第1頁(yè)/共1頁(yè)2023北京重點(diǎn)校高一（上）期末數(shù)學(xué)匯編函數(shù)的概念與性質(zhì)章節(jié)綜合一、單選題1．（2023秋·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)定義域?yàn)椋敲础昂瘮?shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”是“，都存在，使得成立”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023秋·北京·高一北京師大附中校考期末）已知.若對(duì)于，均有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·北京朝陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，在其定義域上單調(diào)遞增且值域?yàn)榈氖牵?/p>

）A． B． C． D．4．（2023秋·北京昌平·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．5．（2023秋·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列關(guān)系式中成立的是（

）A． B．C． D．6．（2023秋·北京·高一北京師大附中?？计谀┫铝泻瘮?shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．7．（2023秋·北京東城·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的圖象關(guān)于（

）A．x軸對(duì)稱 B．y軸對(duì)稱 C．原點(diǎn)對(duì)稱 D．直線對(duì)稱8．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）設(shè)為上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．二、填空題9．（2023秋·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的值域是___________．10．（2023秋·北京昌平·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且在上是減函數(shù)，則符合條件的函數(shù)的解析式可以是__________.（寫出一個(gè)即可）11．（2023秋·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則________．12．（2023秋·北京西城·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，都有，給出給出下列四個(gè)結(jié)論：①或；②一定不是偶函數(shù)；③若，且在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增；④若有最大值，則一定有最小值．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是______________．13．（2023秋·北京·高一清華附中?？计谀┮阎瘮?shù)經(jīng)過點(diǎn)，則不等式的解集為___________．14．（2023秋·北京大興·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則___________．三、解答題15．（2023秋·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是高為2的等腰梯形．(1)求兩條腰OC，AB所在直線方程；(2)記等腰梯形位于直線左側(cè)的圖形的面積為．①當(dāng)時(shí)，求圖形面積的值；②試求函數(shù)的解析式，并畫出函數(shù)的圖象．16．（2023秋·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義進(jìn)行證明；(2)設(shè)，若，，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．17．（2023秋·北京西城·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，對(duì)于區(qū)間，若滿足以下兩條性質(zhì)之一，則稱I為的一個(gè)“區(qū)間”．性質(zhì)1：對(duì)任意，有；性質(zhì)2：對(duì)任意，有．(1)分別判斷區(qū)間是否為下列兩函數(shù)的“區(qū)間”（直接寫出結(jié)論）；①；

②；(2)若是函數(shù)的“區(qū)間”，求m的取值范圍；(3)已知定義在上，且圖象連續(xù)不斷的函數(shù)滿足：對(duì)任意，且，有．求證：存在“區(qū)間”，且存在，使得不屬于的所有“區(qū)間”．18．（2023秋·北京西城·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；(2)證明函數(shù)在上是減函數(shù)；(3)寫出函數(shù)在上的單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）．19．（2023秋·北京懷柔·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，，若(1)求值；(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并用定義給出證明；(3)用定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞增．20．（2023秋·北京懷柔·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)(1)若不等式的解集為，求的最小值；(2)若且，求方程兩實(shí)根之差的絕對(duì)值．21．（2023秋·北京西城·高一北京八中?？计谀┮阎瘮?shù)，（）．(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍；(3)若對(duì)任意，存在，使得，求的取值范圍．四、雙空題22．（2023秋·北京房山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)開_______；若在定義域上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________．

參考答案1．A【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)分別驗(yàn)證充分性與必要性是否成立，即可得答案.【詳解】解：函數(shù)定義域?yàn)镈，若函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則，則，且，所以，都存在，使得滿足，即成立，故充分性成立；若函數(shù)，其定義域?yàn)?，滿足，都存在，使得成立，但是函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱，故必要性不成立；故“函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”是“，都存在，使得成立”的充分不必要條件.故選：A.2．C【分析】將成立轉(zhuǎn)化成恒成立的問題，構(gòu)造函數(shù)，然后分類討論，即可求出的取值范圍.【詳解】解：由題意在中，對(duì)稱軸函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，∵對(duì)于，均有成立即對(duì)于，均有恒成立在中，對(duì)稱軸，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)減函數(shù)在上單調(diào)減∴解得當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增函數(shù)在上單調(diào)減∴∴解得當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)增函數(shù)在上單調(diào)減∴∴故不符題意，舍去.當(dāng)即時(shí)函數(shù)在上單調(diào)增，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，∴解得當(dāng)即時(shí)函數(shù)在上單調(diào)增，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，此時(shí)，∴符合題意當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)增函數(shù)在上單調(diào)增∴此時(shí)∴符合題意綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查恒成立問題，二次函數(shù)不同區(qū)間的單調(diào)性，以及分類討論的思想，具有很強(qiáng)的綜合性.3．B【分析】分別求出每個(gè)選項(xiàng)的單調(diào)性和值域即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，在定義域上單調(diào)遞增且值域?yàn)?，故A不正確；對(duì)于B，在定義域上單調(diào)遞增值域?yàn)椋蔅正確；對(duì)于C，由雙勾函數(shù)的圖象知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故C不正確；對(duì)于D，的值域?yàn)?，故D不正確.故選：B.4．B【分析】利用題意先得到，，然后利用奇函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】由可得，，對(duì)于A，令，定義域?yàn)?，因?yàn)椋圆皇瞧婧瘮?shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以是奇函?shù)，故B正確；對(duì)于C，由于，定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于，定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：B5．D【分析】由條件可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以自變量的絕對(duì)值越大函數(shù)值越大，再根據(jù)，可得，進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故自變量的絕對(duì)值越大，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大，又，所以，故選：.6．D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，結(jié)合冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)分析即得.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于B，函數(shù)定義域?yàn)镽，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于C，函數(shù)在為單調(diào)遞減函數(shù)，不符合題意；對(duì)于D，函數(shù)，由，所以函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，符合題意.故選：D.7．C【分析】求出，可知，可得函數(shù)為奇函數(shù)，進(jìn)而得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，所以有，所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.故選：C.8．D【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)即可得解.【詳解】為上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，得：或解得.故選：D9．【分析】對(duì)二次函數(shù)配方，結(jié)合單調(diào)性得函數(shù)的值域.【詳解】，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，所以值域?yàn)?故答案為：.10．（答案不唯一）【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得.【詳解】的定義域?yàn)椋氲阶鞣帜?，，說明函數(shù)為偶函數(shù)，所以的指數(shù)為偶數(shù)，所以想到冪函數(shù)，驗(yàn)證在單調(diào)遞減成立.故答案為：（答案不唯一）11．【分析】根據(jù)題意，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)即可求出函數(shù)的解析式，然后將代入即可求解.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，則，所以，則，故答案為：.12．①③【分析】根據(jù)所給性質(zhì)直接計(jì)算可判斷①，取特殊函數(shù)判斷②，利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷③，取特殊函數(shù)判斷④.【詳解】因?yàn)?，都有，所以，即或，故①正確；不妨取，則，即恒成立，所以是偶函數(shù)，故②錯(cuò)誤；設(shè)，且，則，所以，即，所以，即在上單調(diào)遞增，故③正確；不妨取，則滿足，函數(shù)有最大值1，但是無最小值，故④錯(cuò)誤.故答案為：①③13．【分析】首先代入求出，則，利用函數(shù)單調(diào)性即可得到不等式，解出即可.【詳解】由題意得，解得，故，則即為，根據(jù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則有，解得，故解集為，故答案為：.14．4【分析】由冪函數(shù)圖象所過點(diǎn)求出冪函數(shù)解析式，然后計(jì)算函數(shù)值．【詳解】設(shè)，則，，即，所以．故答案為：415．(1)腰OC所在直線方程為，腰AB所在直線方程為；(2)①，②，圖象見解析.【分析】(1)由已知，解三角形求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求其方程；(2)①解三角形結(jié)合三角形面積公式求時(shí)的解析式，由此求時(shí)，的值；②分別在條件，，下求，由此可得函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的圖象．【詳解】（1）過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，又，，所以四邊形為矩形，且，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，，所以，，所以，設(shè)直線的方程為，則，所以，所以腰OC所在直線方程為，設(shè)直線的方程為，則，所以，所以腰AB所在直線方程為，（2）①當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)分別為，則，所以，所以，又，所以，所以故當(dāng)時(shí)，，②由①知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)分別為，則，由已知四邊形為矩形，所以，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)分別為，則，所以，所以，又，所以，所以，所以，作函數(shù)的圖象可得16．(1)單調(diào)遞增，證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義證明即可；（2）由函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)值域，若，，使得可轉(zhuǎn)化為值域的包含關(guān)系，建立不等式求解即可.【詳解】（1）在區(qū)間上的單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)且，則，因?yàn)?，所以，，，所以，即，所以在區(qū)間上的單調(diào)遞增.（2）由（1）知時(shí)，，即時(shí)，f(x)的值域，因?yàn)楫?dāng)時(shí)為減函數(shù)，所以，若，，使得，則,即，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為17．(1)①是，②不是；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)新定義直接判斷即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)是函數(shù)的“區(qū)間”確定其滿足性質(zhì)1，據(jù)此分類討論求二次函數(shù)值域，檢驗(yàn)即可得解；（3）由所給函數(shù)性質(zhì)分析出滿足性質(zhì)2，轉(zhuǎn)化為不恒成立，存在“區(qū)間”，再構(gòu)造函數(shù)，證明有唯一零點(diǎn)，且.【詳解】（1）對(duì)①，當(dāng)，，滿足性質(zhì)1，是函數(shù)的“區(qū)間”，對(duì)②，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故不滿足性質(zhì)1,2，不是函數(shù)的“區(qū)間”.（2）記，，注意到，因此，若為函數(shù)的“區(qū)間”，則其不滿足性質(zhì)②，必滿足性質(zhì)①，即.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，所以不包含于，不合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以，不合題意.綜上，.（3）對(duì)于任意區(qū)間，記，依題意，在上單調(diào)遞減，則.因?yàn)?，所以，即S的長(zhǎng)度大于的長(zhǎng)度，故不滿足性質(zhì)①.因此，如果為的“Q區(qū)間”，只能滿足性質(zhì)②，即，即只需存在使得，或存在使得.因?yàn)椴缓愠闪ⅲ陨鲜鰲l件滿足，所以一定存在“Q區(qū)間".記，先證明函數(shù)有唯一零點(diǎn)；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.若，則為的唯一零點(diǎn)；若，則，即，由零點(diǎn)存在定理，結(jié)合單調(diào)性，可知存在唯一，使得；若，則，即，由零點(diǎn)存在定理，結(jié)合單調(diào)性，可知存在唯一，使得；綜上，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，即，已證的所有“Q區(qū)間”都滿足條件②，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)所給函數(shù)的新定義，理解應(yīng)用新定義，是解決問題的關(guān)鍵，其中注意分類討論思想、特殊化思想的應(yīng)用，屬于難題.18．(1)為奇函數(shù)，證明見解析(2)證明見解析(3)函數(shù)在上的單調(diào)遞減【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷與證明即可；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義，取值、作差（變形）、定號(hào)、下結(jié)論等步驟進(jìn)行證明即可；（3）結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性直接判斷即可.【詳解】（1）解：為奇函數(shù)，理由如下：函數(shù)，定義域?yàn)?，所以，則，所以為奇函數(shù).（2）證明：任取，且，則，因?yàn)椋运?，即，故函?shù)在上是減函數(shù).（3）解：由（1）知函數(shù)為上的奇函數(shù)，由（2）知函數(shù)在上是單調(diào)遞減所以函數(shù)在上的單調(diào)遞減.19．(1)；(2)奇函數(shù)，理由見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）將給定自變量及對(duì)應(yīng)函數(shù)值代入計(jì)算即可.（2）利用奇偶函數(shù)的定義直接判斷作答.（3）利用函數(shù)單調(diào)性定義，按步驟推理作答.【詳解】（1）函數(shù)中，因?yàn)?，則有，解得，所以.（2）由（1）知，函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)定義域?yàn)?，，所以函?shù)是奇函數(shù).（3），且，，因?yàn)?，則，即有，因此，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.20．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定一元二次不等式解集，求出函數(shù)的解析式，再求出二次函數(shù)最小值作答.（2）根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的解析式，再求出方程的二根即可作答.【詳解】（1）不等式，即的解集為，于是得是方程的二根，即有，且，解得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的最小值是.（2）因?yàn)榍?，則有，解得，因此，方程，即的二根為，所以程兩實(shí)根之差的絕對(duì)值為.21．(1)或(2)(3)【分析】（1）將代入不等式，解該一元二次不等式即可；（2）轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題，利用即可解得參數(shù)的范圍；（3）對(duì)任意，存在，使得，轉(zhuǎn)化為的值域包含于的值域.同時(shí)對(duì)值域的求解，需要根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸與閉區(qū)間的相對(duì)位置進(jìn)行討論，最終解不等式組求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由得，即，解得或．所以不等式的解集為或．（2）由得，即不等式的解集是．所以，解得．所以的取值范圍是．（3）當(dāng)時(shí)，．又．①當(dāng)，即時(shí)，對(duì)任意，