2023級校際聯(lián)考（一）數(shù)學試題第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】函數(shù)的定義域為，所以集合，，則.故選：D.2.曲線在處的切線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】，求導得：，所以曲線在處的切線的斜率，故選：A.3.角的始邊為x軸非負半軸，復數(shù)z滿足，且復數(shù)z對應的點在角的終邊上，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】依題意由可得，因此復數(shù)z對應的點的坐標為，即點在角的終邊上，所以可知.故選：D4.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是上的減函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】A.是偶函數(shù)，在區(qū)間上有增區(qū)間也有減區(qū)間，故A錯誤；B.函數(shù)不偶函數(shù)，在區(qū)間上單調遞增，故B錯誤；C.函數(shù)定義域為，滿足，所以函數(shù)是偶函數(shù)，，，所以函數(shù)在區(qū)間上不是減函數(shù)，故C錯誤；D.函數(shù)是偶函數(shù)，外層函數(shù)是增函數(shù)，內層函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故D正確.故選：D5.已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則使最大的的值為（）A.7 B.8 C.7或8 D.8或9【答案】C【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列為等差數(shù)列，所以（為正整數(shù)），，因為，，所以，解得，所以，最大時，，但由于為正整數(shù)，所以當或，最大.故選：C.6.將函數(shù)的圖象向左平移（）個單位后，所得的圖象仍然關于原點對稱，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【詳解】函數(shù)圖象平移后得到，其圖象關于點對稱，那么，所以，又，所以m的最小值為.故選：C7.設為正項等差數(shù)列的前n項和，若，則的最小值為（）A. B. C.9 D.5【答案】B【詳解】因為數(shù)列為正項等差數(shù)列，所以，，，可得，即，由等差數(shù)列性質可得，所以，因，，故，，則，當且僅當時等號成立.由解得，，即當，時，取得最小值為，故選：B.8.已知向量，，滿足對任意，恒有，則（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】由，則，即，即，又，則對任意，，則，即恒成立，又，故，即；對A：，故A正確；對B：，不一定為，故B錯誤；對C：，故C錯誤；對D：，不一定為，故D錯誤.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知平面向量，，則下列說法正確的是（）A.，可能垂直B.，可能共線C.若，則在方向上的投影向量為D.若，則【答案】BCD【詳解】對于A，由，得，不可能垂直，A錯誤；對于B，取，則，此時，共線，B正確；對于C，當時，，，在方向上的投影向量為，C正確；對于D，當時，，，則，D正確.故選：BCD10.已知函數(shù)部分圖象如圖所示，則下列說法正確（）A.的圖象關于點對稱B.將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象C.若在上有3個極值點，則m取值范圍是D.若方程在上有且只有一個實數(shù)根，則的取值范圍是【答案】BC【詳解】由圖知，，所以，所以，，因為，所以，所以，對于：，故錯誤；對于：，故正確；對于：，，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可得，在上有3個極值點，則，解得，故正確；對于：，，，由圖可知，在上只有一個實數(shù)根，則，故錯誤.故選：.11.在中，角所對的邊分別為，且，，為角的平分線交于，則（）A. B.的面積為C. D.【答案】ACD【詳解】對于A，結合正弦定理，由，得因,代入得即因為，所以，則，得，又，則有，，故A正確；對于B，由和正弦定理，得（是外接圓的半徑），化簡得，故的面積為，即B錯誤；對于C，因為角的平分線，則，可得，即，當且僅當時，等號成立，即，故C正確；對于D，，即，當且僅當時，等號成立，故D正確.故選：ACD第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設，，，若與的夾角為鈍角，則m的取值范圍是______．【答案】詳解】若，則，解得，當與共線時，，則，當時，，此時兩向量方向相反，故當與的夾角為鈍角時，且，故答案為：13.已知，則______．【答案】【詳解】由，由，則，，所以.故答案為：.14.已知向量滿足，且與的夾角為，設，記數(shù)列的前n項和為，則______．【答案】【詳解】由，可得，因為且與的夾角為，所以，則，又由等差數(shù)列的求和公式，可得，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應該寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在邊長為1的菱形中，，，設，．（1）用，，表示，并求；（2）若，，求實數(shù)的值．【答案】（1），；（2）.【小問1詳解】因為，所以。因為，，所以，則，所以；【小問2詳解】因為，所以，因為，所以，所以，即，解得．16.已知數(shù)列中，，記．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出；（2）設，求．【答案】（1）證明見解析，（2）【小問1詳解】由，得，即，又，所以為常數(shù)，又，所以，所以數(shù)列是公差為2，首項為－5的等差數(shù)列，．【小問2詳解】由（1）知，，當時，，所以；當時，，所以，得到．綜上，.17.已知函數(shù)．（1）若的最小正周期為．（?。┣蟮膯握{遞增區(qū)間；（ⅱ）若，且，求的值；（2）若在區(qū)間上的值域為，求的取值范圍．【答案】（1）（i）；（ii）；（2）【小問1詳解】若的最小正周期為，則，解得，所以.（i）由題意，令，，解得，，即的單調遞增區(qū)間為.（ii），，又，，，.小問2詳解】當時，，又在區(qū)間上的值域為，，解得，即的取值范圍是.18.在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，．（1）求角C的值；（2）若AB邊上的中線CD長為，求的面積；（3）求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【小問1詳解】因為，所以，整理得.因為是銳角三角形，所以，所以，所以，解得.【小問2詳解】已知，是邊上的中線，所以，在中，由余弦定理可得，即，整理得（1）.由正弦定理，，所以，又，所以，所以，所以，將代入（1）整理得，因為，所以，所以,解得，又，所以，所以是等邊三角形，【小問3詳解】由（2），所以.因為是銳角三角形，所以，解得，所以，所以，即的取值范圍為.19.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)在上的最值；（2）若，對，求證：；（3）若是函數(shù)的極小值點，求的取值范圍.【答案】（1）在上的最小值為，最大值為（2）證明見解析（3）【小問1詳解】若，故當時，單調遞減；當時，單調遞增；而，故在上的最小值為，最大值為.【小問2詳解】法一：若，令，則，令，則，令，則，則在上單調遞增，所以，即，則在上單調遞增，所以，即，則在上單調遞增，所以，所以當時，，即.法二：若，故在上單調遞增，所以當時，，即.令，則，故在上單調遞增，所以，即當時，