課時(shí)分層作業(yè)二十八平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用舉例一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知向量a=(1,m),b=(3,2)且(ab)⊥b,則m= ()A.8 B.5 C.5 D.8【解析】選B.由(ab)⊥b知:(ab)·b=0,所以a·bb2=0,即3-2m13=0,所以m=5.2.已知平面向量a與b的夾角為60°,a=(2,0),|b|=1,則|a+2b|= ()A.3 B.2 C.4 D.12【解析】選B.由題得,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12.所以|a+2b|=233.已知向量a,b滿足|a|=1,b=(2,1),且a·b=0,則|ab|= ()A.6 B.5 C.2 D.3【解析】選A.|a|=1,b=(2,1),且a·b=0,則|ab|2=a2+b2-2a·b=1+50=6,所以|ab|=64.已知△ABC為等邊三角形,AB=2,設(shè)點(diǎn)P,Q滿足=λ,=(1λ),λ∈R,若·=32,則λ= ()A.12 B.C.1±102 【解析】選A.因?yàn)椤?32,所以32=·=·=1-λλ+1-λλ=41-λ4λ+21-λλ+1解得λ=12【一題多解】選A.如圖建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)A(1,0),B(1,0),C(0,3),另設(shè)P(x1,0),Q(x2,y2),由=λ,得x1=2λ1,由=(1λ),得x2=λ;y2=3(1λ),于是=(λ1,3(1λ)),=(2λ1,3),由·=32得:(λ1)(2λ1)3(1λ)=32,解得λ=1【變式備選】在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在線段BC和CD上,且=23,=16,則·的值為_(kāi)_______.

【解析】在等腰梯形ABCD中,由AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,得·=12,·=1,·=1,=12,所以·=·=·=·+23·+112+118·=1+13+13118答案:295.(2015·安徽高考)△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,已知向量a,b滿足=2a,=2a+b,則下列結(jié)論正確的是 ()A.|b|=1 B.a⊥bC.a·b=1 D.(4a+b)⊥【解析】選D.因?yàn)?=(2a+b)2a=b,所以|b|=2,故A錯(cuò)誤;由于·=2a·(2a+b)=4|a|2+2a·b=4+2×1×2×-所以2a·b=24|a|2所以a·b=1,故B,C錯(cuò)誤;又因?yàn)?4a+b)·=(4a+b)·b=4a·b+|b|所以(4a+b)⊥.二、填空題(每小題5分,共15分)6.若非零向量a,b滿足|a|=3|b|=|a+2b|,則a,b夾角θ的余弦值為_(kāi)_______.

【解析】|a|=|a+2b|,兩邊平方得,|a|2=|a|2+4|b|2+4a·=|a|2+4|b|2+4|a||b|·cosθ.又考慮到|a|=3|b|,所以0=4|b|2+12|b|2cosθ,得cosθ=13答案:17.(2018·濟(jì)南模擬)已知A(1,cosθ),B(sinθ,1),若|+|=||(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則銳角θ=________.

【解析】利用幾何意義求解:由已知可得,+是以O(shè)A,OB為鄰邊所作平行四邊形OADB的對(duì)角線向量,則是對(duì)角線向量,由對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形.知OA⊥OB.因此·=0,所以銳角θ=π4.答案:π【一題多解】坐標(biāo)法:+=(sinθ1,cosθ+1),=(sinθ1,cosθ1),由|+|=||可得(sinθ1)2+(cosθ+1)2=(sinθ1)2+(cosθ1)2,整理得sinθ=cosθ,于是銳角θ=π4.答案:π【變式備選】已知a=(1,1),b=(cosα,sinα)0≤α<π2.若a∥b,【解析】因?yàn)閍∥b,所以cosα=sinα,則tanα=1,又因?yàn)?≤α<π2,所以α=π答案:π8.對(duì)任意平面向量a,b,下列關(guān)系式中恒成立的是________.(填序號(hào))

①|(zhì)a·b|≤|a||b|;②|ab|≤||a||b||;③(a+b)2=a2+b2+2a·b④(a+b)·(ab)=a2b2.【解析】對(duì)于①,|a·b|=||a||b|cosθ|≤|a||b|(θ為a,b的夾角)恒成立;對(duì)于②,當(dāng)a,b均為非零向量且方向相反時(shí)不成立;對(duì)于③,④容易判斷恒成立.答案:①③④三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知平面向量a=(3,1),b=12(1)證明:a⊥b.(2)若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t,使c=a+(t23)b,d=ka+tb,且c⊥d,試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t).【解析】(1)因?yàn)閍·b=3×121×32=0,所以a⊥(2)因?yàn)閏=a+(t23)b,d=ka+tb,且c⊥d,所以c·d=[a+(t23)b]·(ka+tb)=ka2+t(t23)b2+[tk(t23)]a·b=0.又因?yàn)閍2=|a|2=4,b2=|b|2=1,a·b=0,所以c·d=4k+t33t=0,所以k=f(t)=t3-310.已知|a|=4,|b|=3,(2a3b)·(2a+(1)求a與b的夾角θ.(2)求|a+b|.(3)若=a,=b,求△ABC的面積.【解析】(1)因?yàn)?2a3b)·(2a+所以4|a|2-4a·b3|b|2又因?yàn)閨a|=4,|b|=3,所以64-4a·b所以a·b=6.所以cosθ=a·b|a||又因?yàn)?≤θ≤π,所以θ=2π(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|=42+2×(6)+32=13,所以|a+b|=13.(3)因?yàn)榕c的夾角θ=2π3,所以∠ABC=π2π3=又因?yàn)閨|=|a|=4,||=|b|=3,所以S△ABC=12||·||sin∠ABC=12×4×3×32=33【變式備選】已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),0<β<α<π.(1)若|ab|=2,求證:a⊥b.(2)設(shè)c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.【解析】(1)由題意得|ab|2=2,即(ab)2=a2-2a·b+b2又因?yàn)閍2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2a·b=2,即a·b故a⊥b.(2)因?yàn)閏=a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1),所以cosα由此得,cosα=cos(πβ).由0<β<π,得0<πβ<π,又0<α<π,故α=πβ.代入sinα+sinβ=1,得sinα=sinβ=12又α>β,所以α=5π6,β=1.(5分)已知平面向量a,b,若|a|=3,|b|=2,a與b的夾角θ=π6,且(amb)⊥a,則A.12 B.1 C.3 【解析】選B.因?yàn)槠矫嫦蛄縜,b,若|a|=3,|b|=2,a與b的夾角θ=π6,且(amb)⊥a,所以(amb)·a=a2ma·b=3m·3·2·cosπ6=0,2.(5分)(2018·濟(jì)南模擬)設(shè)非零向量a與b的夾角是5π6,且|a|=|a+b|,則|A.13 B.33 C.233【解析】選B.因?yàn)榉橇阆蛄縜與b的夾角是5π且|a|=|a+b|,所以|a|2=|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a|·|b|cos5π所以|b|23|a||b|=0,所以|b|=3|a|,所以|2a=4|a|2=(t1)2+13所以當(dāng)t=1時(shí),|2a+tb|3.(5分)在△ABC中,已知AB=3,BC=2,D在AB上,=13,若·=3,則AC的長(zhǎng)是________. 【解析】因?yàn)?13,所以=23,=+=23+,所以·=23·=4923·=423·=3,所以·=32,所以3×2×cosB=32,所以cosB=1在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC22AB·BCcosB=10.所以AC=10.答案:104.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(1,2),B(2,3),C(2,1).(1)求以線段AB,AC為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng).(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(t)·=0,求t的值.【解析】(1)方法一:由題設(shè)知=(3,5),=(1,1),則+=(2,6),=(4,4).所以|+|=210,||=42.故所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為42,210.方法二:設(shè)該平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為D,兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為E,則:E為BC的中點(diǎn),E(0,1),又E(0,1)為AD的中點(diǎn),所以D(1,4).故所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為BC=42,AD=210.(2)由題設(shè)知:=(2,1),t=(3+2t,5+t).由(t)·=0,得(3+2t,5+t)·(2,1)=0,從而5t=11,所以t=115或者:·=t,=(3,5),t==115.5.(13分)(2018·石家莊模擬)已知A,B,C分別為△ABC的三邊a,b,c所對(duì)的角,向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),且m·n=sin2C.(1)求角C的大小.(2)若sinA,sinC,sinB成等差數(shù)列,且·()=18,求邊c的長(zhǎng).【解析】(1)由已知得m·n=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B),因?yàn)锳+B+C=π,所以sin(A+B)