試題試題2024-2025學年上海市進才中學高一年級上學期12月月考數(shù)學試卷2024.12一?填空題（本大題共有12小題，滿分36分）考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結果，1-12題每個空格填對得3分，否則一律得0分.1.已知函數(shù)(且)圖象恒過點，則點坐標為________.2.已知冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的值為__________．3.函數(shù)的反函數(shù)為____________.4.已知函數(shù)滿足，則的解析式為__________.5.關于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________.6.已知函數(shù)定義域是，則函數(shù)的定義域為__________.7.若函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是__________.8.已知函數(shù)，，若，，使得，則實數(shù)取值范圍是___________.9.已知函數(shù)的定義域為，且對任意實數(shù)，都滿足，則實數(shù)___________；10.設不等式的解集為，若，則實數(shù)的取值范圍是___________.11.對于函數(shù)y＝f(x)，若存在x0，使f(x0)＋f(－x0)＝0，則稱點(x0，f

(x0))是曲線f(x)的“優(yōu)美點”．已知f(x)＝若曲線f(x)存在“優(yōu)美點”，則實數(shù)k的取值范圍為________．12.已知函數(shù)，其中，存在個不同的實數(shù)使得成立，若正整數(shù)的最大值為8，則實數(shù)的取值范圍是__________.二?選擇題（本大題共有4題，滿分16分）每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.下列四組函數(shù)中與是同一函數(shù)的是（）A， B.，C.， D.，14.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C D.15.已知函數(shù)的定義域為．命題：若當時，都有，則函數(shù)是D上的奇函數(shù)．命題：若當時，都有，則函數(shù)是D上的增函數(shù)．下列說法正確的是（）A.p、q都是真命題 B.p是真命題，q是假命題C.p是假命題，q是真命題 D.p、q都是假命題16.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若，且，都有成立，則不等式的解集為（）A. B.C. D.三?解答題（本大題滿分48分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17已知全集，集合.（1）當時，求集合；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.18.設常數(shù)，函數(shù).（1）若函數(shù)是奇函數(shù)，求實數(shù)的值；（2）當時，求函數(shù)的零點.19.某民營企業(yè)開發(fā)出了一種新產(chǎn)品，預計能獲得50萬元到1500萬元的經(jīng)濟收益.企業(yè)的人力資源部門研究對開發(fā)該軟件的團隊進行獎勵：獎金（單位：萬元）隨經(jīng)濟收益（單位：萬元）的增加而增加，且，獎金金額不超過20萬元.（1）若該公司采用函數(shù)，作為獎勵函數(shù)模型，試判斷該函數(shù)是否符合公司獎勵要求，并說明理由；（2）若該企業(yè)采用函數(shù)作為獎勵函數(shù)模型，試確定實數(shù)的取值范圍.20.已知.（1）當時，解關于的不等式；（2）若有兩個零點，求的值；（3）若對任意，總有成立，求的取值范圍.21.已知函數(shù)，若對于其定義域中任意給定的實數(shù)，都有，就稱函數(shù)為“JC函數(shù)”.（1）已知，判斷是否是“JC函數(shù)”，并說明理由：（2）已知是定義在上的“JC函數(shù)”，且在上是嚴格增函數(shù)，判定并證明在上的單調性；（3）若是“JC函數(shù)”，且定義域為，已知時，，求函數(shù)的解析式并指出方程是否有正整數(shù)解？請說明理由.2024-2025學年上海市進才中學高一年級上學期12月月考數(shù)學試卷2024.12一?填空題（本大題共有12小題，滿分36分）考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結果，1-12題每個空格填對得3分，否則一律得0分.1.已知函數(shù)(且)圖象恒過點，則點坐標為________.【答案】【解析】【詳解】令，即，有.所以.故答案為.2.已知冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的值為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質得，由此即可得解.【詳解】因為是冪函數(shù)，

所以，即，

解得或，

又冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，

所以，故，

故答案為：．3.函數(shù)的反函數(shù)為____________.【答案】【解析】【分析】利用反函數(shù)的定義求解即可.【詳解】因為的反函數(shù)為，所以，則.故答案為：.4.已知函數(shù)滿足，則的解析式為__________.【答案】【解析】分析】用換元法求解．【詳解】令.即，故答案為：．5.關于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由不等式恒成立轉化為利用函數(shù)的單調性求函數(shù)的最小值得參數(shù)范圍．【詳解】由題意知在上嚴格單調遞增，則當時，.故答案為：．6.已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域性質計算求解即可.【詳解】由題意知.故答案為：.7.若函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，再利用復合函數(shù)的單調性即可求得結果.【詳解】由題意知函數(shù)定義域為或，令是二次函數(shù)，對稱軸為，在上單調遞增，由復合函數(shù)單調性可知，在上嚴格增，則.故答案為：8.已知函數(shù)，，若，，使得，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】首先求出兩函數(shù)的值域，再根據(jù)題意轉化為兩個函數(shù)值域的包含關系，可分和兩種情況進行分類討論，列示求解.【詳解】當時，；當時，當，，又，，使得，所以，所以，解得；當時，當，，又，，使得，所以，所以，解得.綜上，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：9.已知函數(shù)的定義域為，且對任意實數(shù)，都滿足，則實數(shù)___________；【答案】1【解析】【分析】根據(jù)條件得到，即為偶函數(shù)，根據(jù)列出方程，求出實數(shù)的值.【詳解】因為的定義域為R，所以恒成立，故，又因為對任意實數(shù)，都滿足，則對于實數(shù)，都滿足，所以，所以為偶函數(shù)，從而，化簡得：，要想對任意，上式均成立，則，解得：故答案為：110.設不等式的解集為，若，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】【詳解】分析：因為對數(shù)的底數(shù)不確定，故需要對底數(shù)分類討論.如果，那么根據(jù)在上、的符號判斷出恒不成立.如果，那么根據(jù)及的圖像得到，從而得到的取值范圍.詳解：由題設，有在上恒成立.若，因，所以，，所以在恒不成立；若，考慮函數(shù)和函數(shù)在的圖像（如圖所示），故，所以，解不等式有.點睛：對數(shù)不等式中的底數(shù)不確定時，需要就底數(shù)的范圍分類討論.當不等式涉及到二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)（或指數(shù)函數(shù)）時，可以利用它們圖像的特征（如單調性、函數(shù)值增長的速度等）來求解參數(shù)的取值范圍.11.對于函數(shù)y＝f(x)，若存在x0，使f(x0)＋f(－x0)＝0，則稱點(x0，f

(x0))是曲線f(x)的“優(yōu)美點”．已知f(x)＝若曲線f(x)存在“優(yōu)美點”，則實數(shù)k的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)“優(yōu)美點”的定義，求得時的函數(shù)圖象關于原點對稱后對應圖象的解析式，與在有交點，即可求得結果.【詳解】由“優(yōu)美點”的定義，可知若點(x0，f

(x0))是曲線y＝f

(x)的“優(yōu)美點”，則點(－x0，－f

(x0))也在曲線y＝f

(x)上．如圖所示作出函數(shù)y＝x2＋2x(x<0)的圖象，然后作出其關于原點對稱的圖象，此圖象對應的函數(shù)解析式為y＝－x2＋2x(x>0)．需y＝kx＋2與曲線y＝f

(x)＝－x2＋2x(x>0)有交點，聯(lián)立，消去得，方程要有正根,所以，解得.故答案為：【點睛】本題考查利用函數(shù)對稱性求函數(shù)解析式，以新定義為背景考查函數(shù)的交點，等價轉化方程根的分布，屬于中檔題.12.已知函數(shù)，其中，存在個不同的實數(shù)使得成立，若正整數(shù)的最大值為8，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由題意得到，再通過換元，得到，由，通過討論，，，確定最大值，最小值，進而可求解；【詳解】由題意可知，當正整數(shù)的最大值為8時，，令，①當，即時，的最小值0，顯然不滿足；②當時，即，，則：；③當，即時，.故答案為：二?選擇題（本大題共有4題，滿分16分）每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.下列四組函數(shù)中與是同一函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、對應關系等知識確定正確答案.【詳解】A選項，的定義域是，的定義域是，所以不是同一函數(shù).B選項，的定義域是，的定義域是，所以不是同一函數(shù).C選項，，兩個函數(shù)定義域、值域、對應關系完全相同，是同一函數(shù).D選項，的定義域是，的定義域是，所以不是同一函數(shù).故選：C14.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、特殊點的函數(shù)值確定正確答案.【詳解】由解得，所以的定義域為，，所以是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，由此排除BC選項.，由此排除D選項.故選：A15.已知函數(shù)的定義域為．命題：若當時，都有，則函數(shù)是D上的奇函數(shù)．命題：若當時，都有，則函數(shù)是D上的增函數(shù)．下列說法正確的是（）A.p、q都是真命題 B.p是真命題，q是假命題C.p是假命題，q是真命題 D.p、q都是假命題【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結合函數(shù)奇偶性與單調性的定義及判定方法，即可求解.【詳解】對于命題，令函數(shù)，則，此時，當函數(shù)不是奇函數(shù)，所以命題為假命題，對于命題，當時，都有，即時，不可能，滿足增函數(shù)的定義，所以命題為真命題.故選：C.16.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若，且，都有成立，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用構造函數(shù)法，根據(jù)函數(shù)的單調性、奇偶性來對不等式進行求解，從而確定正確答案.【詳解】設，由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以是偶函數(shù)，由于，且，都有成立，所以在上單調遞減，則在上單調遞增，由可知，①當時，有，，即，而，所以，解得.②當時，有，，即，所以，即或，不等式組的解集為空集，不等式組的解集為.綜上所述，取值范圍是.故選：B三?解答題（本大題滿分48分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17.已知全集，集合.（1）當時，求集合；（2）若，求實數(shù)取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解分式不等式得集合；（2）根據(jù)集合的定義確定不等式求解后可得．【小問1詳解】當時，則，集合.【小問2詳解】若，則或，則若.18.設常數(shù)，函數(shù).（1）若函數(shù)是奇函數(shù)，求實數(shù)的值；（2）當時，求函數(shù)的零點.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，列出等式求解即可；（2）由解方程即可；【小問1詳解】由題意知：函數(shù)的定義域為，是奇函數(shù)，，即，即，整理可得：.小問2詳解】若，則，，.19.某民營企業(yè)開發(fā)出了一種新產(chǎn)品，預計能獲得50萬元到1500萬元的經(jīng)濟收益.企業(yè)的人力資源部門研究對開發(fā)該軟件的團隊進行獎勵：獎金（單位：萬元）隨經(jīng)濟收益（單位：萬元）的增加而增加，且，獎金金額不超過20萬元.（1）若該公司采用函數(shù)，作為獎勵函數(shù)模型，試判斷該函數(shù)是否符合公司獎勵要求，并說明理由；（2）若該企業(yè)采用函數(shù)作為獎勵函數(shù)模型，試確定實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）滿足，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）利用單調性求出在上的值域，最大值與作比較可得答案；（2）利用單調性求出分段函數(shù)在上的值域，最大值與作比較可得答案.【小問1詳解】，因為在上是減函數(shù)，所以在上增函數(shù)，因為，所以，因，則函數(shù)滿足，獎金金額不超過20萬元，故滿足公司獎勵的要求；【小問2詳解】當時，易知是增函數(shù)，且當時，，當時，，即滿足獎金且不超過20萬的要求；故當時，符合企業(yè)獎勵要求.當時，函數(shù)是增函數(shù)，即對任意，且時，成立，故當且僅當，即時，此時函數(shù)在上是增函數(shù).由，得；進一步可知，，故成立，即當時，函數(shù)符合獎金且金額不超過20萬的要求.依據(jù)函數(shù)模型是符合企業(yè)的獎勵要求，即此函數(shù)為增函數(shù)，于是，有，解得.綜上，所求實數(shù)的取值范圍是.20.已知.（1）當時，解關于的不等式；（2）若有兩個零點，求的值；（3）若對任意，總有成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）把代入，分段求解一元二次不等式即得.（2）求出函數(shù)并化成分段函數(shù)，探討其性質并確定零點求出.（3）把問題轉化為求區(qū)間上的最大、最小值，進而建立不等式求出范圍.【小問1詳解】當時，，當時，由，得，解得；當時，由，得，解得或，則，所以不等式的解集為.【小問2詳解】函數(shù)，當時，的對稱軸為，當時，的對稱軸為，因此在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，而有兩個零點，則，即，所以.【小問3詳解】依題意，當時，，當時，函數(shù)在上單調遞增，，解得，矛盾；當時，即時，，，則，解得，因此；當，即時，，，解得，因此，所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】思路點睛：涉及分段函數(shù)解不等式問題，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.21.已知函數(shù)，若對于其定義域中任意給定的實數(shù)，都有，就稱函數(shù)為“JC函數(shù)”.（1）已知，判斷是否是“JC函數(shù)”，并說明理由：（2）已知是定義在上的“JC函數(shù)”，且在上是嚴格增函數(shù)，判定并證明在上的單調性；（3）若是“JC函數(shù)”，且定義域為，已知時，，求函數(shù)的解析式并指出方程是否有正整數(shù)解？請說明理由.【答案】（1）不是，理由見解析（2）單調遞增，證明見解析（3）沒有，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)“JC函數(shù)”的定義即可判斷.（2）利用函數(shù)單調性的判斷方法設，得到，