第1頁/共1頁2023北京重點(diǎn)校高一（上）期末數(shù)學(xué)匯編平面向量基本定理及坐標(biāo)表示一、單選題1．（2023秋·北京房山·高一統(tǒng)考期末）已知，，則線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·北京房山·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2023秋·北京·高一校考期末）已知向量，，，若，則（

）A． B． C． D．二、填空題4．（2023秋·北京·高一校考期末）根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，以直角三角形的三條邊為邊長作正方形，從斜邊上作出的正方形的面積正好等于在兩直角邊作出的正方形面積之和.現(xiàn)在對直角三角形按上述操作作圖后，得如圖所示的圖形.若，則__________.5．（2023秋·北京房山·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，則________．6．（2023秋·北京房山·高一統(tǒng)考期末）已知向量，非零向量滿足，請寫出的一個坐標(biāo)________．三、解答題7．（2023秋·北京·高一?？计谀┤鐖D所示，在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段靠近的三等分點(diǎn).過點(diǎn)的直線與邊分別交于點(diǎn).設(shè)，其中.(1)試用與表示，寫出過程；(2)求證：為定值，并求此定值.8．（2023秋·北京·高一北京師大附中?？计谀┰谥?，為邊上的點(diǎn)，且滿足.(1)若為邊長為2的等邊三角形，，求；(2)若，求；(3)若，求的最大值；(4)若將“為邊上的點(diǎn)”改為“在的內(nèi)部（包含邊界）”，其它條件同（1），則是否為定值？若是，則寫出該定值；若不是，則寫出取值范圍.（不需要說明理由）9．（2023秋·北京西城·高一北京八中?？计谀┤鐖D，在平行四邊形中，設(shè)．試用求表示及．10．（2023秋·北京豐臺·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，，．設(shè)，．(1)用，表示，；(2)用向量的方法證明：A，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線．11．（2023秋·北京房山·高一統(tǒng)考期末）已知向量，不共線，且，，．(1)將用，表示；(2)若，求的值；(3)若，求證：A，B，C三點(diǎn)共線．

參考答案1．D【分析】通過線段的點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出線段中點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】在線段中，，∴線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D.2．A【分析】利用向量平行的坐標(biāo)表示判斷即可.【詳解】若，則，，,則；若，則，解得，“”是“”的充分不必要條件，故選：A.3．B【分析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?，，，所以，又，所以，解?故選：B4．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，標(biāo)出各個點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.【詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，分別以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為，則正方形的邊長為，正方形邊長為可知，，，則，，即又，即，即，化簡得故答案為：5．【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算即得.【詳解】因?yàn)?，，所?故答案為：.6．(答案不唯一)【分析】設(shè)出向量的坐標(biāo)，根據(jù)題意可得，進(jìn)而即得.【詳解】設(shè)向量，，由，可得，，又，所以，令，可得，所以向量的坐標(biāo)可為.故答案為：.7．(1)，(2)【分析】（1）由平面向量基本定理可得答案；（2）由平面向量基本定理、向量的三點(diǎn)共線可得答案.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)是邊的中點(diǎn)，所以，；（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，可得為定值.8．(1)(2)(3)(4)不是定值，理由見解析【分析】（1）分別是的中點(diǎn)，的夾角為，，，計(jì)算即可；（2）若，則距離是近的三等分點(diǎn)，是距離近的三等分點(diǎn)，則由可得，從而求出；（3），，，且，由，，令，由函數(shù)的單調(diào)性定義可得在上單調(diào)遞增，可求出的最大值；（4）以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，，設(shè)，，可得點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的三角形內(nèi)部的圓弧上，包括與三角形的邊上的兩個交點(diǎn)，點(diǎn)在三角形內(nèi)部線段的垂直平分線上，包括點(diǎn)和的中點(diǎn)，取點(diǎn)、點(diǎn)特殊位置可得答案.【詳解】（1）若為邊長為2的等邊三角形，，則分別是的中點(diǎn)，的夾角為，，，所以；（2）若，則距離是近的三等分點(diǎn)，是距離近的三等分點(diǎn)，則，所以，；（3）因?yàn)椋?，，，因?yàn)椋?，且，所以，，，令，設(shè)，所以，因?yàn)?，所以，所以，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)即時有最大值為；（4）以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線為軸，的垂直平分線為軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，因?yàn)?，所以，，化簡得，，所以點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的三角形內(nèi)部的圓弧上，包括與三角形的邊上的兩個交點(diǎn)，并且都為所在邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在三角形內(nèi)部線段的垂直平分線上，包括點(diǎn)和的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)H，與點(diǎn)重合時，，，所以，而當(dāng)時，由（1），故不是定值.，所以向量與的夾角為，設(shè)，則，，則，所以，而，可得，所以.9．【分析】結(jié)合圖形關(guān)系，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】在平行四邊形中,,所以進(jìn)而得10．(1)，；(2)答案見詳解.【分析】（1）根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，可得，由結(jié)合已知可得；（2）根據(jù)可推出，即.再根據(jù)有公共點(diǎn)，可證得三點(diǎn)共線.【詳解】（1）解：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，可得..（2）證明：由（1）知，，所以，所以，所以，，共線.又直線，直線有公共點(diǎn)，所以，，，三點(diǎn)共線.11．(1)；(2)；(3)詳見解析.【分析】（1）根據(jù)向量的減法運(yùn)算即得；（2）根據(jù)向量共線定理