＋名校聯(lián)盟屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)命題：富陽中學(xué)陳暉、何其多磨題：嘉善高級(jí)中學(xué)黃振華寧海中學(xué)賴慶龍嵊州中學(xué)求蓮萍校稿：李慧華、呂金晶考生須知：．本卷滿分分，考試時(shí)間分鐘．．答題前務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的地方．．答題時(shí)，請按照答題紙上注意事項(xiàng)的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范答題，在本試卷紙上答題一律無效．．考試結(jié)束后，只需上交答題卷．第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A.B.1C.2D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，并寫出其共軛復(fù)數(shù)，通過復(fù)數(shù)相等條件來求解和的值，即可求解.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，解得，故，所以的虛部為．故選：A2.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，則（）第1頁/共21頁A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可直接構(gòu)造方程組求得結(jié)果.【詳解】由題意知：，解得：.故選：D3.已知平面向量，若，則（）A.B.C.3D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量平行的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄?，且，所以，解?故選：B4.已知集合，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為（）A.3B.5C.6D.8【答案】D【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為求集合的子集個(gè)數(shù)即可.【詳解】顯然滿足條件的集合中必含元素，則集合的個(gè)數(shù)與的子集個(gè)數(shù)相等，則個(gè)數(shù)為.故選：D.5.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則的取值范圍是（）第2頁/共21頁A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知可推得.又，結(jié)合正弦函數(shù)圖象可知，解出不等式即可得出答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，所?又，所以，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可知，解得，又，所以，所以的取值范圍是.故選：A6.1史價(jià)值與藝術(shù)成就聞名，被譽(yù)為研究中國宋代建筑的“活標(biāo)本”．現(xiàn)使用圖2簡單模擬圣母殿的屋頂結(jié)構(gòu)，其中為矩形，，為四段全等的圓弧，其對應(yīng)的圓半徑為5m，圓心角為．已知區(qū)域和是被瓦片覆蓋的區(qū)域，則該模型中瓦片覆蓋區(qū)域的總面積為（）A.m2B.m2C.m2D.m2【答案】D【解析】【分析】由題意可先分析出區(qū)域和全等，再將區(qū)域還原到如圖所示圓柱中，由扇形的弧長公式先求出弧長，再根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式求出，即可得解.第3頁/共21頁【詳解】由題意可知區(qū)域和全等，且都是底面半徑為5m，高為的圓柱的側(cè)面的一部分.將區(qū)域還原到如圖所示圓柱中，可知，，.由扇形的弧長公式可知，，由圓柱的側(cè)面積公式可知，所以，所以被瓦片覆蓋的區(qū)域和的總面積為.故選：D7.已知隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分步曲線的對稱性，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可【詳解】由隨機(jī)變量，可知正態(tài)分步曲線關(guān)于直線對稱，由隨機(jī)變量，可知正態(tài)分步曲線關(guān)于直線對稱，因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，而且，第4頁/共21頁根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性可知，因?yàn)槭钦龑?shí)數(shù)，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此當(dāng)時(shí)，的最小值為，故選：C8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，且，則下列結(jié)論一定正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，，依題意，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，利用放縮法求解范圍即可．【詳解】設(shè)，，又，所以，由得，則有，因此數(shù)列從第二項(xiàng)起，后一項(xiàng)不小于前一項(xiàng)的2倍，故，所以；.由得，第5頁/共21頁則有，因此數(shù)列從第二項(xiàng)起，后一項(xiàng)不大于前一項(xiàng)的3倍，故，所以，即，故D正確．故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知正方體的棱長為1，是線段的中點(diǎn)，則（）A.平面B.與所成夾角為C.平面平面D.三棱錐的體積為【答案】BC【解析】【分析】對A，取中點(diǎn)，由∩平面=B，可判斷A錯(cuò)；對B，因?yàn)?，是正三角形，可判斷B對；對C，可證平面，可判斷C對；對D，，可判斷D錯(cuò).【詳解】對于A：取中點(diǎn)，連接，則平面即平面，因?yàn)椋善矫?，所以A錯(cuò)誤；對于B：連接，則，所以或其補(bǔ)角即異面直線與所成角，連接，因?yàn)槭钦切?，所以，B正確；對于C：平面即平面，因?yàn)椋?，由正方體的性質(zhì)，平面，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，C正確；第6頁/共21頁對于D：，D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知的三個(gè)內(nèi)角分別為，，，在線段上，且滿足平分．則（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】對于A.由正弦定理求解即可；對于B，由化簡即可求解；對于C，分別求出，由，求出，結(jié)合余弦定理可求解；對于D，求出，由于，解得，利用等面積法即可求解.【詳解】對于A，在中，由正弦定理可得，所以，故A正確；對于B，因?yàn)?，則，則，故B正確；對于C，由于，，則，由于，，則，則，在中，由余弦定理：，即，故C不正確；第7頁/共21頁對于D，由于，則，，由于，解得因?yàn)樵诰€段上，且滿足平分．則在中，由等面積可得：，即，解得：，故D正確.故選：ABD，丙、丁傳給隊(duì)友的概率為，且任一傳球者會(huì)等可能地傳球給非隊(duì)友成員．現(xiàn)從甲開始傳球，設(shè)傳球次數(shù)為（且）A.傳球次后，球在甲手中的概率和球在乙手中的概率始終相等B.時(shí)，球在乙手中的概率為C.傳球次后，球在隊(duì)成員手中的概率恒為一個(gè)常數(shù)D.設(shè)球在乙手中的概率為，則【答案】BCD【解析】【分析】對B，列出各種可能傳球路線，概率求和；對C，設(shè)球在A隊(duì)成員手中的概率為，在B隊(duì)成員手中的概率為與D的關(guān)系式，構(gòu)造等比數(shù)列求出；對A，由時(shí)概率值可判斷.【詳解】對于B：由已知，甲傳給乙、丙、丁概率分別為；乙傳給甲、丙、丁的概率分別為第8頁/共21頁；丙傳給甲、乙、丁的概率分別為；丁傳給甲、乙、丙的概率分別為；傳球的路線可能是①甲乙丙乙；②甲乙甲乙；③甲乙丁乙；④甲丙甲乙；⑤甲丙丁乙；⑥甲丁甲乙；⑦甲丁丙乙.其概率為，B正確；對于C：設(shè)傳球次后，球在A隊(duì)成員手中的概率為，在B隊(duì)成員手中的概率為，則是常數(shù)列，C正確；對于D：當(dāng)傳球3次時(shí)，球在甲手中，傳球的可能路線①甲乙丙甲；②甲乙丁甲；③甲丙丁甲；④甲丙乙甲；⑤甲丁丙甲；⑥甲丁乙甲.其概率為，所以球在A隊(duì)成員手中的概率為.由C可知，傳球次后，球在A隊(duì)成員手中的概率為，在B隊(duì)成員手中的概率為，所以，整理得，所以是公比為的等比數(shù)列.當(dāng)時(shí)，，整理得，D正確；對于A：由時(shí)，球在乙手中的概率為，結(jié)合C可知球在甲手中的概率為，故兩個(gè)概率不相等，A錯(cuò)誤.故選：BCD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.已知實(shí)數(shù)滿足，則______．【答案】1【解析】第9頁/共21頁【分析】根據(jù)條件，利用指對數(shù)互換和換底公式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，則，，所以，故答案為：.13.用1，2，3，四個(gè)數(shù)組成一個(gè)五位數(shù)（每個(gè)數(shù)僅用到1___________個(gè)不同的五位數(shù)．【答案】【解析】【分析】先分兩大類，第一類為1和2相鄰，然后再按1和2的左右順序分兩小類，分別由分步乘法計(jì)數(shù)得出，第二類為1和2不相鄰，然后再按3在不在數(shù)字1和2中間分兩小類，分別由分步乘法計(jì)數(shù)得出，最后再由分類加法計(jì)數(shù)得到答案.【詳解】分兩大類進(jìn)行：第一類：數(shù)字1和2相鄰時(shí)，再分兩小類：①數(shù)字1和2相鄰且1在2的左邊，這時(shí)相當(dāng)于兩個(gè)和一個(gè)3排序，先排兩個(gè)只有一種方法如圖，再由這兩個(gè)產(chǎn)生3個(gè)空中選一個(gè)空插入3，所以共有種不同的五位數(shù)；②數(shù)字1和2相鄰且2在1的左邊，這時(shí)1，2，3的排法有2種順序如圖，此時(shí)產(chǎn)生3個(gè)空，再從這3個(gè)空中選一個(gè)空插入，所以共有種不同的五位數(shù).或第二類：數(shù)字1和2不相鄰時(shí)，再分兩小類：③數(shù)字3在數(shù)字1和2中間，此時(shí)共有兩種順序132和231如圖，再由這3個(gè)數(shù)產(chǎn)生4個(gè)空選一個(gè)空插入，所以共有種不同五位數(shù)，或④數(shù)字3不在數(shù)字1和2中間，那么只能在數(shù)字1和2中間，此時(shí)共有2種不同的排法如圖，最后3只能排首位或者末位，所以共有種不同的五位數(shù).或故一共有種不同的五位數(shù).故答案為：.第10頁/共21頁14.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為作直線交雙曲線的右半支于，且面積是面積的兩倍，則雙曲線的離心率為___________．【答案】【解析】，由可求得結(jié)果.【詳解】的面積是面積的兩倍，，設(shè)，則，由雙曲線定義知：，，，，即，解得：或，，，即，，雙曲線的離心率.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.100100第11頁/共21頁績均為不低于40分的整數(shù)）分成六組：，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖，（1）求圖中的值和樣本成績的中位數(shù)；（2）已知學(xué)校用分層抽樣的方法，從，兩組內(nèi)抽取了7份試卷作為優(yōu)秀試卷，并從對應(yīng)的學(xué)生中隨機(jī)選取3內(nèi)的有的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1），中位數(shù)為75（2）分布列見解析，【解析】1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有矩形面積為1即可求得a，再由頻率分布直方圖求中位數(shù)；（2）根據(jù)分層抽樣得出每組的人數(shù)，再根據(jù)超幾何分布的概率公式求出相應(yīng)的概率即可得分布列以及數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】∵每組小矩形的面積之和為1，∴，∴成績落在內(nèi)的頻率為，成績落在內(nèi)的頻率為，∴中位數(shù)落在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，即中位數(shù)為75．【小問2詳解】第12頁/共21頁故的可能取值為0，1，2，且012故．16.如圖，在四棱錐中，平面平面，，且四棱錐的體積為．（1）證明：；（2）求平面與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理、線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即可證明；（2）利用向量法求得二面角的余弦值，再根據(jù)同角關(guān)系式求出正弦值即可.【小問1詳解】作于，連接，因?yàn)槊婷妫婷?，面，所以面．由題意，四邊形為直角梯形，第13頁/共21頁所以．因?yàn)?，解得，由，可知，又因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，，所以，由于，面，所以面．因?yàn)槊?，所以．【小?詳解】設(shè)平面與平面所成角為，如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）可知：，易知，是面的法向量，設(shè)是面的法向量，則，取，得到，則，所以，第14頁/共21頁所以平面與平面所成角的正弦值為．17.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，定義點(diǎn)（其中．（i）求的值；（ii）證明：．【答案】（1）（2i）ii）證明見解析【解析】1）根據(jù)求解即可；（2i）由題知，，則ii）先證，即，則，求出即可證明．【小問1詳解】時(shí)，，時(shí)，，化簡得：，經(jīng)檢驗(yàn)得，時(shí)也滿足，故．小問2詳解】（i）由題意：，則，第15頁/共21頁所以，即．（ii）證明：由題意可知：，則，先證明以下結(jié)論：．因?yàn)?，且，所以，故．因?yàn)?，則，原式得證．18.已知拋物線的直線交于兩點(diǎn)，與軸垂直時(shí)，．（1）求拋物線的解析式；（2軸上一點(diǎn)作直線滿足三點(diǎn)共線．（i）求直線的方程；（ii）求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）（2i）或ii10，0）【解析】1）由拋物線的對稱性質(zhì)可得到,繼而得到拋物線方程；（2）設(shè)，聯(lián)立拋物線方程與直線方程，結(jié)合韋達(dá)定理，(i)結(jié)合題干角的余弦值即可得到直線方程；(2)結(jié)合對稱性以及三點(diǎn)共線即可得.【小問1詳解】當(dāng)與軸垂直時(shí)，，則，第16頁/共21頁【小問2詳解】（i）由與拋物線交于兩點(diǎn)，可設(shè)，聯(lián)立方程組：得到：，得到，由韋達(dá)定理：，則，法一：因?yàn)榇肟芍?，解得：，即或．法二：因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，即．由，得，解得：，即或．（i）法一：由對稱性，不妨取，由于，故，因?yàn)椋?，?lián)立解得：，同理有：，所以，由（2）得：，代入可得：，第17頁/共21頁故，由于，故，則，即，因?yàn)?，所以，?lián)立解得：，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以在直線上，代入得：，解得：，故的坐標(biāo)為（10，0法二：由對稱性，不妨取，設(shè)在第一象限，聯(lián)立方程：，解得：，則：，故，因?yàn)?，所以，?lián)立方程：，解得，同理有：，可知，因?yàn)?，所以，?lián)立解得：，則：，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，代入解得：，故的坐標(biāo)為（10，019.已知函數(shù)．第18頁/共21頁（1）若，求在處的切線的方程；（2）判斷是否是函數(shù)的極值點(diǎn)，并說明理由；（3）若不等式對任意的，恒成立，求正整數(shù)的最大值．（參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）（2）不是，理由見解析（3）4【解析】1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；