試題試題2024~2025學(xué)年上海市復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)高一上學(xué)期期末考試試卷（A卷）數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）考生注意：1.帶2B鉛筆?黑色簽字筆?科學(xué)計(jì)算器?考試中途不得傳借文具.2.本試卷共4頁，21道試題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.3.請(qǐng)將答案正確填寫在答題紙上，作答在原卷上不予評(píng)分.一?填空題（12題共54分，1~6題每題4分，7~12題每題5分）1.函數(shù)且的圖像必過的定點(diǎn)坐標(biāo)為__________.2.已知某扇形的半徑為2，弧長為8，則該扇形的面積為__________.3.已知是定義在上的嚴(yán)格增函數(shù)，則不等式的解集為__________.4.已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)______________________．5.已知，，則__________.6.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)取值范圍為__________.7若，則集合共有__________個(gè)元素.8.已知，若函數(shù)存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________.9.已知定義在是函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，則__________.10.已知，且α與β的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，則的最大值為_______．11.如圖，已知長為，寬為長方體木塊在桌面上作無滑動(dòng)翻滾，翻滾到第四次時(shí)被小木塊擋住，此時(shí)長方體木塊底面與桌面所成的角為，求點(diǎn)走過的路程為__________．12.已知，若存在實(shí)數(shù)t，使得與均不大于1.5，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為__________.二?選擇題（4題共18分，13~14每題4分，15~16每題5分）13.小胡同學(xué)用二分法求函數(shù)在內(nèi)近似解的過程中，由計(jì)算可得，，，則小胡同學(xué)在下次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值為（）A. B. C. D.14.近年來純電動(dòng)汽車越來越受消費(fèi)者的青睞，新型動(dòng)力電池迎來了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口，Peukert于1898年提出蓄電池的容量C（單位：），放電時(shí)間t（單位：）與放電電流I（單位：）之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：，其中為Peukert常數(shù).為測算某蓄電池的Peukert常數(shù)，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間；當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間，則該蓄電池的Peukert常數(shù)n大約為（）A.1.19 B.2.19 C.3.19 D.4.1915.“圓材埋壁”是《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，學(xué)會(huì)一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知道大小，用鋸取鋸它，鋸口深一寸，鋸道長一尺，問這塊圓柱形木材的直徑是多少？現(xiàn)有圓柱形木材一部分埋在墻壁中，截面如圖所示，已知弦尺，弓形高寸，則陰影部分面積約為（注：，，1尺=10寸）A.6.33平方寸 B.6.35平方寸C.6.37平方寸 D.6.39平方寸16.如果函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有成立，則稱為定義在上的“Y函數(shù)”，若存在整數(shù)，使得為整數(shù)，則稱為的“Y點(diǎn)”，則對(duì)于所有的“Y函數(shù)”，它們不同的“Y點(diǎn)”個(gè)數(shù)之和為（）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.至少3個(gè)三?解答題（共78分，17~19每題14分，20~21每題18分）17.已知角終邊上一點(diǎn)，且（1）求：實(shí)數(shù)的值（2）求：18.已知函數(shù)為奇函數(shù)（1）求：的值（2）解關(guān)于x的不等式，19.一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個(gè)圓（半徑為的圓）的圓周上爬動(dòng)，且兩只螞蟻均從點(diǎn)同時(shí)逆時(shí)針勻速爬動(dòng)，紅螞蟻每秒爬過角，黑螞蟻每秒爬過角（其中）．如果兩只螞蟻都在第14秒時(shí)回到A點(diǎn)，并且在第2秒時(shí)均位于第二象限．（1）求，的值．（2）兩只螞蟻的爬行速度保持不變，若紅螞蟻從點(diǎn)A逆時(shí)針勻速爬行，黑螞蟻同時(shí)從點(diǎn)A順時(shí)針勻速爬行，求當(dāng)它們從點(diǎn)A出發(fā)后第一次相遇時(shí)，紅螞蟻爬過的路程．20.若函數(shù)與滿足：對(duì)任意，都有，則稱函數(shù)是函數(shù)的“約束函數(shù)”.已知函數(shù)是函數(shù)的“約束函數(shù)”.（1）求證：對(duì)于任意，均有（2）若為上的嚴(yán)格增函數(shù)，求證：為上的嚴(yán)格增函數(shù)（3）若的圖像是一條連續(xù)曲線，且在上的最大值為，求：的值.21.已知函數(shù)的定義域?yàn)镈，對(duì)于任意，均有，則稱為定義在D上“p階增函數(shù)”（1）若，函數(shù)為定義在區(qū)間上的“1階增函數(shù)”，求：實(shí)數(shù)的取值范圍（2）若為定義在區(qū)間上的“1階增函數(shù)”，且，其中，求證：（3）如果存在常數(shù)，對(duì)于任意，都有，則稱在D上有上界，問：是否存在常數(shù)M，使得對(duì)于所有定義在區(qū)間上且有上界的“2階增函數(shù)”，都有，若存在，求：M的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.2024~2025學(xué)年上海市復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)高一上學(xué)期期末考試試卷（A卷）數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）考生注意：1.帶2B鉛筆?黑色簽字筆?科學(xué)計(jì)算器?考試中途不得傳借文具.2.本試卷共4頁，21道試題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.3.請(qǐng)將答案正確填寫在答題紙上，作答在原卷上不予評(píng)分.一?填空題（12題共54分，1~6題每題4分，7~12題每題5分）1.函數(shù)且的圖像必過的定點(diǎn)坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定點(diǎn)坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】令，可得，則，所以定點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.2.已知某扇形的半徑為2，弧長為8，則該扇形的面積為__________.【答案】8【解析】【分析】根據(jù)扇形面積公式運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可得：該扇形的面積為.故答案為：8.3.已知是定義在上的嚴(yán)格增函數(shù)，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得，解不等式即可.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的嚴(yán)格增函數(shù)，且，可得，解得，所以不等式的解集為為.故答案為：.4.已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)______________________．【答案】1【解析】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)有，列方程求參數(shù)a即可.【詳解】由題設(shè)，所以，可得.故答案：15.已知，，則__________.【答案】【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化得出，再利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】因?yàn)?，則，又因?yàn)?，則.故答案為：.6.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，解之即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.7.若，則集合共有__________個(gè)元素.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性化簡集合，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，所以，共有2個(gè)元素.故答案為：2.8.已知，若函數(shù)存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，首先由二次函數(shù)性質(zhì)確定上的單調(diào)性和最值，再討論參數(shù)a，結(jié)合的單調(diào)性及存在最小值，求參數(shù)范圍.【詳解】由在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，最小值為，若，在上單調(diào)遞增，其值域?yàn)椋藭r(shí)不存在最小值，不符合；若，則在上，此時(shí)存在最小值，滿足；若，在上單調(diào)遞減，其值域?yàn)?，此時(shí)，要使函數(shù)存在最小值，只需，即，故；綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍.故答案為：.9.已知定義在是的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，則__________.【答案】0【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)探討出函數(shù)的周期，再進(jìn)函數(shù)值.【詳解】由是奇函數(shù)，得，而，則，即，因此，函數(shù)是周期函數(shù)，其周期為4，而，則，所以.故答案為：010.已知，且α與β的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，則的最大值為_______．【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)是角的終邊上的任意一點(diǎn)（除原點(diǎn)外），求出點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)點(diǎn)是角的終邊上的任意一點(diǎn)（除原點(diǎn)外），則其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為；已知角的終邊與角的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，所以點(diǎn)必在角的終邊上，由三角函數(shù)的定義有，又，所以，因?yàn)樗?，所以的最大值為故答案為?1.如圖，已知長為，寬為的長方體木塊在桌面上作無滑動(dòng)翻滾，翻滾到第四次時(shí)被小木塊擋住，此時(shí)長方體木塊底面與桌面所成的角為，求點(diǎn)走過的路程為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得到第一次是以為旋轉(zhuǎn)中心，以為半徑旋轉(zhuǎn)，第二次是以為旋轉(zhuǎn)中心，以為半徑旋轉(zhuǎn)，第三次是以為旋轉(zhuǎn)中心，以為半徑旋轉(zhuǎn)，根據(jù)弧長公式計(jì)算后相加即可．【詳解】第一次是以為旋轉(zhuǎn)中心，以為半徑旋轉(zhuǎn)，

此次點(diǎn)走過的路徑是，

第二次是以為旋轉(zhuǎn)中心，以為半徑旋轉(zhuǎn)，

此次點(diǎn)走過的路徑是，

第三次是以為旋轉(zhuǎn)中心，以為半徑旋轉(zhuǎn)，

此次點(diǎn)走過的路徑是，

點(diǎn)三次共走過的路徑是，

故答案為：．12.已知，若存在實(shí)數(shù)t，使得與均不大于1.5，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】利用二次函數(shù)的最值即可求得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),與均不大于1.5，得到,先考慮，整理得,設(shè)，因?yàn)?，所以判別式，即,解得：，若要滿足存在實(shí)數(shù)t使兩個(gè)不等式成立，考慮極端情況當(dāng)與有交點(diǎn)時(shí)，即，即，將代入中，得到，整理得，得到或，結(jié)合，得到或；再考慮，整理得，設(shè)，若要滿足存在實(shí)數(shù)t使兩個(gè)不等式成立，考慮極端情況當(dāng)與有交點(diǎn)時(shí)，即，即，將代入中，得到，整理得，得到，綜上可知：，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題干列出不等式，再根據(jù)不等式的求解設(shè)出函數(shù)，利用極端情況滿足存在實(shí)數(shù)t使兩個(gè)不等式成立，兩個(gè)函數(shù)得需有交點(diǎn).二?選擇題（4題共18分，13~14每題4分，15~16每題5分）13.小胡同學(xué)用二分法求函數(shù)在內(nèi)近似解的過程中，由計(jì)算可得，，，則小胡同學(xué)在下次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二分法的計(jì)算方法即可判斷.【詳解】因?yàn)?，，，則根應(yīng)該落在區(qū)間內(nèi)，根據(jù)二分法的計(jì)算方法，下次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值為區(qū)間中點(diǎn)函數(shù)值，即.故選：D14.近年來純電動(dòng)汽車越來越受消費(fèi)者的青睞，新型動(dòng)力電池迎來了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口，Peukert于1898年提出蓄電池的容量C（單位：），放電時(shí)間t（單位：）與放電電流I（單位：）之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：，其中為Peukert常數(shù).為測算某蓄電池的Peukert常數(shù)，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間；當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間，則該蓄電池的Peukert常數(shù)n大約為（）A.1.19 B.2.19 C.3.19 D.4.19【答案】B【解析】【分析】由題意可得，運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可得，即，可得，所以.故選：B.15.“圓材埋壁”是《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，學(xué)會(huì)一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知道大小，用鋸取鋸它，鋸口深一寸，鋸道長一尺，問這塊圓柱形木材的直徑是多少？現(xiàn)有圓柱形木材一部分埋在墻壁中，截面如圖所示，已知弦尺，弓形高寸，則陰影部分面積約為（注：，，1尺=10寸）A.6.33平方寸 B.6.35平方寸C.6.37平方寸 D.6.39平方寸【答案】A【解析】【分析】連接OC，設(shè)半徑為r，則，在直角三角形中應(yīng)用勾股定理即可求得r，進(jìn)而求得扇形的面積，減去三角形即可得陰影部分的面積．【詳解】連接OC，設(shè)半徑為r，寸，則在直角三角形中，即，解得則，所以則所以扇形的面積三角形的面積所以陰影部分面積為所以選A【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系在實(shí)際問題中的應(yīng)用，三角形函數(shù)的概念及扇形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16.如果函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有成立，則稱為定義在上的“Y函數(shù)”，若存在整數(shù)，使得為整數(shù)，則稱為的“Y點(diǎn)”，則對(duì)于所有的“Y函數(shù)”，它們不同的“Y點(diǎn)”個(gè)數(shù)之和為（）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.至少3個(gè)【答案】A【解析】【分析】求出存在“Y點(diǎn)”則會(huì)有無數(shù)個(gè)，結(jié)合題目中可知只能不存在“Y點(diǎn)”，即可求得結(jié)果.【詳解】假設(shè)存在“Y點(diǎn)”即，其中k為整數(shù)，又任意的實(shí)數(shù)x，都有成立，則，又因?yàn)?，，所以，得若“Y點(diǎn)”，則，也是“Y點(diǎn)”，所以所有的“Y點(diǎn)”構(gòu)成以公差為1的等差數(shù)列，故若存在一個(gè)“Y點(diǎn)”，就會(huì)有無數(shù)個(gè)“Y點(diǎn)”，若不存在“Y點(diǎn)”，自然“Y點(diǎn)”個(gè)數(shù)為0.故選：A.三?解答題（共78分，17~19每題14分，20~21每題18分）17.已知是角終邊上一點(diǎn)，且（1）求：實(shí)數(shù)的值（2）求：【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)任意角三角函數(shù)值的定義運(yùn)算求解即可；（2）先求得，再利用誘導(dǎo)公式運(yùn)算求解即可.【小問1詳解】因?yàn)椋獾糜?，所?【小問2詳解】由（1）可知：，則，所以.18.已知函數(shù)為奇函數(shù)（1）求：的值（2）解關(guān)于x的不等式，【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得，并根據(jù)奇函數(shù)的定義檢驗(yàn)；（2）分析可知在上是嚴(yán)格增函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性解不等式.【小問1詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，則，解得，當(dāng)時(shí)，則，且，可知是奇函數(shù)，所以.【小問2詳解】由（1）可知，因?yàn)樵谏鲜菄?yán)格增函數(shù)，則在上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以在上是嚴(yán)格增函數(shù)，又因?yàn)?，可得所以不等式解集?19.一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個(gè)圓（半徑為的圓）的圓周上爬動(dòng)，且兩只螞蟻均從點(diǎn)同時(shí)逆時(shí)針勻速爬動(dòng)，紅螞蟻每秒爬過角，黑螞蟻每秒爬過角（其中）．如果兩只螞蟻都在第14秒時(shí)回到A點(diǎn)，并且在第2秒時(shí)均位于第二象限．（1）求，的值．（2）兩只螞蟻的爬行速度保持不變，若紅螞蟻從點(diǎn)A逆時(shí)針勻速爬行，黑螞蟻同時(shí)從點(diǎn)A順時(shí)針勻速爬行，求當(dāng)它們從點(diǎn)A出發(fā)后第一次相遇時(shí)，紅螞蟻爬過的路程．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題中條件，先設(shè)，，再由兩只螞蟻在第2秒時(shí)均位于第二象限，，列出不等式求解，得出和的值，即可得出結(jié)果；（2）先設(shè)它們從點(diǎn)A出發(fā)后第一次相遇時(shí)，所用的時(shí)間為秒，根據(jù)題中條件求出，根據(jù)弧長的計(jì)算公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得，與都是的整數(shù)倍，不妨設(shè)，，則，，又兩只螞蟻在第2秒時(shí)均位于第二象限，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，，即，；?）兩只螞蟻的爬行速度保持不變，若紅螞蟻從點(diǎn)A逆時(shí)針勻速爬行，黑螞蟻同時(shí)從點(diǎn)A順時(shí)針勻速爬行，設(shè)它們從點(diǎn)A出發(fā)后第一次相遇時(shí)，所用的時(shí)間為秒，則，即，解得，所以紅螞蟻爬過的角度為，因?yàn)閳A的半徑為，所以紅螞蟻爬過的路程為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題第一問的關(guān)鍵在于根據(jù)任意角的概念以及題中條件，得到與都是的整數(shù)倍，利用題中所給限制條件：第2秒時(shí)均位于第二象限，即可求解.20.若函數(shù)與滿足：對(duì)任意，都有，則稱函數(shù)是函數(shù)的“約束函數(shù)”.已知函數(shù)是函數(shù)的“約束函數(shù)”.（1）求證：對(duì)于任意，均有（2）若為上的嚴(yán)格增函數(shù)，求證：為上的嚴(yán)格增函數(shù)（3）若的圖像是一條連續(xù)曲線，且在上的最大值為，求：的值.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）因?yàn)?，即可得到結(jié)論.（2）利用嚴(yán)格增函數(shù)的定義即可證明.（3）由零點(diǎn)存在定理即可得到結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?，所以?duì)于任意，均有：【小問2詳解】任取，由于為上的嚴(yán)格增函數(shù).所以，于是，故，所以.從而為上的嚴(yán)格增函數(shù)：【小問3詳解】假設(shè)存在，使得.令，則，又因?yàn)榈?/p>