Discretetimesignalsandsystemanalysisinfrequencydomain(z-Transform&FT)(z變換與傅立葉變換）

2.5z-TransformsofSeries

1.DefinitionofZtransform(ZT)（doublesides）Zisacomplexvariable對比上面兩個式子發(fā)現(xiàn):此式表明:單位圓上的z變換就是序列的FT.如果知道序列的ZT,根據(jù)上式,可以很快在求出它的FT,其條件是ROC中包含單位圓Forexample:Thepoleisz=1,whichmeansZTisinvalidinunitcircleandsotheFTisinvalideither.butifweuseaimpulsefunction,it’sFTcanbedenotedasTable2.3.2shows.

singlesidez-transformisdefinedas:ConditionofZ-transformTransferfunction（傳遞函數(shù),系統(tǒng)函數(shù)）ofthefilter(orsystem)：表征系統(tǒng)的復(fù)頻域特性,

(z變換的性質(zhì))（1）Linearityproperty(線性性質(zhì)）:

（2）Delayproperty（時延性）:

2.PropertiesofZ-transform（3）Sequencemultipliedby：

（序列乘以）（4）Sequencemultipliedbyn

（序列乘以n

）（時域卷積性質(zhì)）y(n)=h(n)*x(n)Y(z)=H(z)X(z)（5）Convolutionpropertyinthetime-domain:（5）Conjugateofcomplexsequence(復(fù)數(shù)取共軛)（6）initialvaluetheorem(初值定理)Isacausalsequence,then:（7）finalvaluetheorem(終值定理)Isacausalsequence,exceptoneone-orderpoleinz=1,otherpoleslieinsidetheunitcircle,then:（8）Complexconvolutiontheorem(復(fù)卷積定理)（9）ParsevaltheoremZ變量取值收斂域一般用環(huán)狀表示

3.RegionofConvergence(收斂域ROC)Z變量取值的域:

ForExamples:|z|>a|z|<a2.5.2序列特性對收斂域影響1、有限長序列。主要注意0點(diǎn)與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。其它的點(diǎn)都收斂.對于n1<n<n2;2、右序列。3、左序列。4、雙邊序列。對因果和右邊序列

ROC>a

對逆因果和左邊序列

ROC<a對雙邊序列

b<ROC<a

對有限信號（序列）Radius半徑(圓外)(圓內(nèi))(圓環(huán)內(nèi))(全Z平面)Causalsignalsanti-causalityMixedsignals4.Inversez-TransformX(z)anditsROCuniquex(n)

（部分分式展開法）thePartialFractionExpansionMethod:IZTN(z)thenumeratorpolynomial

分子多項(xiàng)式D(z)thedenominatorpolynomial

分母多項(xiàng)式PipolesofX(z)orzerosofD(z)X(z)的極點(diǎn)或D(z)的零點(diǎn)

如果分母多項(xiàng)式的階次大于分子多項(xiàng)式的階次，則：單極點(diǎn)時，部分分式展開項(xiàng)的系數(shù)Ai為:hereA0=X(z)|z=0如果分母多項(xiàng)式的階次等于分子多項(xiàng)式的階次，則Quotient商remainder余數(shù)

如果分母多項(xiàng)式的階次小于分子多項(xiàng)式，則用長除法，得IfthepolesofX(z)arethecomplex-conjugatepairs:共軛復(fù)數(shù)左邊序列：Z的升冪排列右邊序列：Z的降冪排列(正冪）長除法:page50ImportantZTofseriesPage51

Example:描述某系統(tǒng)的差分方程為y(n)-4y(n-1)+3y(n-2)=f(n-1)+2f(n-2)試求系統(tǒng)函數(shù)和沖激響應(yīng)。解：等兩端取z變換，得所以則沖激響應(yīng)為N階差分方程：Solvedifferenceequationwith

z-Transform（差分方程的Z域求解）Methodtosolvedifferenceequation:Method1:采用雙邊Z變換（無初始狀態(tài)或零初始狀態(tài)）Method2:采用單邊Z變換（有初始狀態(tài)）解：等式兩端取單邊z變換，得例y(n)-ay(n-1)=u(n),y(-1)=1,

試求y(n)。解：例：已知下面的系統(tǒng)函數(shù)，求系統(tǒng)的差分方程。2.6離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)：頻率響應(yīng)：單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)(傳輸函數(shù))穩(wěn)定性：（穩(wěn)定的系統(tǒng)收斂域包括單位圓）1、零極點(diǎn)分布對系統(tǒng)因果、穩(wěn)定性的影響：離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：

TheROCofH(z)containtheunitcircle(單位圓)unitcircleunitcircleunitcircle

Causality(因果性)：inthez-domain因果、穩(wěn)定系統(tǒng)：H（z）的收斂域?yàn)椋海≧OC包含單位圓且極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)）2、利用零極點(diǎn)分布確定系統(tǒng)的頻率特性：位于原點(diǎn)的零極點(diǎn)不影響只影響設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定,將z=e^jw代入上式相量相減的矢量幾何表示法:從Cr

單位圓上的e^jw零點(diǎn)矢量極點(diǎn)矢量B為單位圓上的一點(diǎn),對應(yīng)jw的角度,Cr是零點(diǎn),dr是極點(diǎn)單位圓附近的零點(diǎn)使得分子變小，形成波谷，越靠近單位圓，波谷越低極點(diǎn)使形成波峰，極點(diǎn)越靠近單位圓，波峰越尖銳。例1：TheshapeofthespectrumX()isaffectedbythepole/zeropatternofthez-transformX(z).zerodippolepeak|X()|0ωωω1φ1

2.6TransferfunctionsEquivalentDescriptionsofDigitalFilters?systemfunctionH(z)（傳遞函數(shù)）?Frequencyresponse/transferfunctionH()（頻率響應(yīng)）?Blockdiagramrealizationandsampleprocessingalgorithm（方框圖及采樣算法描述）?

I/Odifferenceequation（輸入輸出差分方程）?Pole/zeropattern（零極點(diǎn)描述）?Impulseresponseh(n)（沖激響應(yīng)）?I/Oconvolutionalequation（卷積）systemfunctionH(z)impulseresponseh(n)I/Oconvolutionalequationpole/zeropatternI/Odifferenceequation(s)filterdesignmethodfrequencyresponseTransferfunctionH()block-diagramrealizationsampleprocessingfilterdesignspecifications

2.7Pole/ZeroDesigns設(shè)某一離散因果穩(wěn)定系統(tǒng)有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。0<R<11pp*z-plane-ω0ω0Weobtainthetransferfunction:Wherea1=-2Rcosω0,a2=R2.If|H(ω0)|=1,thenResonator諧振器3-dBwidth3分貝帶寬1/210

ωω0

/2

?

NotchandCombFilters|H(ω)|2ω0

陷波器梳狀濾波器polezerounitcircleunitcircle

2.8z變換與拉氏變換的關(guān)系

1.連續(xù)信號的FT與STFTST(S的收斂域包含虛軸)經(jīng)過采樣的信號為：2.LT與ZT關(guān)系則從拉氏變換到z變換是單值映射，從z到s域是多值映射關(guān)系。連續(xù)信號的ST與離散信號ZTRelationshipbetweenSplaneandZplaneSplaneZplane虛軸（σ=0）（r=1）單位圓左半平面（r<1）單位圓內(nèi)右半平面（r>1）單位圓外

從S到Z是單值映射，從z到s域是多值映射關(guān)系。σjΩZTπ/T-π/T3π/TSTR=eσT=1

forthewholeplane

multi-valuedmapping多值映射信號及系統(tǒng)的分析方法:時域分析法頻域分析法模擬系統(tǒng):信號:連續(xù)變量時間t的函數(shù)來表示系統(tǒng):微分方程描述分析方法:LaplacetransformandFouriertransformgetafrequencydomainfunction.

2.1Fouriertransformof

discrete-timesignal(FT)Fouriertransformof

discrete-timesignal(FT)離散系統(tǒng):信號:用序列來表示,自變量取整數(shù),其它時刻無定義.系統(tǒng):用差分方程描述分析方法:Z變換或FT.注:以后本書中的FT指的是離散序列的Fouriertransform.

（離散時間信號的傅立葉變換）DefinitionofFTx(n)——discrete-timesignal——Fouriertransformofdiscrete-timesignal(FT)（相對角頻率，數(shù)字角頻率）(FT)從采樣的信號拉氏變換或z變換，不難得出：（令，）離散時間信號的傅立葉變換的定義：(FT)Condition:(IFT)Example1:page291、FT(序列FT)的周期性：

PropertiesofFT(n&M

areintegers)時域頻域連續(xù)非周期離散周期周期離散序列的傅立葉變換是頻率ω的周期函數(shù)，周期為2。ω=±，±3：序列的最高頻率ω=0,±2，±4：直流分量分析域：[-，]或[0，2]對比ω?2ππ-πΩ?ΩsΩs/2-Ωs/2????X(jΩ)ΩΩm-Ωm3、時移與頻移性質(zhì):4、時域卷積定理2、線性性質(zhì)5、頻域卷積定理

6、對稱性：序列的共軛對稱:設(shè)有實(shí)偶虛奇序列的共軛反對稱:設(shè)有（實(shí)奇、虛偶）一般實(shí)序列一般序列偶序列奇序列共軛對稱序列共軛反對稱序列對于頻域函數(shù)X(),也有類似的結(jié)論：其中共軛對稱共軛反對稱而（a）序列分成實(shí)部與虛部時:其中顯然，其實(shí)部是的偶函數(shù)，虛部是的奇函數(shù)，符合共軛對稱的定義。再看符合共軛反對稱的定義。（b）序列分成共軛對稱與共軛非對稱時:其中

證明：所以

實(shí)因果序列h(n)，其FT只有共軛對稱部分實(shí)偶虛奇幅度函數(shù)（ω的偶函數(shù)）相位函數(shù)（是ω的奇函數(shù)）TableofFTPage352.3周期序列的離散付里葉級數(shù)因?yàn)橹芷谛蛄性跁r間域內(nèi)不是絕對可和的,即:因此周期序列的FT不存在。但是對于周期性函數(shù)，可以展開成FS（FourierSeries）對應(yīng)的周期復(fù)信號的Fourier級數(shù)：連續(xù)時間的周期實(shí)信號表示：連續(xù)時間Fourier級數(shù)是以N為周期的周期序列：這里：K表示諧波次數(shù)K次諧波強(qiáng)度傅立葉級數(shù)系數(shù)同樣可得：X(n)傅立葉級數(shù)將周期序列分解成N次諧波所以可以得到一個變換對DFS：Wecangettwographicsofthisproblem.1:periodicdiscretetimeseriesinN=8.2:discretespectrumlines.Comparision:1:FTofpage29,continousspectrum

非周期信號的譜型是連續(xù)的.2:FSofpage37,discretespectrum

周期信號的譜型是離散的.Example1:page36FourierTransformofPeriodicSeries模擬系統(tǒng)中:對于其FT是在處的沖擊函數(shù):離散系統(tǒng)中:對于周期為有理數(shù),與模擬系統(tǒng)具有相同的形式.因?yàn)?為在處的單位沖擊函數(shù)Example2and3

page39FourierTransformofPeriodicSeriesAttention:1:DifferenceofDFSandFT.Thiscanbeidentifiedbetweenabovetwoequations.Unit,amplitude….2:Differencebetweenunitimpulseseriesandunitimpulsefunction.3:thecommonpropertiesofDFSandFT.