1.1課時(shí)2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握空間向量的數(shù)量積運(yùn)算的定義與概念,理解投影向量的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律:交換律和分配律,并能將其與數(shù)的乘法進(jìn)行比較,分析它們的聯(lián)系與區(qū)別.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.可以結(jié)合實(shí)際,靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【自主預(yù)習(xí)】1.類比平面向量的數(shù)量積,你能得出空間向量數(shù)量積的哪些相關(guān)知識(shí)?1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩向量的數(shù)量積是實(shí)數(shù).()(2)對(duì)于非零向量a,b,<a,b>與<a,b>相等.()2.向量a在b上的投影向量是什么?3.類比平面向量向平面向量投影,你能畫出空間向量a向直線l投影及向量a向平面β投影嗎?4.類比平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律,空間向量的數(shù)量積運(yùn)算滿足哪些運(yùn)算律?5.數(shù)量積運(yùn)算能否判斷兩個(gè)非零向量的平行或者垂直關(guān)系?能否用來求角?(3)對(duì)于任意向量a,b,c,都有(a·b)·c=a·(b·c).()(4)(3a+2b)·(3a2b)=9|a|24|b|2.()2.已知兩異面直線的方向向量分別為a,b,且|a|=|b|=1,a·b=12,則兩直線的夾角為()A.30° B.60° C.120° D.150°3.(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P9習(xí)題1.1T4改編)(多選題)已知正四面體OABC的棱長為1,如圖所示.若E,F分別是OA,OC的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是().A.OA·OB=1B.EF·AO=1C.EF·AC=1D.EF·CB=14.已知|a|=4,空間向量e為單位向量,且<a,e>=2π3,則空間向量a在向量e上的投影向量為【合作探究】探究1向量的夾角與數(shù)量積的概念如果一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s,那么力F所做的功W=F·s=|F||s|cosθ.為了在數(shù)學(xué)中體現(xiàn)“功”這樣一個(gè)標(biāo)量,我們引進(jìn)了“數(shù)量積”的概念.問題1:θ是哪兩個(gè)量的夾角?問題2:任意兩個(gè)向量的數(shù)量積是向量嗎?兩個(gè)向量的數(shù)量積一定是非負(fù)數(shù)嗎?問題3:如圖所示,四面體ABCD的棱長均等于1,E是BC的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的有哪些?(1)AE·BC<0;(2)AB·BC=AB·AC;(3)AE·BC=ED·BC.1.定義:如圖,已知兩個(gè)非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)O,作OA=a,OB=b,則叫作向量a,b的夾角,記作.

通常規(guī)定:0≤<a,b>≤π,且<a,b>=<b,a>.2.空間向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a和b,則|a||b|cos<a,b>叫作a,b的數(shù)量積,記作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>.特別地,零向量與任意向量的數(shù)量積為0.例1已知四面體DABC的每條棱長都等于1,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),則EF·DC=().A.1B.1C.3D.3【方法總結(jié)】求空間向量的數(shù)量積和求平面向量的數(shù)量積一樣,在確定兩個(gè)向量之間的夾角以及它們的模后,利用公式a·b=|a||b|cos<a,b>即可解決問題.如圖,已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,則AB1·C1B=A.2B.2C.1D.1探究2空間向量數(shù)量積的性質(zhì)與運(yùn)算律問題1:“若a·b=a·c,則b=c”這種說法正確嗎?問題2:數(shù)量積的運(yùn)算滿足除法嗎?問題3:數(shù)量積的運(yùn)算滿足結(jié)合律嗎?1.空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律:a·b=b·a;(2)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c;(3)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R).2.空間向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論(1)a·a=|a||a|cos<a,a>=|a|2;(2)a⊥b?a·b=0;(3)cos<a,b>=a·b|a||b例2如圖,已知正四面體OABC的棱長為1,求:(1)(OA+OB)·(CA+CB);(2)|OA+OB+OC|.【方法總結(jié)】空間向量數(shù)量積的應(yīng)用(1)求夾角:先求向量a與b夾角的余弦值,需求出|a|,|b|和a·b的值,再利用求夾角余弦值的公式cos<a,b>=a·b(2)求線段的長度:向量的模就是表示向量的有向線段的長度,因此,線段的長度可用向量求解.(3)證明向量垂直:立體幾何中判斷有關(guān)線線垂直的問題,通?？梢赞D(zhuǎn)化為證明向量的數(shù)量積為零.如圖,在平行六面體ABCDA'B'C'D'中,若以A為頂點(diǎn)的三條棱長均為2,AB,AD,AA'兩兩的夾角為60°,求AC與BD'所成角的余弦值.如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,Q是棱BC上的動(dòng)點(diǎn),P是棱B1C1上的動(dòng)點(diǎn),AB=BC=2,AA1=1,求DP·AQ的取值范圍.探究3投影向量我們?cè)跍y量樹的高度時(shí),常利用陽光下的影子測量其高度,如圖所示.問題1:如何求AB在OA上的投影向量?問題2:平面向量數(shù)量積的投影定義在空間中還成立嗎?1.如圖1,在空間中,向量a向向量b投影,先將它們平移到同一個(gè)平面α內(nèi),利用平面上向量的投影,得到與向量b共線的向量c,c=|a|·cos<a,b>·b|b|=a·b|b|·b|b|,|c|=|a|·|cos<a,b>|=|a·b||b|,向量2.如圖3,向量a向平面β投影,就是分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線,垂足分別為A',B',得到向量A'B',向量A'B'稱為向量a在平面β上的投影向量.這時(shí),向量,A例3如圖,已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,AD=2,∠BAA1=∠DAA1=60°,E為棱C1D1的中點(diǎn),則|AE|=,AE在AB上的投影向量是.

【方法總結(jié)】可用|a|cos<a,b>=a·b在四棱錐SABCD中,四邊形ABCD為正方形,AB=AD=SA=1,且SA⊥底面ABCD,則向量CS在平面ABCD上的投影向量是,CS·AB=.

探究4空間向量數(shù)量積的應(yīng)用例4(2023年全國乙卷改編)如圖,在三棱錐PABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=22,PB=PC=6,BP,AP,BC的中點(diǎn)分別為D,E,O,點(diǎn)F在AC上,BF⊥AO.求證:EF∥平面ADO.【方法總結(jié)】利用向量法證明的核心是利用向量的數(shù)量積、數(shù)乘向量的運(yùn)算以及向量垂直的條件等建立等量關(guān)系,但向量證明仍然離不開立體幾何的有關(guān)定理.已知正方形ABCD的邊長為2,△P'AB為等邊三角形(如圖1所示).沿著AB折起,點(diǎn)P'折起到點(diǎn)P的位置,使得側(cè)面PAB⊥底面ABCD,M是棱AD的中點(diǎn)(如圖2所示).求證:PC⊥BM.【隨堂檢測】1.已知向量a,b,c和實(shí)數(shù)λ,下列命題中,是真命題的為().A.若a·b=0,則a=0或b=0B.若λa=0,則λ=0或a=0C.若a2=b2,則a=b或a=bD.若a·b=a·c,則b=c2.在空間四邊形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=π3,則cos<OA,BC>的值為()A.1B.2C.1D.03.如圖,A1B1,AB分別是圓臺(tái)上、下底面的兩條直徑,且AB=2A1B1,AB∥A1B1,C1是弧A1B1上靠近點(diǎn)B1的三等分點(diǎn),則AC1在AB上的投影向量是(A.5B.5C.5D.24.如圖,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=AA1=2,∠BAD=∠BAA1=120°,∠DAA1=60°,則線段AC1的長是.

參考答案課時(shí)2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算自主預(yù)習(xí)·悟新知預(yù)學(xué)憶思1.數(shù)量積的定義,即a·b=|a||b|cos<a,b>,向量a與b的夾角以及向量垂直.2.向量a在b上的投影向量為|a|cos<a,b>·b|3.圖1、圖2分別是空間向量a向直線l投影及向量a向平面β投影.圖1圖24.空間向量數(shù)量積的運(yùn)算滿足交換律和分配律.5.能判斷平行關(guān)系,若cos<a,b>=a·b|a||b|=±1,則向量a,b平行;能判斷垂直關(guān)系,若a·b=0,則向量a,b垂直.自學(xué)檢測1.(1)√(2)×(3)×(4)√2.B【解析】設(shè)向量a,b的夾角為θ,則cosθ=a·b|a||b|=12,所以3.BD【解析】在正四面體OABC中,|OA|=|OB|=|OC|=|AB|=|BC|=|AC|=1,則OA·OB=|OA||OB|cos∠AOB=1×1×cos60°=12,A錯(cuò)誤因?yàn)镋,F分別是OA,OC的中點(diǎn),所以EF·AO=12AC·AO=12|AC||AO|·cos<AC,AO>=12×1×1×cos60°=EF·AC=12AC·AC=12|AC|2=1EF·CB=12AC·CB=12|AC||CB|cos<AC,CB>=12×1×1×cos120°=4.2e【解析】空間向量a在單位向量e上的投影向量為|a|cos<a,e>e=4cos2π3·e=2合作探究·提素養(yǎng)探究1情境設(shè)置問題1:θ是力F與位移s的夾角.問題2:不是向量.兩個(gè)向量的數(shù)量積是實(shí)數(shù),不一定是非負(fù)數(shù).問題3:∵E是BC的中點(diǎn),AB=AC,∴AE⊥BC,即AE·BC=0,∴(1)錯(cuò)誤;由題意知AB與BC的夾角為120°,∴AB·BC=1×1×cos120°=12由題意知AB與AC的夾角為60°,∴AB·AC=1×1×cos60°=12,∴(2)錯(cuò)誤∵E是BC的中點(diǎn),且△BCD是正三角形,∴BC⊥ED,∴ED·BC=0,∴AE·BC=ED·BC,∴(3)正確.綜上,只有(3)正確.新知生成1.∠AOB<a,b>新知運(yùn)用例1B【解析】如圖,∵E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),∴EF=12∵四面體DABC的每條棱長都等于1,∴每個(gè)面都是等邊三角形,∴EF·DC=12BD·DC=12DB·DC=12·|DB|·|DC|·cosπ3=12×1×1×鞏固訓(xùn)練C【解析】AB1·C1B=AB1·D1A=(2)2·cos<AB1,D1A>=2cos(180°60°)=2cos120°探究2情境設(shè)置問題1:不正確,向量不能約分.問題2:數(shù)量積的運(yùn)算不滿足除法,即對(duì)于向量a,b,若a·b=k,不能得到a=kb或b=ka.例如,當(dāng)非零向量a,b垂直時(shí),a·b=0,但a=0b顯然是沒有意義的問題3:向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c).新知運(yùn)用例2【解析】(1)(OA+OB)·(CA+CB)=(OA+OB)·(OAOC+OBOC)=(OA+OB)·(OA+OB2OC)=OA2+OA·OB2OA·OC+OB·OA+OB22OB=12+1×1×cos60°2×1×1×cos60°+1×1×cos60°+122×1×1×cos60°=1.(2)|OA+OB+OC|=(=OA=12+1鞏固訓(xùn)練1【解析】∵AC=AB+AD,BD'=AD'AB=AA'+∴AC·BD'=(AB+AD)·(AA'+ADAB)=AB·AA'|AB|2+AD·AA'+|AD|2=2×2×2×∵|AC|2=|AB+AD|2=|AB|2+2AB·AD+|AD|2=22+2×2×2×cos60°+22=12,∴|AC|=23.∵|BD'|2=|AA'+ADAB|2=|AA'|2+|AD|2+|AB|2+2AA'·AD2AA'·AB2AD·AB=3×222×2×2×cos60°=8,∴|設(shè)AC與BD'所成的角為θ,則cosθ=|cos<AC,BD'>|=|AC·BD'鞏固訓(xùn)練2【解析】DP·AQ=(AA1+AB+C1P)·(=AA1·AB+AB·AB+C1P·AB+AA1·BQ+AB·因?yàn)锳A1⊥AB,C1P⊥AB,AA1⊥BQ,AB⊥BQ,所以AA1·AB=0,C1P·AB=0,AA1·BQ=因此DP·AQ=AB·AB+C1P·BQ=|AB|2|C1P|設(shè)|C1P|=x,|BQ|=y,0≤x≤2,0≤y≤2,則DP·AQ=4因?yàn)?≤xy≤4,所以0≤4xy≤4,故DP·AQ的取值范圍為[0,4].探究3情境設(shè)置問題1:根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義,AB在OA上的投影向量為|AB|cos(π∠OAB)·OA|OA|問題2:根據(jù)空間向量數(shù)量積公式可知,依然成立.新知生成2.A'B'A'新知運(yùn)用例32978AB【解析】由題圖可知AE=AA1+所以|AE|=A=|=29,AB·AE=AB·AA1+AB·AD+12AB2=4×3×cos60°+0+1故AE在AB上的投影向量是AB·AE|AB|鞏固訓(xùn)練CA1【解析】如圖,∵SA⊥底面ABCD,∴向量CS在平面ABCD上的投影向量是CA.∵SA⊥底面ABCD,∴SA·AB=0.∵四邊形ABCD為正方形,AB=AD=SA=1,∴CS·AB=(ASAC)·AB=AC·AB=(AB+AD)·AB=AB2=1探究4例4【解析】設(shè)AF=tAC,因?yàn)锳B⊥BC,所以BA·BC=0.因?yàn)锽F⊥AO,所以BF·AO=0,而BF=BA+AF=BA+tAC=BA+tBC-BA=(1t)BA+tO為BC的中點(diǎn),所以AO=AB+BO=BA+12所以(1-t)BA+tBC·-BA+12BC=(t1)BA2+12tBC2=4(t因?yàn)镋為AP的中點(diǎn),所以EF∥PC,同理OD∥PC,則OD∥EF,因?yàn)镋F?平面ADO,OD?平面ADO,所以EF∥平面ADO.鞏固訓(xùn)練【解析】如圖,取AB的中點(diǎn)O,連接OC交BM于點(diǎn)E,連接OP.∵△PAB為等邊三角形,∴PO⊥AB,又∵平面PAB⊥平面