2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫（統(tǒng)計(jì)與決策）——實(shí)踐操作試題型考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、假設(shè)某公司管理人員想了解員工的工作滿意度和其工作年限、基本工資之間是否存在關(guān)系。隨機(jī)抽取了50名員工，收集了他們的工作年限（年）、基本工資（元/月）以及工作滿意度評分（1-10分，分?jǐn)?shù)越高代表滿意度越高）。部分整理后的數(shù)據(jù)如下（單位：年、元、分）：3,4500,65,5200,72,4000,58,6500,84,5000,6...（注：此處僅為示例，實(shí)際應(yīng)用時(shí)需提供完整數(shù)據(jù)或描述數(shù)據(jù)特征）請根據(jù)上述數(shù)據(jù)，完成以下分析：1.運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒?，分析員工基本工資與其工作年限之間的關(guān)系。請說明選擇該方法的原因，并描述分析結(jié)果。2.計(jì)算員工工作滿意度的樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差。3.假設(shè)總體服從正態(tài)分布，檢驗(yàn)員工基本工資的均值是否顯著高于5000元/月（α=0.05）。4.建立員工工作滿意度關(guān)于工作年限的簡單線性回歸模型。請解釋模型中系數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義，并對模型的整體擬合效果進(jìn)行評價(jià)（可計(jì)算并解釋R2）。二、某快餐連鎖店希望了解其產(chǎn)品價(jià)格調(diào)整對銷售額的影響。在過去的一個(gè)季度內(nèi)，該店在10個(gè)不同地區(qū)進(jìn)行了多次價(jià)格調(diào)整（上漲或下降）。記錄了每次調(diào)整后的一個(gè)月內(nèi)該地區(qū)的銷售額數(shù)據(jù)（萬元）。數(shù)據(jù)整理如下：調(diào)整前銷售額（X1，萬元）：120,135,110,95,140,160,125,105,130,145調(diào)整后銷售額（X2，萬元）：115,140,108,90,135,155,120,100,128,140請根據(jù)上述數(shù)據(jù)，完成以下分析：1.計(jì)算調(diào)整前后的銷售額均值和標(biāo)準(zhǔn)差。2.運(yùn)用符號檢驗(yàn)法，檢驗(yàn)價(jià)格調(diào)整是否對銷售額產(chǎn)生了顯著影響（α=0.10）。3.運(yùn)用威爾科克森符號秩檢驗(yàn)法，檢驗(yàn)價(jià)格調(diào)整是否對銷售額產(chǎn)生了顯著影響（α=0.10），并與符號檢驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行比較。4.若選擇進(jìn)行配對樣本t檢驗(yàn)，請寫出檢驗(yàn)的原假設(shè)和備擇假設(shè)，并說明檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式。三、為了評估兩種不同廣告策略（策略A和策略B）對產(chǎn)品認(rèn)知度的影響，隨機(jī)選擇了1000名消費(fèi)者進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。其中，500名消費(fèi)者接觸了策略A廣告，500名消費(fèi)者接觸了策略B廣告。在一周后，調(diào)查了兩組消費(fèi)者中知道該產(chǎn)品的比例。結(jié)果顯示，接觸策略A廣告的消費(fèi)者中有280人知道產(chǎn)品，接觸策略B廣告的消費(fèi)者中有320人知道產(chǎn)品。請根據(jù)上述數(shù)據(jù)，完成以下分析：1.計(jì)算兩種廣告策略下產(chǎn)品認(rèn)知率的樣本比例。2.檢驗(yàn)兩種廣告策略下產(chǎn)品認(rèn)知率是否存在顯著差異（α=0.05）。請說明選擇該檢驗(yàn)方法的原因，并描述分析結(jié)果。3.若計(jì)劃在未來進(jìn)行一項(xiàng)新的廣告效果調(diào)查，樣本量應(yīng)如何確定才能以95%的置信水平，保證對總體認(rèn)知率估計(jì)的邊際誤差不超過5%？四、某銀行想知道客戶的月均消費(fèi)額（Y，元）與其年齡（X1，歲）和家庭收入（X2，元/月）之間是否存在線性關(guān)系。隨機(jī)抽取了30位客戶，收集了他們的月均消費(fèi)額、年齡和家庭收入數(shù)據(jù)。運(yùn)用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行了多元線性回歸分析，部分輸出結(jié)果如下：模型擬合優(yōu)度：R2=0.65,調(diào)整后R2=0.62系數(shù)估計(jì)：常數(shù)項(xiàng)：β?=1500X1（年齡）系數(shù)：β?=20X2（家庭收入）系數(shù)：β?=0.8系數(shù)顯著性檢驗(yàn)（P值）：常數(shù)項(xiàng)：P=0.15X1系數(shù)：P=0.01X2系數(shù)：P=0.03F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：F=25,P值=0.000請根據(jù)上述輸出結(jié)果，完成以下分析：1.解釋模型中R2和調(diào)整后R2的含義。2.假設(shè)某位客戶年齡為35歲，家庭收入為8000元/月，請預(yù)測其大致的月均消費(fèi)額。3.在α=0.05的顯著性水平下，檢驗(yàn)?zāi)挲g對月均消費(fèi)額是否有顯著影響。4.解釋X2（家庭收入）系數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義。根據(jù)P值，判斷家庭收入對月均消費(fèi)額的影響是否顯著。5.對該多元線性回歸模型的整體擬合效果進(jìn)行評價(jià)。五、某工廠生產(chǎn)一種零件，關(guān)心其長度是否符合規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)（標(biāo)準(zhǔn)長度為10厘米）。質(zhì)量檢驗(yàn)員隨機(jī)抽取了100個(gè)零件，測量了它們的長度。假設(shè)零件長度服從正態(tài)分布。樣本數(shù)據(jù)顯示，樣本均值為10.05厘米，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為0.2厘米。請根據(jù)上述信息，完成以下分析：1.寫出檢驗(yàn)零件長度是否符合標(biāo)準(zhǔn)（μ=10厘米）的原假設(shè)和備擇假設(shè)。2.若采用顯著性水平α=0.01，請計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值。3.根據(jù)計(jì)算出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值，做出統(tǒng)計(jì)決策。4.計(jì)算并解釋該檢驗(yàn)的p值。5.假設(shè)現(xiàn)在要求犯第二類錯(cuò)誤的概率不超過10%，如果標(biāo)準(zhǔn)確實(shí)偏移了0.1厘米（即μ=10.1厘米），檢驗(yàn)的功效是多少？試卷答案一、1.解析思路：觀察數(shù)據(jù)，初步判斷基本工資可能隨工作年限增加而增加，呈正相關(guān)趨勢。選擇計(jì)算Pearson相關(guān)系數(shù)來量化兩者間的線性關(guān)系強(qiáng)度和方向。計(jì)算相關(guān)系數(shù)后，需要進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)（如t檢驗(yàn)）來判斷相關(guān)性是否顯著。根據(jù)計(jì)算得到的r值及其對應(yīng)的p值，結(jié)合散點(diǎn)圖（雖然題目未要求繪制，但心中應(yīng)有圖示）的直觀判斷，得出結(jié)論。*答案要點(diǎn)：計(jì)算Pearson相關(guān)系數(shù)r。說明理由（線性關(guān)系判斷）。給出r值及顯著性檢驗(yàn)結(jié)果（p值或t統(tǒng)計(jì)量）。根據(jù)結(jié)果描述關(guān)系（如：兩者呈顯著正相關(guān)/負(fù)相關(guān)，相關(guān)強(qiáng)度中等/強(qiáng)）。2.解析思路：工作滿意度評分是定距變量，計(jì)算其均值（樣本中心趨勢）和標(biāo)準(zhǔn)差（樣本離散程度）是基本描述統(tǒng)計(jì)方法。*答案要點(diǎn)：計(jì)算樣本均值（所有評分求和除以樣本量50）。計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差（平方差均值開方，需先計(jì)算各數(shù)據(jù)點(diǎn)與均值的差的平方）。3.解析思路：檢驗(yàn)基本工資均值是否高于5000元，是單樣本t檢驗(yàn)問題。已知樣本均值、樣本標(biāo)準(zhǔn)差和樣本量，但不知總體是否正態(tài)。題目提示總體正態(tài)，故可采用t檢驗(yàn)。提出原假設(shè)H?:μ≤5000和備擇假設(shè)H?:μ>5000。計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量（(樣本均值-假設(shè)均值)/(樣本標(biāo)準(zhǔn)差/sqrt樣本量)）。查找t分布表（自由度=樣本量-1）或使用軟件得到p值。比較p值與α（0.05），若p<α則拒絕H?。*答案要點(diǎn)：提出H?和H?。計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量值。給出p值。做出統(tǒng)計(jì)決策（拒絕或不拒絕H?）。得出結(jié)論（基本工資均值是否顯著高于5000元）。4.解析思路：建立簡單線性回歸模型，使用工作年限作為自變量X，工作滿意度作為因變量Y。利用統(tǒng)計(jì)軟件或公式計(jì)算回歸系數(shù)β?（斜率）、β?（截距）。解釋β?的含義：工作年限每增加一個(gè)單位，預(yù)計(jì)工作滿意度平均變化β?個(gè)單位。解釋β?的含義：當(dāng)工作年限為0時(shí)，預(yù)計(jì)工作滿意度為β?（注意實(shí)際意義解釋需謹(jǐn)慎）。計(jì)算R2，表示模型對數(shù)據(jù)變異的解釋比例，R2越接近1，模型擬合效果越好。*答案要點(diǎn)：輸出回歸方程（Y=β?+β?X）。解釋β?的經(jīng)濟(jì)含義。解釋β?的經(jīng)濟(jì)含義（或說明其取值可能無實(shí)際意義）。計(jì)算R2并解釋其含義。評價(jià)模型擬合效果（根據(jù)R2值）。二、1.解析思路：分別計(jì)算兩組（調(diào)整前后）銷售額的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，用于描述兩組數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度。*答案要點(diǎn)：分別計(jì)算調(diào)整前銷售額（X1）和調(diào)整后銷售額（X2）的均值（求和除以樣本量10）。分別計(jì)算X1和X2的標(biāo)準(zhǔn)差（平方差均值開方）。2.解析思路：符號檢驗(yàn)適用于配對數(shù)據(jù)的中位數(shù)是否存在差異的檢驗(yàn)，對數(shù)據(jù)分布無要求。比較每次調(diào)整后銷售額與調(diào)整前銷售額的差值，記錄“增加”（+）和“減少”（-）的個(gè)數(shù)（忽略差值為0的情況）。提出原假設(shè)H?：調(diào)整前后銷售額的中位數(shù)無差異（即+和-的數(shù)量無顯著差異）。計(jì)算觀察到的+和-的個(gè)數(shù)。查找二項(xiàng)分布臨界值表（n=9，p=0.5，α=0.10的雙尾檢驗(yàn)）或計(jì)算p值。比較p值與α，若p<α則拒絕H?。*答案要點(diǎn)：計(jì)算差值的符號（+或-），統(tǒng)計(jì)+和-的個(gè)數(shù)。提出H?和H?。計(jì)算p值（基于二項(xiàng)分布）。做出統(tǒng)計(jì)決策。得出結(jié)論。3.解析思路：威爾科克森符號秩檢驗(yàn)是符號檢驗(yàn)的改進(jìn)，對差值的分布更敏感，適用于非正態(tài)或偏態(tài)分布的配對數(shù)據(jù)。步驟：①計(jì)算差值。②忽略差值為0的觀測。③對非零差值的絕對值進(jìn)行排序，并賦予秩次（絕對值相等的差值取平均秩次）。④分別計(jì)算正差值秩次之和（W+）和負(fù)差值秩次之和（W-），W取W+和W-中較小者。⑤查找威爾科克森符號秩檢驗(yàn)表（n=8，α=0.10的雙尾檢驗(yàn)）或計(jì)算p值。比較p值與α，若p<α則拒絕H?。*答案要點(diǎn)：計(jì)算差值，忽略0值。對絕對值排序賦秩。計(jì)算W+和W-，確定W。查找秩和檢驗(yàn)表或計(jì)算p值。做出統(tǒng)計(jì)決策。得出結(jié)論。比較與符號檢驗(yàn)結(jié)果的異同（威爾科克森通常更穩(wěn)?。?.解析思路：配對樣本t檢驗(yàn)是檢驗(yàn)配對數(shù)據(jù)均值是否存在差異的方法，要求差值服從正態(tài)分布（或樣本量較大時(shí)近似正態(tài)）。步驟：①計(jì)算每次配對的差值（調(diào)整后-調(diào)整前）。②計(jì)算差值樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。③計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量（差值均值/(差值標(biāo)準(zhǔn)差/sqrt樣本量)）。④查找t分布表（自由度=n-1，α=0.10的雙尾檢驗(yàn)）或使用軟件得到p值。比較p值與α，若p<α則拒絕H?。*答案要點(diǎn)：提出H?（μ_d=0）和H?（μ_d≠0）。計(jì)算差值、差值均值、差值標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量值。給出p值。做出統(tǒng)計(jì)決策。說明檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式。三、1.解析思路：計(jì)算接觸策略A廣告的知道產(chǎn)品人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，得到策略A的認(rèn)知率。計(jì)算接觸策略B廣告的知道產(chǎn)品人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，得到策略B的認(rèn)知率。*答案要點(diǎn)：策略A認(rèn)知率=280/500。策略B認(rèn)知率=320/500。2.解析思路：比較兩種策略的認(rèn)知率，是檢驗(yàn)兩個(gè)獨(dú)立樣本比例是否存在差異的問題。由于樣本量較大（n?≥30,n?≥30），且p?=(280/500)=0.56,p?=(320/500)=0.64均不接近0或1，可用正態(tài)近似方法（Z檢驗(yàn)）。提出原假設(shè)H?：p?=p?（兩策略認(rèn)知率無差異）。計(jì)算合并比例p?=(280+320)/(500+500)。計(jì)算Z統(tǒng)計(jì)量Z=(p?-p?)/sqrt[p?(1-p?)(1/n?+1/n?)]。查找標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表或使用軟件得到p值。比較p值與α（0.05），若p<α則拒絕H?。*答案要點(diǎn)：提出H?和H?。計(jì)算合并比例p?。計(jì)算Z統(tǒng)計(jì)量值。給出p值。做出統(tǒng)計(jì)決策。得出結(jié)論（兩策略認(rèn)知率是否存在顯著差異）。3.解析思路：確定樣本量需要進(jìn)行估計(jì)。由于是估計(jì)比例，使用比例估計(jì)的樣本量公式。公式為n=(Zα/2)^2*p?(1-p?)/E2。其中，Zα/2是置信水平（95%對應(yīng)1.96），p?是預(yù)估的樣本比例（若無先驗(yàn)信息，可用0.5使n最大），E是邊際誤差（5%或0.05）。代入公式計(jì)算即可。*答案要點(diǎn)：寫出樣本量公式。代入Z值（1.96）、p?（0.5，若無信息）、E（0.05）計(jì)算n。得到所需的最小樣本量（通常需向上取整）。四、1.解析思路：R2表示因變量Y（月均消費(fèi)額）的總變異中，能被自變量X1（年齡）和X2（家庭收入）的線性關(guān)系所解釋的百分比。調(diào)整后R2在R2的基礎(chǔ)上考慮了模型中自變量的個(gè)數(shù)，是修正后的擬合優(yōu)度，通常比R2略小，但更適用于比較包含不同數(shù)量自變量的模型。R2和調(diào)整后R2越接近1，說明模型對數(shù)據(jù)的擬合效果越好。*答案要點(diǎn)：解釋R2表示模型解釋了Y變異的百分比。解釋調(diào)整后R2是修正后的擬合優(yōu)度，用于模型比較。評價(jià)模型擬合效果（根據(jù)R2=0.65，調(diào)整后R2=0.62，表示擬合效果尚可）。2.解析思路：利用建立的多元線性回歸方程Y?=β?+β?X?+β?X?，代入給定的X1=35歲和X2=8000元/月，即可計(jì)算出預(yù)測的月均消費(fèi)額Y?。*答案要點(diǎn)：將X1=35,X2=8000代入回歸方程。計(jì)算出Y?的值（元/月）。3.解析思路：檢驗(yàn)?zāi)挲g（X1）對月均消費(fèi)額（Y）是否有顯著影響，即檢驗(yàn)X1的回歸系數(shù)β?是否顯著不為0。這通過檢驗(yàn)β?對應(yīng)的p值來判斷。若p值<α（0.05），則拒絕H?:β?=0，認(rèn)為年齡對月均消費(fèi)額有顯著影響。查看輸出結(jié)果中X1系數(shù)的p值。*答案要點(diǎn)：提出針對β?的假設(shè)檢驗(yàn)（H?:β?=0,H?:β?≠0）。查找X1系數(shù)對應(yīng)的p值。根據(jù)p值與α（0.05）的比較，做出統(tǒng)計(jì)決策。得出結(jié)論。4.解析思路：X2（家庭收入）系數(shù)β?的經(jīng)濟(jì)含義是：在控制年齡（X1）不變的情況下，家庭收入（X2）每增加一個(gè)單位（元/月），預(yù)計(jì)月均消費(fèi)額（Y）平均變化β?個(gè)單位（元/月）。判斷家庭收入對月均消費(fèi)額影響是否顯著，同樣查看輸出結(jié)果中X2系數(shù)對應(yīng)的p值。若p值<α（0.05），則拒絕H?:β?=0，認(rèn)為家庭收入對月均消費(fèi)額有顯著影響。*答案要點(diǎn)：解釋X2系數(shù)（β?）的經(jīng)濟(jì)含義。查找X2系數(shù)對應(yīng)的p值。根據(jù)p值與α（0.05）的比較，做出統(tǒng)計(jì)決策。得出結(jié)論（家庭收入對月均消費(fèi)額是否顯著影響）。5.解析思路：對模型整體擬合效果的評價(jià)主要依據(jù)F檢驗(yàn)的p值。F檢驗(yàn)的原假設(shè)是所有回歸系數(shù)同時(shí)為零（模型對Y無解釋力）。查看輸出結(jié)果中的F統(tǒng)計(jì)量及其p值。若p值<α（0.05），則拒絕H?，認(rèn)為模型整體是顯著的，即至少有一個(gè)自變量對Y有顯著影響。結(jié)合R2和調(diào)整后R2的大小，進(jìn)一步評價(jià)模型解釋力的強(qiáng)弱。*答案要點(diǎn)：提出F檢驗(yàn)的原假設(shè)（所有β=0）。查找F統(tǒng)計(jì)量對應(yīng)的p值。根據(jù)p值與α（0.05）的比較，評價(jià)模型整體顯著性。結(jié)合R2（0.65）和調(diào)整后R2（0.62）評價(jià)模型擬合效果。五、1.解析思路：檢驗(yàn)零件長度是否符合標(biāo)準(zhǔn)（μ=10厘米），是比較樣本均值與已知總體均值（標(biāo)準(zhǔn)）的問題。由于總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，且樣本量n=100較大，可采用z檢驗(yàn)。提出原假設(shè)H?：μ=10（符合標(biāo)準(zhǔn)）和備擇假設(shè)H?：μ≠10（不符合標(biāo)準(zhǔn)）。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是z=(樣本均值-假設(shè)均值)/(樣本標(biāo)準(zhǔn)差/sqrt樣本量)。*答案要點(diǎn)：提出H?（μ=10）和H?（μ≠10）。2.解析思路：已知樣本均值（10.05）、樣本標(biāo)準(zhǔn)差（0.2）、樣本量（100）、假設(shè)均值（10）。計(jì)算z檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量值。*答案要點(diǎn)：計(jì)算z=(10.05-10)/(0.2/