4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解人教A版(2019)必修第一冊(cè)1.理解函數(shù)的零點(diǎn).2.掌握函數(shù)零點(diǎn)存在定理.學(xué)習(xí)目標(biāo)新課引入在”函數(shù)的應(yīng)用(一)"中，通過(guò)一些實(shí)例，我們初步了解了建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，學(xué)習(xí)了用函數(shù)描述客觀事物變化規(guī)

律的方法.本節(jié)將先學(xué)習(xí)運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求方程近似解的基本方法(二

分法),再結(jié)合實(shí)例，更深入地理解用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基本過(guò)程，

學(xué)習(xí)運(yùn)用模型思想發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的方法.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用二次函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)一元二次方程，知道一元二次方程的實(shí)數(shù)根就是相應(yīng)二次函數(shù)的零點(diǎn).像

lnx+2x-6=0這樣不

能用公式求解的方程，是否也能采用類(lèi)似的方法，用相應(yīng)的函數(shù)研究它思考的解的情況呢?函數(shù)的零點(diǎn)與二次函數(shù)的零點(diǎn)一樣，對(duì)于一般函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)

x叫做函數(shù)

y=f(x)

的零點(diǎn)

.y=f(x)的圖象與

x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)

.

所以方程

f(x)=

0有實(shí)數(shù)解?函

數(shù)

y=f(x)有零點(diǎn)?函

數(shù)y=f(x)的圖象與

x軸有公共點(diǎn).新知探究這樣，函數(shù)y=f(x)

的零點(diǎn)就是方程

f(x)=0

的實(shí)數(shù)解，也就是函數(shù)般地由此可知，求方程f(x)=0

的實(shí)數(shù)解，就是確定函數(shù)

y=f(x)的零點(diǎn)

.一，對(duì)于不能用公式求解的方程f(x)=0,我們可以把它與相應(yīng)的函數(shù)

y=f(x)

聯(lián)系起來(lái)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)找出零點(diǎn)，從而得到方程的解

.新知探究對(duì)于二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3

,觀察它的圖象，發(fā)現(xiàn)它在區(qū)間[2,4]上有零點(diǎn).這時(shí)，函數(shù)圖象與

x軸有什么關(guān)系?在區(qū)間[-2,0]

上是否也有這種關(guān)系?你認(rèn)為應(yīng)如何利用函數(shù)f(x)

的取值規(guī)律來(lái)刻畫(huà)這種關(guān)系?探究間內(nèi)函數(shù)圖象與

x

軸的關(guān)系，并探究用

f(x)

的取值刻畫(huà)這種關(guān)系的方

法

.再任意畫(huà)幾個(gè)函數(shù)的圖象，觀察函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，以及這一區(qū)探究可以發(fā)現(xiàn)，在零點(diǎn)附近，函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，并且”穿過(guò)”x軸.函數(shù)在端點(diǎn)

x=2和x=4

的取值異號(hào)，即

f(2)f(4)<0,函數(shù)

f(x)=x2-2x-3在區(qū)間(2,4)內(nèi)有零點(diǎn)

x=3,它是方程x2-2x-3=0的一個(gè)根.

同樣地，f(-2)f(O)<0

,函數(shù)f(x)=x2-2x-3在(-2,0)內(nèi)有零點(diǎn)

x=-1,

它是方程

x2-2x-3=0

的另一個(gè)根.新知探究函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)

y=f(x)

在區(qū)間[a,b]

上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，且有

f(a)f(b)<0

,

那

么

,函數(shù)

y=f(x)

在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在

c

∈(a,b),使得

f(c)=0,

這個(gè)

c也就是方程

f(x)=0

的

解

.例題來(lái)了例

1:求方程Inx+2x-6=0

的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).分析

：可以先借助計(jì)算工具畫(huà)出函數(shù)

y=lnx+2x-6的圖象或列出x,y的對(duì)應(yīng)值表，為觀察、判斷零點(diǎn)所在區(qū)間提供幫助.例題來(lái)了解析·設(shè)函數(shù)

f(x)=1nx+2x-6

,利用計(jì)算工具，列出函數(shù)

y=f(x)的對(duì)應(yīng)值表，并畫(huà)出圖象.X

y6

7.7918

9.94598

12.0794

9

14.1972y-4-1.30691.0986

3.38635.6094X123457例題來(lái)了解

析

：由上表和上圖可知，f(2)<0,f(3)>0,

則f(2)f(3)<0.由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)

f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間(2,3)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).容易證明，函數(shù)

f(x)=1nx+2x-6,x∈(0,+∞)是增函數(shù)，所以它只有一個(gè)零點(diǎn)，即相應(yīng)方程

lnx+2x-6=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解。課堂練習(xí)1.已知函數(shù)y=f(x)

的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的對(duì)應(yīng)值表：X

1

23

456y

123.5621.45-7.8211.45

-53.76

-128.88則函數(shù)y=f(x)

在區(qū)間[1,6]上的零點(diǎn)至少有(B)A.2

個(gè)

B.3

個(gè)

C.4個(gè)

課堂練習(xí)解

析

：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)

的圖象是連續(xù)不斷的，且f(2)>0,f(3)<0,所以由零點(diǎn)存在定理得(2,3)內(nèi)至少存在1個(gè)零點(diǎn).因?yàn)閒(3)<0,f(4)>0,所以由零點(diǎn)存在定理得(3,4)內(nèi)至少存在1個(gè)零點(diǎn).因?yàn)閒(4)>0,f(5)<0,所以由零點(diǎn)存在定理得(4,5)內(nèi)至少存在1個(gè)零點(diǎn)綜上，函數(shù)y=f(x)

在區(qū)間[1,6]上的零點(diǎn)至少有3個(gè)故選B.課堂練習(xí)2.函數(shù)f(x)=lnx+x2-6的零點(diǎn)所在區(qū)間為(D)

C.(1,2)

D.(2,3)課堂練習(xí)解

析

：由題可知f(

x)=lnx+x2-6在(0,+∞)上單調(diào)遞增，又

,故函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(2,3).故選D.課堂練習(xí)3.函數(shù)f(x)=x3+2*-50

零點(diǎn)所在區(qū)間為(C)A.(1,2)

B.(2,3)C.(3,4)

D.(4,5)課堂練習(xí)解

析

：對(duì)于f(x)=x3+2?-50,則f(x)為

R

上的增函數(shù)，而f(1)=-47,f(2)=-38,f(3)=-15,f(4)=30,f(5)=107

,由于f(3)f(4)<0,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，知道函數(shù)f(x)=x3+2*-50

的零點(diǎn)所在區(qū)間為(3,4).故選C.課堂練習(xí)4.

(多選)若函數(shù)f(x)

的圖象在R上連續(xù)不斷，且滿(mǎn)足f(O)<0,f(1)>0,f(2)>0,

則下列說(shuō)法正確的有(

AC

)A.f(x)

在區(qū)間(0,1

上一定有零點(diǎn)B.f(x)

在區(qū)間(0,1)上一定沒(méi)有零點(diǎn)C.f(x)在區(qū)間(1,2)上可能有零點(diǎn)

D.f(x)

在區(qū)間(1,2)上一定有零點(diǎn)課堂練習(xí)解

析

：因?yàn)閒(O)<0,f(1)>0,f(2)>0,所

以f(O)f(1)<0.又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)

的圖象在R

上連續(xù)不斷，所以由零點(diǎn)存在定理，可得f(x)在區(qū)間(0,1)上一定有零點(diǎn).因?yàn)閒(①f(2)>0,

所以無(wú)法確定f(x)

在區(qū)間(1,2)上是否有零點(diǎn).故選AC.課堂練習(xí)