第3章MATLAB的符號運算符號計算是對未賦值的符號對象(能夠是常數(shù)、變量、體現(xiàn)式)進行運算和解決。MATLAB含有符號數(shù)學工具箱(SymbolicMathToolbox)，將符號運算結合到MATLAB的數(shù)值運算環(huán)境。符號數(shù)學工具箱是建立在Maple軟件基礎上的。3.1符號體現(xiàn)式的建立3.1.1創(chuàng)立符號常量符號常量是不含變量的符號體現(xiàn)式，用sym命令來創(chuàng)立符號常量。語法： sym(‘常量’) %創(chuàng)立符號常量

例如：>>a=sym('sin(2)')a=sin(2)3.1.2創(chuàng)立符號變量和體現(xiàn)式1.使用sym命令創(chuàng)立符號變量和體現(xiàn)式語法： sym(‘體現(xiàn)式’)%創(chuàng)立符號體現(xiàn)式符號變量名=sym(‘體現(xiàn)式’)%符號體現(xiàn)式賦給

符號變量2.使用syms命令創(chuàng)立符號變量和符號體現(xiàn)式——syms用于創(chuàng)立多個符號變量語法： syms(‘arg1’,‘arg2’,…,參數(shù))

%把字符變量定義為符號變量 symsarg1arg2…,參數(shù)

%把字符變量定義為符號變量的簡潔形式【例】使用syms命令創(chuàng)立符號變量和符號體現(xiàn)式。symsabcx %創(chuàng)立多個符號變量f2=a*x^2+b*x+c %創(chuàng)立符號體現(xiàn)式f2=a*x^2+b*x+csyms('a','b','c','x')f3=a*x^2+b*x+c; %創(chuàng)立符號體現(xiàn)式3.1.3符號矩陣用sym和syms命令也能夠創(chuàng)立符號矩陣。例如，>>A=sym('[a,b;c,d]')A=[a,b][c,d]>>symsabcdA=[ab;cd]A=[a,b][c,d]3.2符號體現(xiàn)式的代數(shù)運算符號運算與數(shù)值運算的區(qū)別重要有下列幾點：符號運算不需要進行數(shù)值運算，不會出現(xiàn)截斷誤差，因此符號運算是非常精確的。符號運算能夠得出完全的封閉解或任意精度的數(shù)值解。符號運算的時間較長，而數(shù)值型運算速度快。3.2.1符號體現(xiàn)式的代數(shù)運算1.符號運算中的運算符(1)基本運算符運算符“＋”，“－”，“*”，“\”，“/”，“^”分別實現(xiàn)符號矩陣的加、減、乘、左除、右除、求冪運算。運算符“.*”，“./”，“.\”，“.^”分別實現(xiàn)符號數(shù)組的乘、除、求冪，即數(shù)組間元素與元素的運算。運算符“′”，“.′”分別實現(xiàn)符號矩陣的共軛轉置、非共軛轉置。(2)關系運算符在符號對象的比較中，沒有“不不大于”、“不不大于等于”、“不大于”、“不大于等于”的概念，而只有與否“等于”的概念。運算符“==”、“~=”分別對運算符兩邊的符號對象進行“相等”、“不等”的比較。當為“真”時，比較成果用1表達；當為“假”時，比較成果則用0表達。2.函數(shù)運算(1)三角函數(shù)和雙曲函數(shù)三角函數(shù)涉及sin、cos、tan；雙曲函數(shù)涉及sinh、cosh、tanh；三角反函數(shù)除了atan2函數(shù)僅能用于數(shù)值計算外，其它的asin、acos、atan函數(shù)在符號運算中與數(shù)值計算的使用辦法相似。(2)指數(shù)和對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)sqrt、exp的使用辦法與數(shù)值計算的完全相似；對數(shù)函數(shù)在符號計算中只有自然對數(shù)log(表達ln)，而沒有數(shù)值計算中的log2和log10。(3)復數(shù)函數(shù)復數(shù)的共軛conj、求實部real、求虛部imag和求模abs函數(shù)與數(shù)值計算中的使用辦法相似。但注意，在符號計算中，MATLAB沒有提供求相角的命令。(4)矩陣代數(shù)命令MATLAB提供的慣用矩陣代數(shù)命令有diag，triu，tril，inv，det，rank，poly，eig、expm等，它們的使用方法幾乎與數(shù)值計算中的狀況完全同樣?！纠壳缶仃嚨男辛惺街怠⒎枪曹椶D置和特性值。

symsa11a12a21a22A=[a11a12;a21a22] %創(chuàng)立符號矩陣A=[a11,a12][a21,a22]det(A) %計算行列式ans=a11*a22-a12*a21A.' %計算非共軛轉置ans=[a11,a21][a12,a22]eig(A) %計算特性值【例】符號體現(xiàn)式f=2x2+3x+4與g=5x+6的代數(shù)運算。f=sym('2*x^2+3*x+4')f=2*x^2+3*x+4g=sym('5*x+6')g=5*x+6f+g %符號體現(xiàn)式相加ans=2*x^2+8*x+10f*g %符號體現(xiàn)式相乘ans=(2*x^2+3*x+4)*(5*x+6)1.自由變量的擬定原則小寫字母i和j不能作為自由變量。符號體現(xiàn)式中如果有多個字符變量，則按照下列次序選擇自由變量：首先選擇x作為自由變量；如果沒有x，則選擇在字母次序中最靠近x的字符變量；如果與x相似距離，則在x背面的優(yōu)先。大寫字母比全部的小寫字母都靠后。2.findsym函數(shù)如果不擬定符號體現(xiàn)式中的自由符號變量，能夠用findsym函數(shù)來自動擬定。語法：findsym(f,n) %擬定自由符號變量闡明：f能夠是符號體現(xiàn)式或符號矩陣；n為按次序得出符號變量的個數(shù)，當n省略時，則不按次序得出f中全部的符號變量。3.2.2符號體現(xiàn)式的操作和轉換1、符號體現(xiàn)式中自由變量的擬定2、符號體現(xiàn)式的化簡(1)pretty函數(shù)將給出排版形式的輸出成果。(2)collect函數(shù)將體現(xiàn)式中相似次冪的項合并，也能夠再輸入一種參數(shù)指定以哪個變量的冪次合并。(3)expand函數(shù)將體現(xiàn)式展開成多項式形式。(4)horner函數(shù)將體現(xiàn)式轉換為嵌套格式。(5)factor函數(shù)將體現(xiàn)式轉換為嵌套格式。(6)simplify函數(shù)運用函數(shù)規(guī)則對體現(xiàn)式進行化簡。(7)simple函數(shù)調用MATLAB的其它函數(shù)對體現(xiàn)式進行綜合化簡，并顯示化簡過程。3、符號體現(xiàn)式的替代MATLAB中，能夠通過符號替代使體現(xiàn)式的形式簡化。符號工具箱中提供了兩個函數(shù)用于體現(xiàn)式的替代：1．subexpr該函數(shù)自動將體現(xiàn)式中重復出現(xiàn)的比較長的子體現(xiàn)式或字符串用變量替代，該函數(shù)的調用格式為：subexpr(s,s1)，指定用符號變量s1來替代符號體現(xiàn)式s（能夠是矩陣）中重復出現(xiàn)的字符串。替代后的成果由ans返回，被替代的字符串由s1返回；[Y,s1]=subexpr(X,‘s1’)，該命令與上面的命令不同之處在于第二個參數(shù)為字符串，該命令用來替代體現(xiàn)式中重復出現(xiàn)的字符串。2.subs函數(shù)subs能夠用指定符號替代體現(xiàn)式中的某一特定符號。subs(s)subs(s,new)subs(s,old,new)4、求反函數(shù)和復合函數(shù)語法： finverse(f,v) %對指定自變量v的函數(shù)f(v)求反函數(shù)compose(f,g)%計算復合函數(shù)f(g(x))

5、符號體現(xiàn)式與多項式的轉換構成多項式的符號體現(xiàn)式f(x)能夠與多項式系數(shù)構成的行向量進行互相轉換，MATLAB提供了函數(shù)sym2poly和poly2sym實現(xiàn)互相轉換?！纠?】將符號體現(xiàn)式2x+3x2+1轉換為行向量。f=sym('2*x+3*x^2+1')f=2*x+3*x^2+1sym2poly(f) %轉換為按降冪排列的行向量ans=321【例2】將行向量轉換為符號體現(xiàn)式。g=poly2sym([132])%默認x為符號變量的符號體現(xiàn)式g=x^2+3*x+23.3符號極限、微積分和級數(shù)求和3.3.1符號極限假定符號體現(xiàn)式的極限存在，SymbolicMathToolbox提供了直接求體現(xiàn)式極限的函數(shù)limit，函數(shù)limit的基本使用方法如表所示。3.3.2符號微分函數(shù)diff是用來求符號體現(xiàn)式的微分。語法： diff(f) %求f對自由變量的一階微分 diff(f,t) %求f對符號變量t的一階微分 diff(f,n) %求f對自由變量的n階微分 diff(f,t,n) %求f對符號變量t的n階微分3.3.3符號積分積分有定積分和不定積分，運用函數(shù)int能夠求得符號體現(xiàn)式的積分。語法： int(f,’t’) %求符號變量t的不定積分 int(f,’t’,a,b) %求符號變量t的積分 int(f,’t’,’m’,’n’) %求符號變量t的積分闡明：t為符號變量，當t省略則為默認自由變量；a和b為數(shù)值，[a,b]為積分區(qū)間；m和n為符號對象，[m,n]為積分區(qū)間；與符號微分相比，符號積分復雜得多。由于函數(shù)的積分有時可能不存在，即使存在，也可能限于諸多條件，MATLAB無法順利得出。當MATLAB不能找到積分時，它將給出警告提示并返回該函數(shù)的原體現(xiàn)式。3.3.4符號級數(shù)1.symsum函數(shù)語法： symsum(s,x,a,b) %計算體現(xiàn)式s的級數(shù)和.闡明：x為自變量，x省略則默認為對自由變量求和；s為符號體現(xiàn)式；[a,b]為參數(shù)x的取值范疇。2.taylor函數(shù)語法： taylor(F,x,n) %求泰勒級數(shù)展開闡明：x為自變量，F(xiàn)為符號體現(xiàn)式；對F進行泰勒級數(shù)展開至n項，參數(shù)n省略則默認展開前5項?！纠壳蠹墧?shù)

1+x+x2+…+xk+…的和。

>>symsxk>>s1=symsum(1/k^2,1,10) %計算級數(shù)的前10項和

s1=1968329/1270080>>s2=symsum(1/k^2,1,inf) %計算級數(shù)和

s2=1/6*pi^2>>s3=symsum(x^k,'k',0,inf) %計算對k為自變量的級數(shù)和

s3=-1/(x-1)【例】求ex的泰勒展開式>>symsx>>s1=taylor(exp(x),8) %展開前8項

s1=1+x+1/2*x^2+1/6*x^3+1/24*x^4+1/120*x^5+1/720*x^6+1/5040*x^7>>s2=taylor(exp(x)) %默認展開前5項

s2=1+x+1/2*x^2+1/6*x^3+1/24*x^4+1/120*x^53.4符號方程的求解3.4.1代數(shù)方程語法： solve(‘eq’,’v’)%求方程有關指定變量的解 solve(‘eq1’,’eq2’,’v1’,’v2’,…)

%求方程組有關指定變量的解闡明：eq能夠是含等號的符號體現(xiàn)式的方程，也能夠是不含等號的符號體現(xiàn)式，但所指的仍是令eq=0的方程；當參數(shù)v省略時，默認為方程中的自由變量；其輸出成果為構造數(shù)組類型。3.4.2符號常微分方程語法： dsolve(‘eq’,’con’,’v’) %求解微分方程 dsolve(‘eq1,eq2…’,’con1,con2…’,’v1,v2…’)

%求解微分方程組闡明：’eq’為微分方程；’con’是微分初始條件，可??；’v’為指定自由變量，省略時則默認為x或t為自由變量；輸出成果為構造數(shù)組類型。當y是因變量時，微分方程’eq’的表述規(guī)定為：y的一階導數(shù)表達為Dyy的n階導數(shù)表達為Dny微分初始條件'con'應寫成'y(a)=b，Dy(c)=d'的格式。3.5符號積分變換3.5.1傅里葉(Fourier)變換及其反變換1.fourier變換語法： F＝fourier(f,t,w)%求時域函數(shù)f(t)的fourier變換F闡明：返回成果F是符號變量w的函數(shù)，當參數(shù)w省略，默認返回成果為w的函數(shù)；f為t的函數(shù)，當參數(shù)t省略，默認自由變量為x。2.fourier反變換語法： f=ifourier(F)%求頻域函數(shù)F的fourier反變換f(t) f=ifourier(F,w,t)【例】計算f(t)=的fourier變換F以及F的fourier反變換。>>symstw>>F=fourier(1/t,t,w) %fourier變換

F=i*pi*(Heaviside(-w)-Heaviside(w))>>f=ifourier(F,t) %fourier反變換

f=1/t>>f=ifourier(F) %fourier反變換默認x為自變量

f=1/x程序分析：其中Heaviside(t)是單位階躍函數(shù)，函數(shù)名為數(shù)學家Heaviside的名字。3.5.2拉普拉斯(Laplace)變換

及其反變換1.Laplace變換語法： F=laplace(f,t,s)%求