深圳金碧實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級上冊壓軸題數(shù)學(xué)模擬試卷及答案一、壓軸題1．已知在中，，點(diǎn)在上，邊在上，在中，邊在直線上，；（1）如圖1，求的度數(shù)；（2）如圖2，將沿射線的方向平移，當(dāng)點(diǎn)在上時，求度數(shù)；（3）將在直線上平移，當(dāng)以為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時，直接寫出度數(shù)．解析：（1）60°；（2）15°；（3）30°或15°【解析】【分析】（1）利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得出，即可得出結(jié)論；（2）先利用三角形的內(nèi)角和定理求出，即可得出結(jié)論；（3）分和兩種情況求解即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1），，，，，；（2）由（1）知，，，，，；（3）當(dāng)時，如圖3，由（1）知，，；當(dāng)時，如圖4，，點(diǎn)，重合，，，由（1）知，，，即當(dāng)以、、為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時，度數(shù)為或．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角的和差的計算，求出是解本題的關(guān)鍵．2．探究發(fā)現(xiàn)：如圖①，在中，內(nèi)角的平分線與外角的平分線相交于點(diǎn)．（1）若，則；若，則；（2）由此猜想：與的關(guān)系為(不必說明理由)．拓展延伸：如圖②，四邊形的內(nèi)角與外角的平分線相交于點(diǎn)，．（3）若，，求的度數(shù)，由此猜想與，之間的關(guān)系，并說明理由．解析：（1）40°25°；（2）(或)（3）=【解析】【分析】（1）先根據(jù)兩角平分線寫出對應(yīng)的等式關(guān)系，再分別寫出兩個三角形內(nèi)角和的等式關(guān)系，最后聯(lián)立兩等式化解，將的角度帶入即可求解；（2）由（1）可得，即可求解；（3）在與的平分線相交于點(diǎn)，可知，又因?yàn)?，兩直線平行內(nèi)錯角相等，得出，再根據(jù)三角形一外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得出，再由四邊形的內(nèi)角和定理得出，最后在中：，代入整理即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）由題可知：BE為的角平分線，CE為的角平分線，=2=2，=2，，三角形內(nèi)角和等于，在中：，即：，①，在中：，即：，②，綜上所述聯(lián)立①②，由①-②×2可得：，，，，當(dāng)，則；當(dāng)，則；故答案為，；（2）由（1）知：(或)；（3）∵與的平分線相交于點(diǎn)，∴，，又∵，∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵是的一個外角，∴（三角形一外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和），在四邊形中，四邊形內(nèi)角和為，，，∴，∴①，∴，即，在中：，，由上可得：，②，又∵，∴，，，由①②可得，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用和角平分線的定義，能正確運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算是解此題的關(guān)鍵，注意三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．3．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，的內(nèi)角的平分線和外角的平分線相交于點(diǎn)。①當(dāng)時，則②當(dāng)時，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）﹔（2）應(yīng)用：如圖2，直線與直線垂直相交于點(diǎn)，點(diǎn)在射線上運(yùn)動（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），點(diǎn)在射線上運(yùn)動（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），延長至，已知的角平分線與的角平分線所在的直線相交于，在中，如果一個角是另一個角的倍，請直接寫出的度數(shù).解析：（1）①25°；②；（2）．【解析】【分析】（1）①利用外角和性質(zhì)∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠OCD＝∠BOC＋∠OBC，再利用角平分線的定義進(jìn)行等量代換即可；②與①同理可得；（2）根據(jù)題意分情況進(jìn)行討論，用到（1）的結(jié)論計算即可【詳解】（1）①∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠OCD＝∠BOC＋∠OBC，∵OB、OC分別平分∠ABC、∠ACD，∴∠ACD＝2∠OCD，∠ABC＝2∠OBC，∴2∠OCD＝2∠OBC＋∠A，∴∠A＝2∠BOC，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝∠A＝25°，故填：25°；②，且平分平分（2）的角平分線與的角平分線所在的直線相交于，符合題意的情況有兩種：①根據(jù)（1）可知：②根據(jù)（1）可知：【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角和的性質(zhì)、角平分線的定義，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想是關(guān)鍵．4．已知：MN∥PQ，點(diǎn)A，B分別在MN，PQ上，點(diǎn)C為MN，PQ之間的一點(diǎn)，連接CA，CB．（1）如圖1，求證：∠C=∠MAC+∠PBC；（2）如圖2，AD，BD，AE，BE分別為∠MAC，∠PBC，∠CAN，∠CBQ的角平分線，求證：∠D+∠E=180°；（3）在（2）的條件下，如圖3，過點(diǎn)D作DA的垂線交PQ于點(diǎn)G，點(diǎn)F在PQ上，∠FDA=2∠FDB，F(xiàn)D的延長線交EA的延長線于點(diǎn)H，若3∠C=4∠E，猜想∠H與∠GDB的倍數(shù)關(guān)系并證明．解析：（1）見解析；（2）見解析；（3）猜想：∠H=3∠GDB，證明見解析．【解析】【分析】（1）作輔助線：過C作EF∥MN，根據(jù)平行的傳遞性可知這三條直線兩兩平行，由平行線的性質(zhì)得到內(nèi)錯角相等∠MAC=∠ACF，∠BCF=∠PBC，再進(jìn)行角的加和即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線線定理得知，利用平角為180°得到∠DAE=90°，同理得，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和180°，得出結(jié)論；（3）由（1）（2）中的結(jié)論進(jìn)行等量代換得到3∠ADB=2∠E，并且兩角的和為180°，由此得到兩個角的度數(shù)分別為72°和108°，利用角的和與差得到∠HDA=36°，∠H=54°，由此得到倍數(shù)關(guān)系．【詳解】（1）如圖：過C作EF∥MN，∵M(jìn)N∥PQ，∴MN∥EF∥PQ，∴∠MAC=∠ACF，∠BCF=∠PBC，∴∠ACF+∠BCF=∠MAC+∠PBC，即∠ACB=∠MAC+∠PBC．（2）∵AD，AE分別為∠MAC，∠CAN的角平分線，∴，∴，于是∠DAE=90°同理可得：，由（1）可得：∵．（3）猜想：∠H=3∠GDB.理由如下：由（1）可知：，∵3∠C=4∠E，∴6∠ADB=4∠E，∴3∠ADB=2∠E，∵∠ADB+∠E=180°，∴∠ADB=72°，∠E=108°，∵DG⊥DA，∴∠GDB=18°，∵∠FDA=2∠FDB，∴∠ADF=144°，∴∠HDA=36°，∵DA⊥AE，∴∠H=54°，∴∠H=3∠GDB．【點(diǎn)睛】考查平行線中角度的關(guān)系，學(xué)生要熟悉掌握平行線的性質(zhì)以及角平分線定理，結(jié)合角的和與差進(jìn)行計算，本題的關(guān)鍵是平行線的性質(zhì)．5．在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，我們常常會利用一些變形技巧來簡化式子，解答問題．材料一：在解決某些分式問題時，倒數(shù)法是常用的變形技巧之一，所謂倒數(shù)法，即把式子變成其倒數(shù)形式，從而運(yùn)用約分化簡，以達(dá)到計算目的．例：已知：，求代數(shù)式x2+的值．解：∵，∴＝4即＝4∴x+＝4∴x2+＝（x+）2﹣2＝16﹣2＝14材料二：在解決某些連等式問題時，通常可以引入?yún)?shù)“k”，將連等式變成幾個值為k的等式，這樣就可以通過適當(dāng)變形解決問題．例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）則根據(jù)材料回答問題：（1）已知，求x+的值．（2）已知，（abc≠0），求的值．（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值．解析：（1）5；（2）；（3）【解析】【分析】（1）仿照材料一，取倒數(shù)，再約分，利用等式的性質(zhì)求解即可；（2）仿照材料二，設(shè)＝＝＝k（k≠0），則a＝5k，b＝2k，c＝3k，代入所求式子即可；（3）本題介紹兩種解法：解法一：（3）解法一：設(shè)＝＝＝（k≠0），化簡得：①，②，③，相加變形可得x、y、z的代入＝中，可得k的值，從而得結(jié)論；解法二：取倒數(shù)得：＝＝，拆項(xiàng)得，從而得x＝，z＝，代入已知可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵＝，∴＝4，∴x﹣1+＝4，∴x+＝5；（2）∵設(shè)＝＝＝k（k≠0），則a＝5k，b＝2k，c＝3k，∴＝＝＝；（3）解法一：設(shè)＝＝＝（k≠0），∴①，②，③，①+②+③得：2（）＝3k，＝k④，④﹣①得：＝k，④﹣②得：，④﹣③得：k，∴x＝，y＝，z＝代入＝中，得：＝，，k＝4，∴x＝，y＝，z＝，∴xyz＝＝＝；解法二：∵，∴，∴，∴，∴，將其代入中得：＝＝，y＝，∴x＝，z＝＝，∴xyz＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查了以新運(yùn)算的方式求一個式子的值，題目中涉及了求一個數(shù)的倒數(shù)，約分，等式的基本性質(zhì)，求代數(shù)式的值，解決本題的關(guān)鍵是正確理解新運(yùn)算的內(nèi)涵，確定一個數(shù)的倒數(shù)并能夠根據(jù)等式的基本性質(zhì)將原式變?yōu)槟軌蜻M(jìn)一步運(yùn)算的式子.6．在△ABC中，AB=AC，D是直線BC上一點(diǎn)，以AD為一條邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在BC延長線上移動時，若∠BAC=40°，則∠ACE=，∠DCE=，BC、DC、CE之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）設(shè)∠BAC=α，∠DCE=β．①當(dāng)點(diǎn)D在BC延長線上移動時，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上（不與B，C兩點(diǎn)重合）移動時，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論．（3）當(dāng)CE∥AB時，若△ABD中最小角為15°，試探究∠ACB的度數(shù)（直接寫出結(jié)果，無需寫出求解過程）．解析：（1）70°，40°，BC+DC=CE；（2）①α=β；②當(dāng)點(diǎn)D在BC上移動時，α=β或α+β=180°；（3）∠ACB=60°．【解析】【分析】（1）證△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)求出即可；（2）①證△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可；②分三種情況：（Ⅰ）當(dāng)D在線段BC上時，證明△ABD≌△ACE（SAS），則∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE，推出∠DAE+∠DCE=180°，即α+β=180°；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC反向延長線上時，α=β，同理可證明△ABD≌△ACE（SAS），則∠ABD=∠ACE，推出∠BAC=∠DCE，即α=β；（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，由①得α=β；（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上或在線段BC反向延長線上移動時，α=β，由CE∥AB，得∠ABC=∠DCE，推出∠ABC=∠BAC，易證∠ABC=∠ACB=∠BAC，則△ABC是等邊三角形，得出∠ACB=60°；當(dāng)D在線段BC上時，α+β=180°，由CE∥AB，得∠ABC+∠DCE=180°，推出∠ABC=∠BAC，易證∠ABC=∠ACB=∠BAC，則△ABC是等邊三角形，得出∠ACB=60°．【詳解】（1）如圖1所示：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE．在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B（180°﹣40°）=70°，BD=CE，∴BC+DC=CE．∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE．∵∠BAC=40°，∴∠DCE=40°．故答案為：70°，40°，BC+DC=CE；（2）①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上移動時，α與β之間的數(shù)量關(guān)系是α=β．理由如下：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE．在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B=∠ACE．∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE．∵∠BAC=α，∠DCE=β，∴α=β；②分三種情況：（Ⅰ）當(dāng)D在線段BC上時，α+β=180°，如圖2所示．理由如下：同理可證明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE．∵∠ADC+∠ADB=180°，∴∠ADC+∠AEC=180°，∴∠DAE+∠DCE=180°．∵∠BAC=∠DAE=α，∠DCE=β，∴α+β=180°；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC反向延長線上時，α=β，如圖3所示．理由如下：同理可證明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE．∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠ABD=∠ACD+∠BAC，∴∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠BAC，∴∠BAC=∠DCE．∵∠BAC=α，∠DCE=β，∴α=β；（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，如圖1所示，α=β；綜上所述：當(dāng)點(diǎn)D在BC上移動時，α=β或α+β=180°；（3）∠ACB=60°．理由如下：∵當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上或在線段BC反向延長線上移動時，α=β，即∠BAC=∠DCE．∵CE∥AB，∴∠ABC=∠DCE，∴∠ABC=∠BAC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°；∵當(dāng)D在線段BC上時，α+β=180°，即∠BAC+∠DCE=180°．∵CE∥AB，∴∠ABC+∠DCE=180°，∴∠ABC=∠BAC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°；綜上所述：當(dāng)CE∥AB時，若△ABD中最小角為15°，∠ACB的度數(shù)為60°．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)和多邊形內(nèi)角和等知識．本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．某校七年級數(shù)學(xué)興趣小組對“三角形內(nèi)角或外角平分線的夾角與第三個內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系”進(jìn)行了探究．（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)P，∠A＝64°，則∠BPC＝；（2）如圖2，△ABC的內(nèi)角∠ACB的平分線與△ABC的外角∠ABD的平分線交于點(diǎn)E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如圖3，∠CBM、∠BCN為△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)Q，請你寫出∠BQC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（4）如圖4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)Q，∠A=64°，∠CBQ，∠BCQ的平分線交于點(diǎn)P，則∠BPC=゜，延長BC至點(diǎn)E，∠ECQ的平分線與BP的延長線相交于點(diǎn)R，則∠R=゜．解析：（1）122°；（2）；（3）；（4）119，29；【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和角平分線的定義；（2）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，用與表示出，再利用與表示出，于是得到結(jié)論；（3）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出與，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（4）根據(jù)（1），（3）的結(jié)論可以得出∠BPC的度數(shù)；根據(jù)（2）的結(jié)論可以得到∠R的度數(shù)．【詳解】解：（1）、分別平分和，，，，，，，，故答案為：；（2）如圖2示，和分別是和的角平分線，，，又是的一外角，，，是的一外角，；（3），，，，，結(jié)論．（4）由（3）可知，，再根據(jù)（1），可得；由（2）可得：;故答案為：119，29．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．8．已知ABC，P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（A、B、C、P中任意三點(diǎn)都不在同一直線上）．連接PB、PC，設(shè)∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y(tǒng)°．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在ABC內(nèi)時，①若y＝70，s＝10，t＝20，則x＝；②探究s、t、x、y之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你得到的結(jié)論．（2）當(dāng)點(diǎn)P在ABC外時，直接寫出s、t、x、y之間所有可能的數(shù)量關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形．解析：（1）①100；②x=y+s+t；（2）見詳解．【解析】【分析】（1）①利用三角形的內(nèi)角和定理即可解決問題；②結(jié)論：x=y+s+t．利用三角形內(nèi)角和定理即可證明；（2）分6種情形分別求解即可解決問題．【詳解】解：（1）①∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∵∠PBA=10°，∠PCA=20°，∴∠PBC+∠PCB=80°，∴∠BPC=100°，∴x=100，故答案為：100．②結(jié)論：x=y+s+t．理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠A+∠PBA+∠PCA=∠BPC，∴x=y+s+t．（2）s、t、x、y之間所有可能的數(shù)量關(guān)系：如圖1：s+x=t+y；如圖2：s+y=t+x；如圖3：y=x+s+t；如圖4：x+y+s+t=360°；如圖5：t=s+x+y；如圖6：s=t+x+y；【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題．9．如圖（1），AB＝4，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3．點(diǎn)P在線段AB上以1的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動．它們運(yùn)動的時間為（s）．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，當(dāng)＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為，是否存在實(shí)數(shù)，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的、的值；若不存在，請說明理由．解析：（1）全等，垂直，理由詳見解析；（2）存在，或【解析】【分析】（1）在t=1的條件下，找出條件判定△ACP和△BPQ全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和直角三角形的兩個銳角互余的性質(zhì)，可證∠CPQ=90°，即可判斷線段PC和線段PQ的位置關(guān)系;（2）本題主要在動點(diǎn)的條件下，分情況討論，利用三角形全等時對應(yīng)邊相等的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.【詳解】(1)當(dāng)t=1時，AP=BQ=1,BP=AC=3,又∠A=∠B=90°，在△ACP和△BPQ中，∴△ACP≌△BPQ(SAS).∴∠ACP=∠BPQ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90*.∴∠CPQ=90°，即線段PC與線段PQ垂直；(2)①若△ACP≌△BPQ，則AC=BP，AP=BQ，解得;②若△ACP≌△BQP，則AC=BQ，AP=BP，解得：綜上所述,存在或使得△ACP與△BPQ全等.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等與動點(diǎn)問題，熟練掌握三角形全等的性質(zhì)與判定定理，是解決本題的關(guān)鍵.10．請按照研究問題的步驟依次完成任務(wù)．（問題背景）（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說理證明∠A+∠B=∠C+∠D．（簡單應(yīng)用）（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=20°，∠ADC=26°，求∠P的度數(shù)（可直接使用問題（1）中的結(jié)論）（問題探究）（3）如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P的度數(shù)為；（拓展延伸）（4）在圖4中，若設(shè)∠C=x，∠B=y，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為（用x、y表示∠P）；（5）在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論．解析：（1）見解析；（2）∠P=23o；（3）∠P=26o；（4）∠P=；（5）∠P=．【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；（2）如圖2，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠1=∠2，∠3=∠4，列方程組即可得到結(jié)論；（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解決問題；（4）根據(jù)題意得出∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，再結(jié)合∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，得到y(tǒng)+（∠CAB-∠CAB）=∠P+（∠BDC-∠CDB），從而可得∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB=；（5）根據(jù)題意得出∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，再結(jié)合AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，得到∠BAD+∠P=[∠BCD+（180°-∠BCD）]+∠D，所以∠P=90°+∠BCD-∠BAD+∠D=.【詳解】解：（1）證明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）解：如圖2，∵AP、CP分別平分∠BAD，∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，由（1）的結(jié)論得：，①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=23°；（3）解：如圖3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°；故答案為：26°；（4）由題意可得：∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，即y+∠CAB=x+∠BDC，即∠CAB-∠BDC=x-y，∠B+∠BAP=∠P+∠PDB，即y+∠BAP=∠P+∠PDB，即y+（∠CAB-∠CAP）=∠P+（∠BDC-∠CDP），即y+（∠CAB-∠CAB）=∠P+（∠BDC-∠CDB），∴∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB=y+（∠CAB-∠CDB）=y+（x-y）=故答案為：∠P=；（5）由題意可得：∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，∴∠B-∠D=∠BCD-∠BAD，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠BAP=∠DAP，∠PCE=∠PCB，∴∠BAD+∠P=（∠BCD+∠BCE）+∠D，∴∠BAD+∠P=[∠BCD+（180°-∠BCD）]+∠D，∴∠P=90°+∠BCD-∠BAD+∠D=90°+（∠BCD-∠BAD）+∠D=90°+（∠B-∠D）+∠D=，故答案為：∠P=.【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用方程組的思想思考問題，屬于中考常考題型．11．如圖，在等邊中，線段為邊上的中線．動點(diǎn)在直線上時，以為一邊在的下方作等邊，連結(jié)．（1）求的度數(shù)；（2）若點(diǎn)在線段上時，求證：；（3）當(dāng)動點(diǎn)在直線上時，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，試判斷是否為定值？并說明理由．解析：（1）30°；（2）證明見解析；（3）是定值，.【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以直接得出結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出，，，，由等式的性質(zhì)就可以，根據(jù)就可以得出；（3）分情況討論：當(dāng)點(diǎn)在線段上時，如圖1，由（2）可知，就可以求出結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時，如圖2，可以得出而有而得出結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時，如圖3，通過得出同樣可以得出結(jié)論．【詳解】（1）是等邊三角形，．線段為邊上的中線，，．（2）與都是等邊三角形，，，，，．在和中，；（3）是定值，，理由如下：①當(dāng)點(diǎn)在線段上時，如圖1，由（2）可知，則，又，，是等邊三角形，線段為邊上的中線平分，即．②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時，如圖2，與都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，同理可得：，．③當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時，與都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，同理可得：，∵，．綜上，當(dāng)動點(diǎn)在直線上時，是定值，．【點(diǎn)睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形三線合一的性質(zhì)，解題中注意分類討論的思想解題.12．閱讀并填空：如圖，是等腰三角形，，是邊延長線上的一點(diǎn)，在邊上且聯(lián)接交于，如果，那么，為什么？解：過點(diǎn)作交于所以（兩直線平行，同位角相等）（________）在與中所以，（________）所以（________）因?yàn)椋ㄒ阎┧裕╛_______）所以（等量代換）所以（________）所以解析：見解析【解析】【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到角的關(guān)系，然后證明，寫出證明過程和依據(jù)即可．【詳解】解：過點(diǎn)作交于，∴（兩直線平行，同位角相等），∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），在與中，∴，（）∴（全等三角形對應(yīng)邊相等）∵（已知）∴（等邊對等角）∴（等量代換）∴（等角對等邊）∴；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)正確找到證明三角形全等的條件，從而進(jìn)行證明.13．探究：如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若∠B＝30°，則∠ACD的度數(shù)是度；拓展：如圖②，∠MCN＝90°，射線CP在∠MCN的內(nèi)部，點(diǎn)A、B分別在CM、CN上，分別過點(diǎn)A、B作AD⊥CP、BE⊥CP，垂足分別為D、E，若∠CBE＝70°，求∠CAD的度數(shù)；應(yīng)用：如圖③，點(diǎn)A、B分別在∠MCN的邊CM、CN上，射線CP在∠MCN的內(nèi)部，點(diǎn)D、E在射線CP上，連接AD、BE，若∠ADP＝∠BEP＝60°，則∠CAD+∠CBE+∠ACB＝度．解析：探究：30；（2）拓展：20°；（3）應(yīng)用：120【解析】【分析】（1）利用直角三角形的性質(zhì)依次求出∠A，∠ACD即可；（2）利用直角三角形的性質(zhì)直接計算得出即可；（3）利用三角形的外角的性質(zhì)得出結(jié)論，直接轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)論．【詳解】（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°；故答案為：30，（2）∵BE⊥CP，∴∠BEC＝90°，∵∠CBE＝70°，∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝20°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝70°，∵AD⊥CP，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝20°；（3）∵∠ADP是△ACD的外角，∴∠ADP＝∠ACD+∠CAD＝60°，同理，∠BEP＝∠BCE+∠CBE＝60°，∴∠CAD+∠CBE+∠ACB＝∠CAD+∠CBE+∠ACD+∠BCE＝（∠CAD+∠ACD）+（∠CBE+∠BCE）＝120°，故答案為120．【點(diǎn)睛】此題是三角形的綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，垂直的定義，解本題的關(guān)鍵是充分利用直角三角形的性質(zhì)：兩銳角互余，是一道比較簡單的綜合題．14．如圖1，在等邊△ABC中，E、D兩點(diǎn)分別在邊AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于點(diǎn)F．（1）求∠AFE的度數(shù)；（2）過點(diǎn)A作AH⊥CE于H，求證：2FH+FD=CE；（3）如圖2，延長CE至點(diǎn)P，連接BP，∠BPC=30°，且CF=CP，求的值．（提示：可以過點(diǎn)A作∠KAF=60°，AK交PC于點(diǎn)K，連接KB）解析：（1）∠AFE=60°；（2）見解析；（3）【解析】【分析】（1）通過證明得到對應(yīng)角相等，等量代換推導(dǎo)出；（2）由（1）得到，則在中利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，等量代換可得；（3）通過在PF上取一點(diǎn)K使得KF=AF，作輔助線證明和全等，利用對應(yīng)邊相等，等量代換得到比值.(通過將順時針旋轉(zhuǎn)60°也是一種思路.)【詳解】（1）解：如圖1中．∵為等邊三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，在和中，，∴（SAS），∴∠BCE=∠DAC，∵∠BCE+∠ACE=60°，∴∠DAC+∠ACE=60°，∴∠AFE=60°．（2）證明：如圖1中，∵AH⊥EC，∴∠AHF=90°，在Rt△AFH中，∵∠AFH=60°，∴∠FAH=30°，∴AF=2FH，∵，∴EC=AD，∵AD=AF+DF=2FH+DF，∴2FH+DF=EC．（3）解：在PF上取一點(diǎn)K使得KF=AF，連接AK、BK，∵∠AFK=60°，AF=KF，∴△AFK為等邊三角形，∴∠KAF=60°，∴∠KAB=∠FAC，在和中，，∴(SAS)，∴∠AKB=∠AFC=120°，∴∠BKE=120°﹣60°=60°，∵∠BPC=30°，∴∠PBK=30°，∴，∴，∵∴.【點(diǎn)睛】掌握等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)，及三角形全等的判定通過一定等量代換為本題的關(guān)鍵.15．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，，，C為AB的中點(diǎn)，P是線段AB上一動點(diǎn)，D是線段OA上一點(diǎn)，且，于E．（1）求的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，PE的值是否變化？若變化，說明理由；若不變，請求PE的值．（3）若，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．解析：（1）45°；（2）PE的值不變，PE=4，理由見詳解；（3）D(，0)．【解析】【分析】（1）根據(jù)，，得△AOB為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，即可求出∠OAB的度數(shù)；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠AOC=∠BOC=45°，OC⊥AB，再證明△POC≌△DPE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OC=PE，即可得到答案；（3）證明△POB≌△DPA，得到PA=OB=，DA=PB，進(jìn)而得OD的值，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】（1），，∴OA=OB=，∵∠AOB=90°，∴△AOB為等腰直角三角形，∴∠OAB=45°；（2）PE的值不變，理由如下：∵△AOB為等腰直角三角形，C為AB的中點(diǎn)，∴∠AOC=∠BOC=45°，OC⊥AB，∵PO=PD，∴∠POD=∠PDO，∵D是線段OA上一點(diǎn)，∴點(diǎn)P在線段BC上，∵∠POD=45°+∠POC，∠PDO=45°+∠DPE，∴∠POC=∠DPE，在△POC和△DPE中，，∴△POC?△DPE(AAS)，∴OC=PE，∵OC=AB=××=4，∴PE=4；（3）∵OP=PD，∴∠POD=∠PDO=(180°?45°)÷2=67.5°，∴∠APD=∠PDO?∠A=22.5°，∠BOP=90°?∠POD=22.5°，∴∠APD=∠BOP，在△POB和△DPA中，∴△POB≌△DPA(AAS)，∴PA=OB=，DA=PB，∴DA=PB=×-=8-，∴OD=OA?DA=-(8-)=，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，0)．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)定理，圖形與坐標(biāo)，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．二、選擇題16．如圖，已知線段AB的長度為a，CD的長度為b，則圖中所有線段的長度和為()A．3a+b B．3a-b C．a(chǎn)+3b D．2a+2b解析：A【解析】【分析】依據(jù)線段AB長度為a，可得AB=AC+CD+DB=a，依據(jù)CD長度為b，可得AD+CB=a+b，進(jìn)而得出所有線段的長度和．【詳解】∵線段AB長度為a，∴AB=AC+CD+DB=a，又∵CD長度為b，∴AD+CB=a+b，∴圖中所有線段的長度和為：AB+AC+CD+DB+AD+CB=a+a+a+b=3a+b，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了比較線段的長度和有關(guān)計算，主要考查學(xué)生能否求出線段的長度和知道如何數(shù)圖形中的線段．17．如圖，直線AB直線CD，垂足為O，直線EF經(jīng)過點(diǎn)O,若，則()A．35° B．45° C．55° D．125°解析：C【解析】【分析】根據(jù)對頂角相等可得：,進(jìn)而可得的度數(shù).【詳解】解：根據(jù)題意可得：，.故答案為：C.【點(diǎn)睛】本題考查的是對頂角和互余的知識，解題關(guān)鍵在于等量代換.18．根據(jù)等式的性質(zhì)，下列變形正確的是（）A．若2a＝3b，則a＝b B．若a＝b，則a+1＝b﹣1C．若a＝b，則2﹣＝2﹣ D．若，則2a＝3b解析：C【解析】【分析】利用等式的性質(zhì)對每個式子進(jìn)行變形即可找出答案．【詳解】解：A、根據(jù)等式性質(zhì)2，2a＝3b兩邊同時除以2得a＝b，原變形錯誤，故此選項(xiàng)不符合題意；B、根據(jù)等式性質(zhì)1，等式兩邊都加上1，即可得到a+＝b+1，原變形錯誤，故此選項(xiàng)不符合題意；C、根據(jù)等式性質(zhì)1和2，等式兩邊同時除以﹣3且加上2應(yīng)得2﹣＝2﹣，原變形正確，故此選項(xiàng)符合題意；D、根據(jù)等式性質(zhì)2，等式兩邊同時乘以6，3a＝2b，原變形錯誤，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等式的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握等式的性質(zhì)．運(yùn)用等式性質(zhì)1必須注意等式兩邊所加上的（或減去的）必須是同一個數(shù)或整式；運(yùn)用等式性質(zhì)2必須注意等式兩邊所乘的（或除的）數(shù)或式子不為0，才能保證所得的結(jié)果仍是等式．19．寧波港處于“一帶一路”和長江經(jīng)濟(jì)帶交匯點(diǎn)，地理位置得天獨(dú)厚．全年貨物吞吐量達(dá)9.2億噸，晉升為全球首個“9億噸”大港，并連續(xù)8年蟬聯(lián)世界第一寶座.其中9.2億用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是（）A． B． C． D．解析：A【解析】因?yàn)榭茖W(xué)記數(shù)法的表達(dá)形式為:,所以9.2億用科學(xué)記數(shù)法表示為:,故選A.點(diǎn)睛:本題主要考查科學(xué)記數(shù)法的表達(dá)形式,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表達(dá)形式.20．若關(guān)于的方程與的解相同，則的值為（）A． B． C． D．解析：D【解析】【分析】根據(jù)同解方程的定義，先求出x-2=0的解，再將它的解代入方程2k-3x=4，求得k的值．【詳解】解：∵方程2k-3x=4與x-2=0的解相同，∴x=2，把x=2代入方程2k-3x=4，得2k-6=4，解得k=5．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了同解方程的概念和方程的解法，關(guān)鍵是根據(jù)同解方程的定義，先求出x-2=0的解．21．如圖，已知在一條直線上，是銳角，則的余角是（）A． B．C． D．解析：C【解析】【分析】由圖知：∠1和∠2互補(bǔ)，可得∠1+∠2=180°，即（∠1+∠2）=90°①；而∠1的余角為90°-∠1②，可將①中的90°所表示的（∠1+∠2）代入②中，即可求得結(jié)果．【詳解】解：由圖知：∠1+∠2=180°，∴（∠1+∠2）=90°，∴90°-∠1=（∠1+∠2）-∠1=（∠2-∠1）．故選：C．【點(diǎn)睛】此題綜合考查余角與補(bǔ)角，難點(diǎn)在于將∠1+∠2=180°進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危瑥亩c∠1的余角產(chǎn)生聯(lián)系．22．已知線段AB的長為4，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，則線段AC的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4解析：B【解析】【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得AC的長．【詳解】解：由線段中點(diǎn)的性質(zhì)，得AC＝AB＝2．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用了線段中點(diǎn)的性質(zhì)．23．直線與相交得如圖所示的5個角，其中互為對頂角的是（）A．和 B．和 C．和 D．和解析：A【解析】【分析】兩條直線相交后所得的有公共頂點(diǎn)，且兩邊互為反向延長線的兩個角互為對頂角，據(jù)此逐一判斷即可．【詳解】A.和只有一個公共頂點(diǎn)，且兩邊互為反向延長線，是對頂角，符合題意，B.和兩邊不是互為反向延長線，不是對頂角，不符合題意，C.和沒有公共頂點(diǎn)，不是對頂角，不符合題意，D.和沒有公共頂點(diǎn)，不是對頂角，不符合題意，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查對頂角，兩條直線相交后所得的有公共頂點(diǎn)且兩邊互為反向延長線的兩個角叫做對頂角；熟練掌握對頂角的定義是解題關(guān)鍵.24．下列說法中正確的有（）A．連接兩點(diǎn)的線段叫做兩點(diǎn)間的距離B．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直C．對頂角相等D．線段AB的延長線與射線BA是同一條射線解析：C【解析】【分析】分別利用直線的性質(zhì)以及射線的定義和垂線定義分析得出即可．【詳解】A．連接兩點(diǎn)的線段的長度叫做兩點(diǎn)間的距離，錯誤；B．在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，錯誤；C．對頂角相等，正確；D．線段AB的延長線與射線BA不是同一條射線，錯誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了直線的性質(zhì)以及射線的定義和垂線的性質(zhì)，正確把握相關(guān)定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．、兩地相距160千米，甲車和乙車的平均速度之比為，兩車同時從地出發(fā)到地，乙車比甲車早到30分鐘，若求甲車的平均速度，設(shè)甲車平均速度為千米/小時，則所列方程是()A． B．C． D．解析：B【解析】【分析】甲車平均速度為4x千米/小時，則乙車平均速度為5x千米/小時，根據(jù)兩車同時從A地出發(fā)到B地，乙車比甲車早到30分鐘，列出方程即可得.【詳解】甲車平均速度為4x千米/小時，則乙車平均速度為5x千米/小時，由題意得－＝，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，弄清題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵.26．已知線段AB＝10cm，直線AB上有一點(diǎn)C，且