試卷第試卷第=PAGE1頁共=SECTIONPAGES37頁試卷第試卷第=PAGE2頁共=SECTIONPAGES37頁河南省新鄉(xiāng)市2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)為雙曲線上的點(diǎn)，，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，，則的面積為

(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】解：先設(shè)點(diǎn)在雙曲線的左支上，且，且的夾角為，因?yàn)椋士傻?，故可得解得，故得，故的面積為，故選．2．若復(fù)數(shù)，滿足且，則(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，即，由，得，則．故選：．3．若集合，，則(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】解：由題意可得，，，所以．故選：．4．已知圓的半徑為，弦，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】已知圓的半徑為，弦，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，如圖，作圓的直徑，過作的延長(zhǎng)線，垂足為，而可以看作在上的投影向量與的數(shù)量積，由圓的性質(zhì)知，當(dāng)與重合時(shí)，取得最小值，因，可得，則，根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式，所以的最小值為．故選：．5．設(shè)，，是三條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，且，，，則“”是“”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，，所以，又，，所以成立；當(dāng)時(shí)，若與相交，則與異面，不能推導(dǎo)出，所以“”是“”的充分不必要條件．故選A．6．某科研團(tuán)隊(duì)對(duì)某產(chǎn)品的一項(xiàng)新功能進(jìn)行了次測(cè)試，將不合格、合格、良、優(yōu)的結(jié)果分別用，，，標(biāo)記，若次測(cè)試結(jié)果中有次不合格、次合格、次良、次優(yōu)，則對(duì)于標(biāo)記后的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A．分位數(shù)為 B．極差為C．平均數(shù)為 D．方差為【答案】A【解析】解：將次測(cè)試結(jié)果標(biāo)記后得到數(shù)據(jù)，，，，，，，，對(duì)于，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于，這組數(shù)據(jù)的極差為，故B正確；對(duì)于，平均數(shù)為，故C正確；對(duì)于，方差為，故D正確．故選：．7．已知等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，有最小值，若，則使成立的的最大值為(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為有最小值，所以，，所以，因?yàn)椋裕?，且，所以，，所以?dāng)時(shí)，所以使成立的的最大值為．故選：．8．若不等式恒成立，則的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，.原不等式可化為：.因?yàn)?，所以?當(dāng)時(shí)，，所以在恒成立，所以；當(dāng)時(shí)，，所以成立；當(dāng)時(shí)，，所以在上恒成立，所以.綜上可得：.故選：A二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，為雙曲線在第一象限上的點(diǎn)，設(shè)，的斜率分別為，，且過點(diǎn)作雙曲線的切線與雙曲線的漸近線交于，兩點(diǎn)，則(

)A．的值隨著的增大而減小 B．雙曲線的離心率為C． D．【答案】A,B,D【解析】由題意得雙曲線的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，漸近線為，在中，由正弦定理可知，顯然，均為銳角且隨著的增大分別減小與增大，即，隨著的增大分別減小與增大且均為正數(shù)，的值隨著的增大而減小，故A正確由在雙曲線上，則有，因?yàn)樽箜旤c(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，所以，即，所以，故B正確顯然，且，，故C錯(cuò)誤對(duì)于，可設(shè)雙曲線，所以在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立方程組，可令，聯(lián)立方程組，可得，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，即，故D正確．故選：10．下列說法正確的是(

)A．隨機(jī)變量，且，則B．隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則C．對(duì)，兩個(gè)變量進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，得到相關(guān)系數(shù)為，對(duì)，兩個(gè)變量進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，得到相關(guān)系數(shù)為，則與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān)，其中與的相關(guān)性更強(qiáng)D．在的展開式中，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的二項(xiàng)式系數(shù)和為【答案】A,B,D【解析】對(duì)于，由題意得，，，則，故A正確；對(duì)于，因?yàn)閮牲c(diǎn)分布的，所以，所以，故B正確；對(duì)于，因?yàn)?，且，所以與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān)，且與的相關(guān)性更強(qiáng)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于，由的展開式知，取，得，取，得，兩式相減可得，，所以，所以的展開式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故D正確．故選：．11．下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是23.B．隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則C．一組樣本數(shù)據(jù)的方差，則這組樣本數(shù)據(jù)的總和為60.D．隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則【答案】BC【解析】對(duì)選項(xiàng)A：數(shù)據(jù)共10個(gè)數(shù)，從小到大排列為，由于，故選擇第7和第8個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為第70百分位數(shù)，即，所以第70百分位數(shù)是23.5，故A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：.故B正確；對(duì)選項(xiàng)C：由方差的公式可知，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3，這組樣本數(shù)據(jù)的總和為，故C正確；對(duì)選項(xiàng)D：服從正態(tài)分布，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)______．【答案】【解析】的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，實(shí)數(shù)故答案為：．13．“中國(guó)天眼”是我國(guó)具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)、世界最大單口徑、最靈敏的球面射電望遠(yuǎn)鏡如圖，已知“天眼”的形狀為球冠球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圓為底，垂直于圓面的直徑被截得的部分為高，設(shè)球冠底的直徑，球冠的高，則球的半徑

精確到整百．【答案】【解析】如下圖所示：球心到截面圓的距離為，球冠底的半徑為，由勾股定理可得，化簡(jiǎn)得，解得，又，，所以，故答案為：．14．已知，，，則的最小值為______.【答案】2【解析】解：因?yàn)?，，，所以，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，整理得，解得，即當(dāng)，時(shí)，有最小值為故答案為：由得，根據(jù)基本不等式得，即可求得的最小值．本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．本小題分如圖，在四棱錐中，，，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．證明：平面平面．已知，，點(diǎn)在棱上，且，若直線與平面所成角的正弦值為，求的值．?【解析】證明：連接，，因?yàn)?，，所以，，所以，，三點(diǎn)共線，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，平面，且，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫深}意得，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，即，由知，，所以，，兩兩相互垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，因?yàn)?，所以，則，設(shè)，所以，則，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，則，即，取，得，，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，整理得，解得或舍去，所以．16．本小題分已知有窮整數(shù)數(shù)列：，，，，滿足記集合為：，，，，，或，，，，若數(shù)列，則稱數(shù)列是的“恒元”．Ⅰ已知數(shù)列：，，，，請(qǐng)寫出中所有滿足的數(shù)列；Ⅱ當(dāng)時(shí)，是否存在數(shù)列滿足，且是的“恒元”？若存在，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說明理由；Ⅲ當(dāng)數(shù)列是的“恒元”時(shí)，若，，，是個(gè)連續(xù)正整數(shù)的一個(gè)排列，求數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的最大值．【解析】解：Ⅰ因?yàn)閿?shù)列：，，，，所以中的數(shù)列滿足，，因?yàn)?，所以中所有滿足的數(shù)列有，，，；，，，；，，，；，，，；Ⅱ假設(shè)存在滿足條件的數(shù)列，則滿足，有，或，或，所以與同為奇數(shù)或同為偶數(shù)．所以是偶數(shù)．所以是偶數(shù)．又是奇數(shù)，矛盾．所以假設(shè)不成立，不存在滿足條件的數(shù)列；Ⅲ當(dāng)數(shù)列是的“恒元”時(shí)，因?yàn)閿?shù)列中，，，，是個(gè)連續(xù)正整數(shù)的一個(gè)排列，所以當(dāng)時(shí)，有，且至多一項(xiàng)為．不妨記，所以，且．當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有．此時(shí)，或，又，所以，，或，，當(dāng)時(shí)，有，或，所以，或者，當(dāng)時(shí)，有，，，，所以，，．因?yàn)?，，所以，所以．?dāng)時(shí)，有，，，，所以舍．當(dāng)時(shí)，有，或，所以，或者，當(dāng)時(shí)，有，，，，所以，，，所以．當(dāng)時(shí)，有，，，，所以所以舍．又由于數(shù)列：，，，，，，和：，，，，，，滿足條件．綜上所述，．直接計(jì)算所有可能的和組合，篩選滿足的數(shù)列；通過構(gòu)造周期性數(shù)列或遞推關(guān)系，驗(yàn)證是否存在符合條件的數(shù)列；利用排列的連續(xù)性，分析相鄰項(xiàng)的差或和是否滿足恒元條件，推導(dǎo)最大．本題考查數(shù)列的應(yīng)用，屬于難題．17．本小題分已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足，其前項(xiàng)和為．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；若，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；在的條件下，若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】，，，，當(dāng)時(shí)，上式成立，；，，，，得：，所以；，，若為偶數(shù)，則式即為恒成立，即，，整理得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，，取得最小值為，；若為奇數(shù)，則式即為恒成立，整理得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，，綜上可得：故實(shí)數(shù)的取值范圍為．18．本小題分在中，．求的值；若，再從條件、條件、條件這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求邊上的高．條件：；條件：；條件：．注：如果選擇的條件不符合要求，第問得分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】由正弦定理，且，得，即．由，得所以．由，得，所以．選擇條件：因?yàn)?，且余弦函?shù)在上單調(diào)遞減，故，又因?yàn)?，從而可得，與三角形的內(nèi)角和定理矛盾，故不成立．選擇條件：由，且，得．由余弦定理，得，解得或舍．設(shè)邊上的高為，則三角形面積，所以．選擇條件：由，且，得．由，且，得．所以．由正弦定理，得，所以邊上的高．19．本小題分已知圓：的圓心在拋物線：上，且圓與拋物線的準(zhǔn)線相切如圖，過拋物線上的三個(gè)不同點(diǎn)，，在，之間，作拋物線的三條切線，分別兩兩相交于點(diǎn)，，．求圓和拋物線的方程；是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，以為直角頂點(diǎn)，作拋物線的兩個(gè)內(nèi)接及，求線段，的交點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】解：圓的圓心，由于圓心在上，因此，所以，由于圓與的準(zhǔn)線相切，因此，解得，，因此圓為，為；存在常數(shù)，使得，理由如下，設(shè)，，，，那么在點(diǎn)處的坐切線方程為，所以，在點(diǎn)處的坐切線方程為，所以，根據(jù)，可得，因此，同理可得，，，，，，因此，，，可得，因此存在，使得；由于，是拋物線的兩個(gè)內(nèi)接三角形，因此直線，，，，的斜率存在且不為，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，代入，可得，因此點(diǎn)，設(shè)，，，，根據(jù)為直角頂點(diǎn)，設(shè)，那么，那么直線為，與拋物線聯(lián)立得，那么，，，可得，同