，并使鋼針與鉛芯近乎平行，用力要均勻。為了便于轉動圓規(guī)，可使圓規(guī)兩腿微傾于轉動方向。畫大圓時，可利用加長桿，將其接到圓規(guī)腿上。圓規(guī)稍向畫線方向傾斜圓規(guī)兩腳應垂直紙面小圓畫法大圓畫法圖1-65圓規(guī)的使用方法6.鉛筆鉛筆的鉛芯軟硬用字母“B”和“H”表示，“B”前的數(shù)字值越大，表示鉛芯越軟（黑）；“H”前的數(shù)字值越大表示鉛芯越硬。畫圖時常選用2B、B、HB、H、2H和3H的繪圖鉛筆。通常鉛芯較硬的鉛筆磨削成錐狀，鉛芯較軟的鉛筆磨削成四棱柱狀，如圖1-66所示。錐狀常用于寫字、畫底稿和加深細線用，四棱柱狀主要用于加深粗線。a)鉛芯錐狀b)鉛芯四棱柱狀圖1-66鉛筆磨削7.圖紙圖紙應選用GB/T規(guī)定的幅面。繪圖紙要質地堅實，用橡皮擦不易起毛。圖紙用膠帶紙固定在圖板的偏左上位置，不要傾斜，如圖1-59。8.其他繪圖工具和用品繪圖過程中，還可能用到其他繪圖工具和用品，如分規(guī)、比例尺、模板、小刀、橡皮、擦圖片、毛刷等，不再一一介紹。1.4.2手工繪圖的步驟要使圖樣繪制得又快又好，除了必須熟悉國家標準關于制圖的規(guī)定、掌握幾何作圖方法和正確使用繪圖工具外，還要按一定的工作程序進行。下面是手工繪圖的一般步驟：1．準備繪圖工具、儀器及用品。畫圖前準備好圖板、丁字尺、三角板、圓規(guī)、圖紙、鉛筆、橡皮等。2．選擇圖幅，固定圖紙根據圖形大小、數(shù)量和復雜程度，選定比例，按照國家標準規(guī)定確定圖紙幅面。檢查圖紙的正反面，方法是用橡皮分別擦圖紙的兩個面，易起毛的是反面。把正面朝上，用膠帶紙固定在圖板的左上方，注意圖紙下方到圖板的下邊距離要大于丁字尺身的寬度。3．畫圖框和標題欄按照國家標準規(guī)定畫出圖框線和標題欄。4．圖面布局，畫出基準線根據各圖形的長寬尺寸，確定每一個圖形的位置，畫出各圖形基準線?；鶞示€即圖形的主要對稱中心線、軸線和輪廓線?；鶞示€一旦畫出，圖形的位置隨之確定，所以畫基準線時，要注意各圖之間間隔適當，圖面布局合理，勻稱美觀。5．畫底稿按平面圖形繪圖步驟畫底稿，用硬芯鉛筆畫出各種線型，線型先不分粗細。圖線要畫得準、細、輕，但要能看清。按照先畫主要輪廓，后畫細節(jié)部分的順序進行。6．檢查描深校對圖形，改正錯誤，擦去輔助作圖線。用稍硬鉛芯鉛筆描深細實線，用軟芯鉛筆描深粗實線。先描圓或圓弧，再描直線；先描水平線，再描垂直線，最后描傾斜線。7．標注尺寸先畫出尺寸界線、尺寸線及箭頭，再填寫尺寸數(shù)字。尺寸標注要一次性完成，不再加深。8．填寫標題欄。1.4.3徒手畫圖作為工程技術人員，還要具備一定的徒手畫圖能力。徒手畫圖是指不借助繪圖儀器、工具，用目測比例徒手繪制圖樣，這樣的圖又叫草圖。繪制草圖在機器測繪、討論設計方案和技術交流中應用廣泛，是一項重要的基本技能。草圖同樣要求做到內容完整、圖形正確、圖線清晰、比例勻稱、字體工整、尺寸準確，同時繪圖速度要快。初學徒手畫圖，最好在方格紙上進行，以便控制圖線的平直和圖形的大小。經過一定的訓練后，最后達到在空白圖紙上畫出比例勻稱、圖面工整的草圖。徒手畫圖運筆力求自然，能看清筆尖前進的方向，并隨時留意線段的終點，以便控制圖線。在畫各種圖線時，手腕要懸空，小指接觸紙面，捏筆手指距筆尖約35毫米。草圖紙不固定，為了順手，可隨時將圖紙轉動適當?shù)慕嵌取?．直線的畫法圖形中的直線應盡量與分格線重合。將筆放在起點,而眼睛要盯在終點，要均勻用力，勻速運筆一氣完成，切忌一小段、一小段地描繪。畫垂直線時自上而下運筆；畫水平線時以順手為原則；畫斜線時可斜放圖紙，對特殊角度的斜線，可根據它們的斜率，按近似比值畫出，如圖1-67所示。a)畫45o直線b)畫30o直線c)畫60o直線圖1-67特殊角度的斜線畫法2．橢圓、圓的畫法畫橢圓時，可先根據長、短軸的大小，定出四個端點，然后畫圖，并注意圖形的對稱性，如圖1-68所示。圖1-68橢圓的畫法畫小圓時，先畫出中心線，在中心線上定出半徑的四個端點，然后過這四個點連接成圓。如圖1-69a所示。畫大圓時，除在對稱中心線上定出四點外，還可過圓心畫兩條45°的斜線,再取四個點，然后通過這八個點連接成圓。如1-63b、c所示。a)畫小圓b)定出八個點c)畫大圓圖1-69圓的畫法3．草圖示例圖1-70為在方格紙上畫草圖示例。畫圖時，圓的中心線或其它直線盡可能參照方格紙上的線條，大小也可按方格紙的讀數(shù)來控制。圖1-70畫草圖示例項目二投影基礎機械圖樣是按照一定的投影法繪制而成的，本章討論投影法的基礎知識。2.1投影法的基本知識2.1.1投影法的概念物體被光線照射后，會在預設的表面（如墻壁、地面、幕布等）上產生影子，這就是自然界的投影現(xiàn)象(如圖2-1所示)。物體的影子在預設的表面上是一個圖形，它在一定程度上反映了物體的形狀。在工程圖學中，就是把這種自然界的投影現(xiàn)象科學抽象，實現(xiàn)用圖形表達物體形狀的目的。圖2-1自然界的投影圖2-2中心投影法在工程圖學中，把照射物體的光線、觀察物體的視線等想象為通過物體上各點的射線，稱為投射線。用投射線通過物體，向選定的面投射，并在該面上得到圖形的方法稱為投影法，圖形稱為物體的投影（投影圖），得到投影的面叫投影面，如圖2-2所示。2.1.2投影法的種類1.中心投影法投射線由一有限遠點S（該點稱為投射中心）發(fā)出的投影法，稱為中心投影法。在中心投影法中，改變物體與投影面間的距離，物體的投影發(fā)生變化，如圖2-2所示。用中心投影法畫出的圖形稱為透視圖，其立體感強，符合人們的視覺習慣，常用于繪制建筑效果圖；但透視圖作圖復雜，度量性差，不適合繪制機械圖樣。2.平行投影法投射線相互平行的投影法（投影中心位于無限遠處），稱為平行投影法。在平行投影中，由于所有的投射線都相互平行，改變物體與投影面間的距離，物體的投影的大小、形狀都不發(fā)生變化，如圖2-3和圖2-4所示。根據投射線與投影面垂直與否，平行投影法又分為兩種：1)正投影法：投射線與投影面相垂直的平行投影法。根據正投影法所得的圖形稱為正投影，如圖2-3所示。2)斜投影法：投射線與投影面相傾斜的平行投影法。根據斜投影法所得的圖形稱為斜投影，如圖2-4所示。圖2-3平行投影法(正投影)圖2-4平行投影法(斜投影)正投影因其度量性好，作圖方便，在工程中得到了廣泛的應用，機械工程圖就是根據正投影理論繪制的。為了敘述簡單起見，本書今后把“正投影”簡稱“投影”。2.2點的投影點是最基本的幾何元素，一切幾何形體都可以看作是某些點的集合，因此，下面討論點的正投影的規(guī)律。2.2.1點的兩面投影已知空間一點A和投影面H，過點A向投影面H作垂線，垂足為a，根據正投影的定義，a即為點A在H面上的投影。注意到如下事實：空間點A在H面上的投影是唯一的，因為過點A向H面的垂線，垂足只有一個；反之，如果已知點A在投影面H上的投影a，卻不能唯一地確定點A的空間位置，這是由于過點a的H面的垂線上所有各點（如點A、A1等）的投影都位于點a處（見圖2-5）。因此，由點的一個投影不能確定點的空間位置。圖2-5點的單面投影圖2-6兩投影面體系1.兩投影面體系為了確定點的空間位置，以互相垂直的兩平面作為投影面，組成兩投影面體系。豎直放置的投影面稱為正立投影面（簡稱正面），用V表示。水平放置的投影面稱為水平投影面（簡稱水平面），用H表示。V面和H面的交線稱為投影軸X。V面和H面將空間分成了I、Ⅱ、Ⅲ、IV四個分角，并按逆時針的順序來稱呼這四個分角，如圖2-6所示。2.點的兩面投影我國《機械制圖》國家標準規(guī)定，機件的圖形按正投影繪制，并采用第一角畫法。因此，我們只著重討論點在第一角中的投影。為討論方便，規(guī)定如下使用符號：空間點用大寫字母表示，如A、B、C……；空間點在水平面H上的投影稱為點的水平投影，用小寫字母如a、b、c……表示；空間點在正面V上的投影稱為點的正面投影，用小寫字母如a’、b’、c’……表示。在第I分角里取一點A，由點A分別向H面和V面投影作垂線，其垂足為a和a’，a就是點A的水平投影；a’就是點A的正面投影，如圖2-7a所示。a)點的兩面投影(立體圖)b)H面繞X軸旋轉90°與V面重合c)點的兩面投影圖圖2-7點的兩面投影由前面知道，已知點的一個投影不能確定點的空間位置。但是，如果知道空間點的兩個投影（水平投影a和正面投影a’），是否能確定點的空間位置呢？事實上，過a和a’分別作H面和V面的垂線，其交點A是唯一的。由此可見，已知空間點的兩個投影即可確定該點的空間位置。為繪圖方便，需要把互相垂直的兩個投影面重合到同一平面上。為此，規(guī)定V面不動，將H面繞X軸向下旋轉90°，與V面重合成一平面，這樣就得到點A的投影圖，如圖2-7b所示。投影面可以認為是無邊界的，因此，在投影圖上不畫出它們的邊框，也不標記H和V。投影圖上的細實線aa’稱為投影連線，如圖2-7c所示。3.點的兩面投影規(guī)律根據以上點的投影過程，可以得出如下投影規(guī)律：1）點的正面投影和水平投影的連線垂直于X軸，即a’a⊥X軸。因為aax和a’ax在由Aa和Aa’所決定的平面上，而該平面垂直于H面和V面，因而垂直于H面和V面的交線X軸，所以有aax⊥X和a’ax⊥X。當a隨著H面旋轉而與V面重合時，aax⊥X軸的關系不變，因此在投影圖上a、ax、a’三點共線，且a’a⊥X軸。2）點的正面投影到X軸的距離，等于該點到H面的距離；而其水平投影到X軸的距離，等于該點到V面的距離。即a’ax=Aa，aax=Aa’。這是因為平面Aaaxa’A是一個矩形，其對邊相等。上述投影規(guī)律，對于各種位置點的兩面投影都是適用的。4.特殊位置點的投影1）點處于投影面上：點的一個投影與空間點本身重合，點的另一投影在X軸上，如圖2-8上的B、C兩點所示。2）點處于投影軸上：點和它的兩個投影都重合于X軸上，如圖2-8上的D點所示。a)點處于投影面上或投影軸上（立體圖）b)點處于投影面上或投影軸上的投影圖圖2-8特殊位置點的投影2.2.2點的三面投影盡管點的兩個投影已能確定該點的空間位置，但為了清楚地表達某些幾何形體，常需采用三面投影圖。圖2-9三投影面體系圖2-10三投影面體系中點的投影1.三投影面體系三投影面體系是在兩投影面體系的基礎上，加上一個與H面、V面都垂直的側立投影面W（簡稱側面）所組成。三個投影面互相垂直相交，它們的交線稱為投影軸。V面和H面的交線稱為OX軸，H面和W面的交線稱為OY軸，V面和W面的交線稱為OZ軸。三個投影軸互相垂直相交于一點O，稱為原點，如圖2-9所示。2.點的三面投影設A是三投影面體系中的一點，它在H面和V面上的投影分別為a和a’。自點A向W面作垂線，其垂足a”即為點A在W面上的投影，a”稱為點A的側面投影，如圖2-10所示。規(guī)定點的側面投影用小寫字母加兩撇“"”表示。繪圖時，仍需把三個投影面攤平在一個平面上，為此，規(guī)定V面不動，將H面繞OX軸向下旋轉90°，將W面繞OZ軸向右旋轉90°與V面重合（隨H面旋轉的OY軸用OYH表示，隨W面旋轉的OY軸用OYW表示），如圖2-11a所示。然后去掉投影面的邊框，即得點A的三面投影圖，如圖2-11b所示。a)三個投影面攤平在一個平面上b)點A的三面投影圖圖2-11點的三面投影3.點的三面投影規(guī)律和分析點的兩面投影的投影規(guī)律一樣，在三投影面體系中點的投影規(guī)律是：1）點的正面投影和水平投影的連線垂直于OX軸，即aa’⊥OX。2）點的正面投影和側面投影的連線垂直于OZ軸，即a’a”⊥OZ。3）點的正面投影到OX軸的距離與點的側面投影到OYW軸的距離相等，都反映點A到H面的距離，即a’ax=a"ayw=Aa。4）點的正面投影到OZ軸的距離與點的水平投影到OYH軸的距離相等，都反映點A到W面的距離，即a’az=aayh=Aa”。5）點的水平投影到OX軸的距離與點的側面投影到OZ軸的距相等，都反映點A到V面的距離，即aax=a”az=Aa’。在投影圖中，為了直觀地表達aax=a”az的關系，可畫一條過原點O的45°斜線，過水平投影a畫水平線，過側面投影a”畫垂直線相交于斜線上，如圖2-12a所示。也可以原點O為圓心畫圓弧，把水平投影和側面投影連起來，如圖2-12b所示。a)通過45°斜線表達aax=a”az的關系b)通過圓弧表達aax=a”az的關系圖2-12點的三面投影規(guī)律4.根據點的兩個投影求其第三投影根據如上點的投影規(guī)律，只要給出點的兩個投影，就可以求出其第三投影（即“知二求三”的作圖方法）。例1：如圖2-13a，已知點A的水平投影a和正面投影a’，求其側面投影。解：由點的投影規(guī)律，點A的側面投影a”與其正面投影a’的連線垂直O(jiān)Z軸，且a”到OZ軸的距離等于點A的水平投影a到OX軸的距離。作圖方法一（如圖2-13b所示）：過a’作OZ軸的垂線交OZ于az；在a’az的延長線上截取aza”=aax，a”即為所求。作圖方法二（如圖2-13c所示）：過原點O畫一條的45°斜線；過水平投影a畫水平線與45°斜線相交e，由e向上畫垂線；過正面投影a’畫水平線，與由e向上所畫垂線相交于a”點，a”即為所求。a)例1原題b)作圖方法一c)作圖方法二圖2-13例1例2：如圖2-14a，已知點A的正面投影a’和側面投影a”，求其水平投影。解：作圖方法一（如圖2-14b所示）：過a’作X軸的垂線交OX于ax。在a’ax的延長線上截取axa=aza”，a即為所求。作圖方法二（如圖2-14c所示）：1）過側面投影a”畫垂線與YW軸相交aYW；2)以原點O為圓心，Oayw為半徑畫圓弧，與YH相交于aYH，由aYH向左畫水平線；3)過正面投影a’畫垂線，與由aYH向左畫的水平線相交于a點，a即為所求。a)例2原題b)作圖方法一c)作圖方法二圖2-14例22.2.3點的投影與直角坐標的關系如果把投影面V視為坐標面XOZ，把投影面H視為坐標面XOY，把投影面W視為坐標面YOZ，把投影軸OX、OY、OZ作為三個坐標軸，原點仍為原點，則三投影面體系就是一個空間直角坐標系，如圖2-15a。如果空間點A在空間直角坐標系中的三個坐標分別為x、y、z，則點A到投影面的距離可由x、y、z表示，即：a”A=x（點的x坐標等于點到W面的距離）；a’A=y（點的y坐標等于點到V面的距離）；Aa=z（點的z坐標等于點到H面的距離），圖2-15a和圖2-15b。點A的三個投影的坐標應分別為：a（x，y，0），a’（x，0，z），a”（0，y，z）。a)空間直角坐標系中點的投影與直角坐標的關系b)投影圖中點的投影與直角坐標的關系圖2-15點的投影與直角坐標的關系例3：已知點A的坐標為（15，10，20），求作其三面投影圖。解：從點A的三個坐標值可知，點A到W面的距離為15，到V面的距離為10，到H面的距離為20。根據點的投影規(guī)律和點的三面投影與其三個坐標的關系，即可求得點A的三個投影。作圖過程如下：1)畫出投影軸，并標出相應的符號，如圖2-16a所示。2)從原點O沿OX軸向左量取x=15，得ax；然后過ax作OX的垂線，由ax沿該垂線向下量取y=10，即得點A的水平投影a；向上量取z=20，即得點A的正面投影a’，如圖2-16b所示。3)側面投影a”，可用知二求三的作圖方法求得，如圖2-16c所示。a)畫投影軸b)求水平投影a和正面投影a’c)求側面投影a”圖2-16例3例4：在所給出的三投影面體系中，畫出空間點A（20，15，16）的三面投影及點A的空間位置。解：作圖過程如下：1)分別在OX、OY、OZ軸上量取Oax=x=20，Oay=y=15，Oaz=z=16。然后，分別過ax和ay，作OY和OX軸的平行線，其交點即為點A的水平投影a；過ax和az，作OZ和OX軸的平行線，其交點即為正面投影a’；過ay和az，作OZ和OY軸的平行線，其交點即為側面投影a”。如圖2-17a所示。2)分別過a、a’和a”，作OZ、OY和OX軸的平行線，這三條直線必交于一點，該點即為點A的空間位置，如圖2-17b所示。a)求a、a’和a”b)作出點A圖2-17例42.2.4空間兩點的相對位置的判定空間兩點的相對位置是指兩點間的上下、左右、前后關系?？赏ㄟ^點的投影確定空間兩點的相對位置：點的V面投影可確定空間兩點的左右和上下位置；點的H面投影可確定空間兩點的左右和前后位置；點的W面投影可確定空間兩點的前后和上下位置。點的V面投影由點相對于W面和H面的距離決定，即由點的x坐標和z坐標確定；點的H面投影由點相對于W面和V面的距離決定，即由點的x坐標和y坐標確定；點的W面投影由點相對于V面和H面的距離決定，即由點的y坐標和z坐標確定。因此，通過比較空間兩點各坐標值的大小，可判定兩點的相對位置。設兩點分別為A和B，若A點的x坐標大于B點x坐標，A點在左，B點在右；若A點的z坐標大于B點的z坐標，A點在上，B點在下；若A點的y坐標大于B點y坐標，A點在前，B點在后。a)A、B兩點的投影圖b)A、B兩點的空間位置圖2-18例5例5：A（xA，yA，zA）、B（xB，yB，zB）兩點的投影如圖2-18a所示，由投影圖判斷空間兩點的相對位置。解：由于xA＜xB，yA＜yB，zA＞zB，所以，點A位于點B的右后上方，點B處于點A的左前下方；如圖2-18b所示。2.2.5重影點及其可見性當空間兩點位于一個投影面的同一條投射線上時，它們在該投影面上的投影重合成一個點，稱為重影，這空間兩點就稱為該投影面的重影點。研究重影點的目的，是為了今后解決投影圖中所出現(xiàn)的可見性問題。在圖2-19中，由于A、B兩點位于V面的同一條投射線上，所以它們的正面投影a’和b’重合成一點，A、B兩點為V面的重影點。若空間的兩個點是某個投影面的重影點，兩點在該投影面上的兩個坐標值相等。如圖2-19中A、B兩點的x坐標和z坐標相同。在投影圖中，判別重影點的可見性與觀察方向有關，約定：可見性觀察方向為自上向下，自前向后，自左向右。判別重影點的可見性方法可歸納為：1）若兩點的水平投影重合，z坐標值大者為可見。2）若兩點的正面投影重合，y坐標值大者為可見。3）若兩點的側面投影重合，x坐標值大者為可見。圖2-19重影點圖2-20例6例6：在圖2-20中，水平投影a、b重合為一點，但正面投影中b’在a’的上方，即zB＞zA，這對H面來說，B點是可見的，A點是不可見的。規(guī)定，不可見點的重合投影加一圓括號，如圖2-20中A點的水平投影（a）。2.3直線的投影在平行投影法中，如果直線與投射線不平行，直線的投影仍是直線。直線的空間位置由線上兩點決定，因此畫直線的投影圖，一般是在直線上取兩點（通常取線段兩個端點），畫出它們的投影圖后，再把它們的同面投影連起來。對于圖2-21所示的直線AB，若求作它的三面投影，可先分別求出A、B兩端點的三面投影（a、a’、a”）、（b、b’、b”），如圖2-22a；再分別將A、B兩端點的同面投影連接起來，即連接ab、a’b’、a”b”，即得直線AB的三面投影，如圖2-22b所示。圖2-21一般位置直線a)求a、a’、a”及b、b’、b”b)連接ab、a’b’、a”b”圖2-22一般位置直線的投影圖2.3.1各類位置直線的投影特性根據直線對投影面的相對位置，直線可分為下述三類：一般位置直線；投影面平行線；投影面垂直線。后兩類直線稱為特殊位置直線。現(xiàn)分述它們各自不同的投影特性。1.一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線，稱為一般位置直線。圖2-21所示直線即為一般位置的直線。圖2-22b為一般位置直線的投影圖。對于一般位置直線，若它對H面的傾角為α，對V面的傾角為β；對W面的傾角為γ，（見圖2-21）。則有：；；。由于α、β、γ均大于0，小于90°，所以ab、a’b’、a”b”都小于線段本身的實長。一般位置直線的投影特性為：=1\*GB3①其三面投影均與投影軸傾斜，且小于線段的實長。=2\*GB3②各投影與投影軸的夾角均不反映一般位置直線對投影面的真實傾角。2.投影面平行線平行于一個投影面，而與另外兩個投影面傾斜的直線，稱為投影面平行線。有三種位置：正平線：平行于正面，而與水平面和側面傾斜的直線，如圖2-23所示。水平線：平行于水平面，而與正面和側面傾斜的直線，如圖2-24所示。側平線：平行于側面，而與水平面和正面傾斜的直線，如圖2-25所示。由圖2-23可得正平線的投影特性為：正面投影a’b’反映線段AB的實長，它與OX軸的夾角反映直線對H面的傾角α，與OZ軸的夾角反映直線對W面的傾角γ。水平投影ab∥OX軸，；側面投影a”b”∥OZ軸；。水平線和側平線也有類似的投影特性（見圖2-24和圖2-25）。由以上可得投影面平行線的投影特性：=1\*GB3①在直線所平行的那個投影面上的投影反映線段的實長。=2\*GB3②反映實長的那個投影與投影軸的夾角是直線段與相應投影面的真實傾角。=3\*GB3③在另外兩個投影面上的投影，平行于相應的投影軸，且長度小于實長。a)正平線的空間投影立體圖b)正平線的投影圖圖2-23正平線a)水平線的空間投影立體圖b)水平線的投影圖圖2-24水平線a)側平線的空間投影立體圖b)側平線的投影圖圖2-25側平線3.投影面垂直線垂直于一個投影面，與另外兩個投影面平行的直線，稱為投影面垂直線。有三種位置：正垂線：與正面垂直的直線（與H面及W面平行），如圖2-26所示。鉛垂線：與水平面垂直的直線（與V面及W面平行），如圖2-27所示。側垂線：與側面垂直的直線（與H面及V面平行），如圖2-28所示。由圖2-27可得鉛垂線的投影特性為：水平投影a（b）積聚為一點。正面投影a’b’及側面投影a”b”均反映線段AB的實長。且a’b’⊥OX軸；a”b”⊥OYW軸。正垂線和側垂線也有類似的投影特性（見圖2-26和圖2-28）。由以上可得投影面垂直線的投影特性：=1\*GB3①在直線所垂直的那個投影面上的投影積聚為一點。=2\*GB3②在另外兩個投影面上的投影垂直于該直線所垂直的投影軸，且反映線段的真實長度。a)正垂線的空間投影立體圖b)正垂線的投影圖圖2-26正垂線a)鉛垂線的空間投影立體圖b)鉛垂線的投影圖圖2-27鉛垂線a)側垂線的空間投影立體圖b)側垂線的投影圖圖2-28側垂線2.3.2直線上的點的投影如果點在直線上，其投影有如下特性：1）如果點在直線上，則點的各個投影必在該直線的同面投影上，且符合點的投影規(guī)律。如圖2-29所示，K點在線段AB上，則k在ab上，k’在a’b’上，k”在a”b”上，且k、k’、k”在如圖2-29b所示的投影圖中符合點的投影規(guī)律。a)點在直線上的空間投影立體圖b)點在直線上線的投影圖圖2-29直線上點的投影反過來，只有點的各個投影都在直線的同面投影上，該點才在直線上。2）直線段上的點分直線段為兩線段的長度之比等于點的各投影分同面直線投影長度之比（該特性稱為點分直線段的定比性）。如在圖2-29中，點K分直線AB為AK和KB兩段，則AK：KB＝ak：kb＝a’k’：k’b’＝a”k”：k”b”。根據直線上點的投影特性，可由投影圖判斷點是否在直線上。一般情況下，只要由兩組同面投影即可判斷出點是否在直線上。如圖2-30a，可由點k’不在a’b’上斷定點K不在直線AB上。事實上，點K和直線AB的空間位置如圖2-30b所示。a)k’不在a’b’上（投影圖）b)點K和直線AB的空間位置圖2-30一般情況下，由兩組同面投影判斷出點是否在直線上對于投影面平行線，如果已知點的投影在直線的兩個平行于投影軸的投影上，就不能簡單判定點在直線上。如圖2-31a，點K的兩投影在直線AB的兩同面投影上，但AB為水平線，不能斷定K點在AB上。作出直線AB和點K的第三面投影（如圖2-31b），可知點K不在直線AB上。事實上，直線AB和點K的空間位置如圖2-31c。a)點K和直線AB的兩面投影圖b)點K和直線AB的三面投影圖c)點K和直線AB的空間位置圖2-31作出點和直線的第三面投影判斷點是否在直線上a)點K和直線AB的兩面投影圖b)根據定比性作圖圖2-32根據定比性判斷點是否在直線上除了通過作出點和直線的第三面投影來判斷點和直線的關系外，還可根據定比性通過幾何作圖來判斷點是否在直線上。如圖2-32a，判斷點K是否在直線AB上。若點K在AB上，則必有ak：kb＝a’k’：k’b’。因此，如圖2-32b所示，自a’任作一直線a’M＝ab，并取a’N＝ak，連接點M、b’，過點N作Mb’的平行線NP，因NP不通過K’，即ak：kb≠a’k’：k’b’，不滿足定比性，故點K不在直線AB上。2.3.3兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置有平行、相交、交叉三種情況。前兩種為共面直線，后一種為異面直線。1.兩直線平行正投影法中，若空間兩直線平行，則其同面投影必相互平行。如圖2-33a，若在空間AB∥CD，則必定ab∥cd、a’b’∥c’d’、a”b”∥c”b”，如圖2-33b所示。a)空間平行兩直線的立體圖b)平行兩直線的投影圖圖2-33兩直線平行反之，若兩直線的三組同面投影都互相平行，則此兩直線在空間一定互相平行。如果兩直線有兩組同面投影相互平行，在空間兩條直線是否平行要區(qū)分情況：兩條直線是一般位置直線，只要其任意兩組同面投影相互平行，就可以確定這兩條直線在空間是相互平行的。如果兩條直線同時平行于某一投影面，必須看兩條直線所平行的那個投影面上的投影平行與否，才能最后確定這兩條直線在空間是否互相平行。圖2-34平行于同一投影面的兩交叉直線如圖2-34所示，雖然ab∥cd，a’b’∥c’d’，但是我們還不能肯定AB及CD兩條直線在空間是相互平行的。因為AB及CD均為側平線，求出該兩條直線的側面投影，因為a”b”與c”d”不平行，所以AB與CD在空間不平行。2.兩直線相交正投影法中，若空間兩直線相交，則它們的各同面投影必定相交，且交點的投影必定符合點的投影規(guī)律。如圖2-35a，若在空間AB、CD相交，則必定ab與cd、a’b’與c’d’、a”b”與c”b”都各自相交，且他們的交點符合點的投影規(guī)律，如圖2-35b所示。a)空間相交兩直線的立體圖b)相交兩直線的投影圖圖2-35兩直線相交反之，若兩直線的三組同面投影都相交，且交點的投影符合點的投影規(guī)律，則此兩直線在空間一定相交。如果兩直線有兩組同面投影相交，在空間兩條直線是否相交要區(qū)分情況：對于兩條一般位置直線，只要根據其任意兩組投影，就可確定這兩條直線在空間是否相交。但是當兩條直線中有一條是投影面平行線時，則要看兩條直線在三個投影面上的投影交點是否符合點的投影規(guī)律，才能確定兩直線是否相交。如圖2-36所示，AB為一般位置的直線，CD為側平線。雖然在投影圖上ab與cd相交，a’b’與c’d’相交，a”b”與c”d”也相交，但交點的投影不符合點的投影規(guī)律，所以此兩直線在空間不相交。圖2-36有一條直線是投影面平行線的兩交叉直線3.兩直線交叉兩直線既不平行也不相交，稱兩直線交叉。交叉兩直線可能有一組或二組同面投影互相平行，但決不可能三組同面投影都互相平行。圖2-34是有二組同面投影互相平行的一種情形。交叉兩直線的同面投影，可能有一組、二組或三組同面投影都相交，但這些交點的投影一定不符合點的投影規(guī)律。圖2-36是有三組同面投影都相交的一種情形。實際上，交叉兩直線同面投影的交點是空間兩直線上的兩點對該投影面的重影。從圖2-37中可看出，a’b’和c’d’的交點1’（2’），實際上是直線AB上的=1\*ROMANI點與直線CD上的=2\*ROMANII點對V面的重影。由=1\*ROMANI、=2\*ROMANII點的水平投影可知=1\*ROMANI點在前，=2\*ROMANII點在后，=1\*ROMANI點可見。ab和cd的交點3（4）實際上是空間直線CD上的=3\*ROMANIII點與直線AB上的=4\*ROMANIV點對H面的重影。由=3\*ROMANIII、=4\*ROMANIV點的正面投影可知=3\*ROMANIII點在上，=4\*ROMANIV點在下，=3\*ROMANIII點可見。a)交叉兩直線的立體圖b)交叉兩直線的投影圖圖2-37交叉兩直線的投影2.4平面的投影2.4.1平面的幾何元素表示法由初等幾何學可知，平面可以用點、線、面等幾何元素表示，其空間位置有以下表示方法：1）不在同一直線上的三點。2）一條直線和直線外的一點。3）相交兩直線。4）平行兩直線。5）任意平面圖形（如三角形、平行四邊形、多邊形、圓等）。各種表示方法的投影圖見圖2-38。a)不在同一直線上的三點表示平面b）一條直線和直線外的一點表示平面c）相交兩直線表示平面d）平行兩直線表示平面e）三角形表示平面圖2-38在投影圖種表示平面的方法在如上投影圖中，各種表示平面的方法之間有著緊密的聯(lián)系，可以相互轉換。如在圖2-38a中，若連接a、b兩點，則可成為圖2-38b。同一平面，不論如何轉換，只是其表示形式或形狀的不同，而平面原空間位置不會改變。因此在作圖中，平面的表達形式可任意選擇，一般根據作圖方便和平面的表達效果，采用兩條相交直線、三角形和多邊形平面等。2.4.2各種位置平面的投影特性根據平面在三投影面體系中的位置可把空間平面分為三類：投影面垂直面，投影面平行面和一般位置平面。前兩類平面又統(tǒng)稱為特殊位置平面。無論何種位置的平面，最顯著的區(qū)別是對投影面的傾角不同，它們對H、V、W面的傾角（即兩面角）分別以α、β、γ表示。下面介紹各類平面的投影特性：1.投影面垂直面垂直于一個投影面而與另外兩個投影面傾斜的平面叫投影面垂直面。投影面垂直面按其所垂直的投影面不同而分為三種：鉛垂面：垂直于H面，而與V面和W面傾斜的平面，如圖2-39所示。正垂面：垂直于V面，而與H面和W面傾斜的平面，如圖2-40所示。側垂面：垂直于W面，而與H面和V面傾斜的平面，如圖2-41所示。由圖2-39可得鉛垂面的投影特性為：鉛垂面S的水平投影s為一直線，即有積聚性。這是因為鉛垂面垂直于H面，與對水平面的投影方向平行，平面S的水平投影“積聚”成一條線。鉛垂面的正面投影s’與側面投影s”均是平面S的類似形。鉛垂面S的水平投影s與OX軸的夾角等于該平面對V面的傾角β，與OYH軸的夾角等于該平面對W面的傾角γ。正垂面和側垂面也有類似的投影