2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試題庫：統(tǒng)計(jì)與決策案例分析試題型考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、某連鎖超市希望了解其顧客的購買行為，以便優(yōu)化商品布局和營銷策略。為此，超市隨機(jī)收集了上周在一家分店購物的100名顧客的數(shù)據(jù)，包括顧客性別、年齡、受教育程度、每次購物金額、購物時(shí)間（上午/下午/晚上）和會(huì)員類型（會(huì)員/非會(huì)員）。初步分析顯示，男性顧客的平均購物金額略高于女性顧客，年輕顧客的購物金額波動(dòng)較大，會(huì)員顧客的購物頻率較高。請基于上述信息，運(yùn)用描述性統(tǒng)計(jì)方法分析該超市顧客的基本特征和購買行為模式。你可以選擇合適的圖表或統(tǒng)計(jì)量來展示你的分析結(jié)果，并簡要說明其特點(diǎn)。請進(jìn)一步思考，這些描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果可能暗示了哪些潛在的顧客細(xì)分市場？二、一家制藥公司研發(fā)了一種新型降壓藥，希望評估其療效。研究人員將參與試驗(yàn)的300名高血壓患者隨機(jī)分為兩組：一組服用新型降壓藥（實(shí)驗(yàn)組），另一組服用安慰劑（對照組）。試驗(yàn)持續(xù)了8周，記錄了兩組患者收縮壓和舒張壓的變化情況。初步統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，實(shí)驗(yàn)組患者的收縮壓平均降低了15mmHg，舒張壓平均降低了10mmHg，而對照組患者的收縮壓和舒張壓變化不大。請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)，以判斷新型降壓藥是否比安慰劑更有效。在進(jìn)行分析前，請說明你需要哪些額外的信息或做出哪些假設(shè)。請描述你的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、拒絕域和P值，并根據(jù)結(jié)果給出你的結(jié)論。你是否認(rèn)為該降壓藥在臨床應(yīng)用上具有實(shí)際意義？請簡要說明理由。三、某公司人力資源部門想要了解員工的工作滿意度和績效之間的關(guān)系。他們收集了200名員工的數(shù)據(jù)，包括工作滿意度評分（1-10分）、績效評分（根據(jù)公司考核體系得出）以及員工的年齡、部門（銷售/市場/生產(chǎn)）和任職年限。通過散點(diǎn)圖初步觀察發(fā)現(xiàn)，工作滿意度評分與績效評分之間存在一定的正相關(guān)關(guān)系。請構(gòu)建一個(gè)適當(dāng)?shù)幕貧w模型，分析工作滿意度對績效的影響，并解釋模型中各個(gè)系數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義。請?jiān)u估你的模型的擬合優(yōu)度，并討論可能影響模型解釋力的因素。基于你的回歸分析結(jié)果，公司可以采取哪些措施來提高員工績效？四、某銀行想知道其信用卡客戶的消費(fèi)習(xí)慣，并希望根據(jù)消費(fèi)數(shù)據(jù)進(jìn)行客戶細(xì)分。銀行收集了過去一年中5000名信用卡客戶的月度消費(fèi)數(shù)據(jù)，包括總消費(fèi)金額、消費(fèi)類別（餐飲/購物/娛樂/其他）等。通過對數(shù)據(jù)進(jìn)行探索性分析，發(fā)現(xiàn)月度消費(fèi)金額存在明顯的季節(jié)性波動(dòng)，且不同消費(fèi)類別的金額占比也有所不同。請描述一種或多種時(shí)間序列分析方法，用以捕捉月度消費(fèi)金額的季節(jié)性變化規(guī)律。假設(shè)你已經(jīng)選擇了某種方法并進(jìn)行了分析，請說明如何根據(jù)消費(fèi)類別和金額占比將客戶進(jìn)行聚類細(xì)分。請解釋聚類結(jié)果的含義，并說明銀行可以根據(jù)這些細(xì)分客戶群體制定哪些個(gè)性化的營銷策略。試卷答案一、1.分析過程：*數(shù)據(jù)整理與分類：首先根據(jù)性別、年齡、受教育程度、購物時(shí)間、會(huì)員類型對100名顧客數(shù)據(jù)進(jìn)行分類。計(jì)算各分類下的頻數(shù)和頻率。*描述性統(tǒng)計(jì)量計(jì)算：計(jì)算主要變量（如購物金額）的總數(shù)、均值、中位數(shù)、眾數(shù)、最大值、最小值、范圍（極差）、四分位數(shù)（IQR）、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。*圖表展示：繪制顧客性別分布的餅圖或條形圖；繪制年齡分布的直方圖或核密度圖；繪制購物金額的直方圖或箱線圖（按性別、年齡分段）；繪制購物時(shí)間的餅圖或條形圖；繪制會(huì)員類型的餅圖或條形圖。*結(jié)果分析與解讀：描述各變量的分布特征（如購物金額是否近似正態(tài)分布，是否存在偏態(tài)）。比較不同性別顧客的購物金額均值（使用獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)或非參數(shù)檢驗(yàn)比較，若數(shù)據(jù)不滿足正態(tài)性假設(shè)），指出男性是否顯著高于女性。分析年齡與購物金額的關(guān)系（如年輕顧客標(biāo)準(zhǔn)差較大，可能分布更分散）。分析會(huì)員類型與購物頻率或總金額的關(guān)系（如會(huì)員購物頻率較高，可能總金額也較高，需進(jìn)一步分析）。總結(jié)顧客的基本特征（如以哪種性別、年齡段、教育程度、購物時(shí)間、會(huì)員類型為主）和購買行為模式（如平均購物金額、高峰時(shí)段等）。2.潛在顧客細(xì)分：基于分析結(jié)果，可能存在以下潛在細(xì)分市場：*高消費(fèi)能力群體：年齡較輕或受教育程度較高，購物金額較大的顧客。*年輕沖動(dòng)型群體：年齡較輕，購物金額波動(dòng)大，可能對價(jià)格敏感。*忠誠會(huì)員群體：會(huì)員，購物頻率高，可能對促銷活動(dòng)反應(yīng)積極。*特定時(shí)段活躍群體：習(xí)慣在特定時(shí)間（如下午）購物的顧客。*不同需求群體：可根據(jù)消費(fèi)類別占比，細(xì)分出側(cè)重餐飲、購物、娛樂等的群體。二、1.假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)計(jì)：*假設(shè)：*H?：新型降壓藥的效果與安慰劑相同（即兩組患者平均血壓變化無顯著差異）。*H?：新型降壓藥的效果優(yōu)于安慰劑（即實(shí)驗(yàn)組患者平均血壓變化顯著大于對照組）。*所需信息/假設(shè)：*需要確認(rèn)血壓變化數(shù)據(jù)是否近似服從正態(tài)分布（可使用Shapiro-Wilk檢驗(yàn)等）。若數(shù)據(jù)量足夠大（n>30），根據(jù)中心極限定理，可認(rèn)為樣本均值的分布近似正態(tài)。*需要確認(rèn)兩組數(shù)據(jù)之間的方差是否相等（可使用Levene's檢驗(yàn)）。若方差相等，使用t檢驗(yàn)；若方差不等，使用Welch'st檢驗(yàn)。*假設(shè)樣本是隨機(jī)抽取的。*檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：選擇獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（或Welch'st檢驗(yàn)）。*檢驗(yàn)步驟：1.計(jì)算實(shí)驗(yàn)組和對照組的樣本量（n?,n?）、樣本均值（x??,x??）和樣本標(biāo)準(zhǔn)差（s?,s?）。2.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t值：*若方差相等：t=(x??-x??)/sqrt(((n?-1)s?2+(n?-1)s?2)/(n?+n?-2)*(1/n?+1/n?))*若方差不等：t=(x??-x??)/sqrt(s?2/n?+s?2/n?)3.確定自由度（df，若方差相等則為n?+n?-2，若方差不等則為Welch's公式計(jì)算出的近似值）。4.查t分布表，或使用軟件計(jì)算對應(yīng)自由度下的臨界t值（t_crit）或P值。*拒絕域與決策：通常采用顯著性水平α=0.05。若t統(tǒng)計(jì)量>t_crit，或P值<α，則拒絕H?。*結(jié)論：若拒絕H?，則有統(tǒng)計(jì)證據(jù)表明新型降壓藥比安慰劑更有效；若不能拒絕H?，則沒有足夠證據(jù)表明新型降壓藥更有效。*實(shí)際意義：需要結(jié)合降壓幅度、副作用、成本效益等因素綜合判斷。即使統(tǒng)計(jì)上顯著，若降壓幅度較小或副作用較大，可能不具有臨床實(shí)際意義。三、1.回歸模型構(gòu)建：*模型選擇：考慮因變量（績效評分）是連續(xù)變量，選擇多元線性回歸模型。模型形式為：績效=β?+β?*滿意度+β?*年齡+β?*部門（虛擬變量）+β?*任職年限+ε。*系數(shù)解釋：*β?：當(dāng)所有自變量都為0時(shí)的績效評分（理論上意義不大）。*β?：工作滿意度評分每增加1分，績效評分平均變化的量（預(yù)期為正）。*β?：年齡每增加1歲，績效評分平均變化的量（可能為正，也可能為負(fù)，取決于實(shí)際情況）。*β?：與“市場”部門相比，“銷售”部門績效評分的平均差異（若為負(fù)，表示銷售部門績效相對較低；若為正，表示銷售部門績效相對較高。同理比較“生產(chǎn)”部門）。*β?：任職年限每增加1年，績效評分平均變化的量（可能為正，表示經(jīng)驗(yàn)積累帶來提升；也可能存在邊際效用遞減）。*模型評估：*擬合優(yōu)度：R2（決定系數(shù)）和調(diào)整后的R2。R2表示模型解釋的績效變異性比例，越大越好。調(diào)整后的R2在加入不顯著變量時(shí)不會(huì)增加，更能反映模型的真實(shí)解釋力。*系數(shù)顯著性：t檢驗(yàn)的P值。檢驗(yàn)每個(gè)系數(shù)（β?,β?,β?,β?）是否顯著異于0。通常α=0.05，P<0.05表示系數(shù)顯著。*模型整體顯著性：F檢驗(yàn)的P值。檢驗(yàn)所有自變量聯(lián)合對績效是否有顯著影響。P<0.05表示模型整體顯著。*殘差分析：檢查殘差是否符合正態(tài)性、獨(dú)立性和同方差性等線性回歸假設(shè)。若不滿足，需考慮模型修正或變換。*解釋力影響因素：模型解釋力（R2）受多重共線性（自變量間相關(guān)性高）、遺漏變量（重要變量未包含在模型中）、非線性關(guān)系、測量誤差等因素影響。*提升績效措施：基于回歸結(jié)果：*若β?顯著為正，提高員工工作滿意度（如改善工作環(huán)境、增加激勵(lì)、提供發(fā)展機(jī)會(huì)）有助于提升績效。*若β?、β?、β?有顯著解釋力，針對性地對年齡、部門、任職年限等特征不同的員工群體采取管理措施。例如，對年輕員工加強(qiáng)培訓(xùn)，對老員工提供挑戰(zhàn)性任務(wù)，根據(jù)不同部門特點(diǎn)調(diào)整管理方式。四、1.時(shí)間序列分析方法：*方法選擇：考慮數(shù)據(jù)存在明顯的季節(jié)性波動(dòng)，可選擇加法模型或乘法模型的時(shí)間序列分解方法，或直接使用能處理季節(jié)性的模型，如季節(jié)性ARIMA（SARIMA）模型。也可以使用季節(jié)性差分消除趨勢和季節(jié)性。*分析步驟（以SARIMA為例）：1.繪制月度總消費(fèi)金額時(shí)間序列圖，觀察趨勢、季節(jié)性和周期性。2.進(jìn)行季節(jié)性差分：若原始序列`Yt`，差分后序列`ΔYt=Yt-Yt-s`（s為季節(jié)周期，如12個(gè)月）。3.對差分后的序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)（如ADF檢驗(yàn)），若不平穩(wěn)，繼續(xù)差分或進(jìn)行對數(shù)變換。4.確定SARIMA模型參數(shù)（p,d,q)(P,D,Q)s。可以通過自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）圖，結(jié)合ACF和PACF的拖尾、截尾特征，以及季節(jié)性周期的滯后觀察，初步確定非季節(jié)性參數(shù)（p,d,q）和季節(jié)性參數(shù)（P,D,Q）。5.使用軟件（如R,Python,SPSS）擬合SARIMA模型，得到參數(shù)估計(jì)值和顯著性檢驗(yàn)結(jié)果。6.分析模型殘差，確保其白噪聲特性，滿足模型假設(shè)。7.利用擬合好的模型進(jìn)行未來消費(fèi)金額的預(yù)測。2.客戶聚類細(xì)分：*方法選擇：K-均值聚類（K-Means）是一種常用方法。需要先確定聚類數(shù)目K（如使用肘部法則、輪廓系數(shù)法）。需要選擇合適的聚類變量，如月度消費(fèi)金額、各消費(fèi)類別（餐飲、購物等）的金額占比。*聚類步驟：1.選擇K個(gè)初始聚類中心。2.將每個(gè)客戶數(shù)據(jù)點(diǎn)分配給最近的聚類中心，形成K個(gè)聚類。3.重新計(jì)算每個(gè)聚類的中心（均值）。4.再次分配客戶數(shù)據(jù)點(diǎn)到新的聚類中心。5.重復(fù)步驟3和4，直到聚類中心不再顯著變化或達(dá)到最大迭代次數(shù)。*結(jié)果解釋：分析每個(gè)聚類中客戶的平均消費(fèi)金額、消費(fèi)類別占比特征。例如：*聚類1：高消費(fèi)，購物和娛樂消費(fèi)占比高。*聚類2：中低消費(fèi)，餐飲消費(fèi)占比高。*聚類3：高頻次低單次消費(fèi)，可能對價(jià)格敏感。*聚類4：年輕客戶，消費(fèi)集中在特定類別（如電子產(chǎn)品）。3.個(gè)性化營銷策略：*基于細(xì)分群體的策略：*對高消費(fèi)群體：提供高端會(huì)員服務(wù)、專屬折扣、新品優(yōu)先體驗(yàn)。*對年輕沖動(dòng)型群體：開展促銷活動(dòng)、社交媒體營銷、聯(lián)名款產(chǎn)品。*對忠誠會(huì)員群體：加強(qiáng)會(huì)員關(guān)系維護(hù)、積分兌換、生日關(guān)懷。