第3章三視圖與表面展開圖

3.1投影（4大題型）

分層練習(xí)

基礎(chǔ)練

考查題型01平行投影

1.（2023上?全國?九年級專題練習(xí)）三根等高的木桿豎直立在平地上，其俯視圖如圖所示，在某一時刻三根

木桿在太陽光下的影子合理的是（）

【答案】C

【分析】本題考查了平行平行投影，根據(jù)三根等高的木桿豎直立在平地上，在某一時刻三根木桿在太陽光

下的影子應(yīng)該同方向、長度相等且平行，據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：A、在某一時刻三根木桿在太陽光卜.的影子的方向應(yīng)該一致，故本選項錯誤，不符合題意；

B.在某一時刻三根等高木桿在太陽光下的影子的長度應(yīng)該相同，故本選項錯誤，不符合題意；

C.在某一時刻三根木桿在太陽光下的影子合理，故本選項正確，符合題意：

D、在某一時刻三根木桿在太陽光下的影子的方向應(yīng)該互相平行，故本選項錯誤，不符合題意.

故選：C.

2.（2023上?江蘇揚州?九年級校考期中）小王的身高是1.6m,他在陽光下的影長是1.2m,在同一時刻測得

某棵樹的影長為3.6m,則這棵樹的高度約為（）m

A.2.4B.3.6C.4.8D.7.2

【答案】c

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，設(shè)這棵樹的高度為根據(jù)同一時刻物體的高度和物體的影

長成比例建立方程｛4=三，解方程即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)這棵樹的高度為所，

回同一時刻，物高與影長成正比例，

1.6x

0—=一，

1.23.6

解得x=4.8,

團設(shè)這棵樹的高度為4.8m,

故選C

3.（2023上?陜西西安?九年級?？计谥校〧I馨是我國古代利用FI影測定時刻的儀器，其原理就是利用太陽的

投影方向來測定并劃分時刻，輕針在唇面上所形成的投影屬于投影.（填寫“平行"或"中心"）

【答案】平行

【分析】本題考查的是平行投影的概念，根據(jù)太陽光是平行光線可以判定唇針在唇面上所形成的投影屬于

平行投影.

【詳解】解：因為太陽光屬于平行光線，而日辱利用日影測定時刻，所以唇針在唇面上所形成的投影屬于

平行投影.

故答案為：平行.

4.（2023?福建三明?九年級永安市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）樹/U?和木桿CD在同?時刻的投影如圖所示，

木桿CO高2m,影子。石長4m；若樹的影子8E長10m,則樹人4高多少??？

【答案】樹4B高為5m.

【分析】本題考查的知識點是平行投影，解題關(guān)鍵是從實際問題中整理出平行線段.

根據(jù)樹和杠桿平行列出比例式代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可求解.

【詳解】由題意得：AB與平行，

,ABCD

正一而‘

CD=2m，DE=4m，BE=1Om，

CD?

/.AB=xfi￡=—xl（）=5m,

DE4

故樹A3高為5m.

考查題型02中心投影

1.（2023上?河南鄭州?九年級?？计谥校┫铝心姆N影子不是中心投影（）

A.月光下房屋的影子B.晚上在房間內(nèi)墻上的手影

C.都市霓虹燈形成的影子D.皮影戲中的影子

【答案】A

【分析】本題考查中心投影，由同一點（點光源）發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影，由此即可判斷.關(guān)

鍵是掌握中心投影定義.

【詳解】解：晚上在房間內(nèi)墻上的手影，都市冤虹燈形成的影子，皮影戲中的影子，是中心投影，

月光下房屋的影子是平行投影，不是中心投影.

故選：A.

2.（2023上?全國?九年級專題練習(xí)）一塊三角形板ABC,BC=12cm,AC=10cm,測得8c邊的中心投影

長為24cm,則AC邊的中心投影A?的長為（）

A.24cmB.20cmC.15cmD.5cm

【答案】B

【分析】由投影得△ABCSAA/C，由相似性質(zhì)得AG：AC=8C：BC=2:1,求得AG=20cm.

H

。5

（2）解：根據(jù)題意知：AOrAM,AM=20步，"月二4步，MN=PB=1.5m,

.MN//AO,

:._PMNPAO,

MNMPu”1.54

AOPAAO20+4

解得AO=9；

PB//AO,

.=QPB~_QAO,

PBPQ1.5PQ

----=---即ih—=--------,

AOAQ924+P0

24

解得PQ=g：

答：估計路燈AO的高為9米，影長PQ為24?步.

考查題型03正投影

1.（2023下?全國?九年級專題練習(xí)）把一個正六棱柱如圖水平放置，一束水平方向的平行光線照射此正六棱

柱時的正投影是（）

A.B-0

【答案】B

【分析】根據(jù)正投影的特點及圖中正六棱柱的擺放位置即可直接得出答案.

【詳解】解：把一個正六枚柱如圖擺放，一束水平方向的平行光線照射此正六棱柱時的正投影是矩形.

故選:B.

【點睛】本題主要考查了正投影的性質(zhì)，一個幾何體在一個平面上的正投影是一個平面圖形.

2.（2023上?山東青島?九年級統(tǒng)考期中）如圖，一條線段A8在平面a內(nèi)的正投影為A0,A8=2&，A*=娓,

則的度數(shù)為.

【分析】本題考查平行投影，解直角三角形等知識，解題的關(guān)犍是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題.過

A作AC_L88',交89干C點.求出sin8的值，可得結(jié)論.

【詳解】解：過4作AC_L8B',交89于C點.

團線段A4在平面a內(nèi)的正投影為AB,AB=2g，NB—巫,

團Z4/V9=/8&A=90°,

□ACATT,且AC=A8'=#,則NA8C即為所求.

ra.DACx/66

AB2V22

0^5=60°.

故答案為：60°.

3.（2022上?九年級單元測試）如圖，已知線段A8=2cm,投影面為P.

圖①圖③

⑴當4B垂直于投影面P時（如圖①）,請畫出線段AB的正投影;

⑵當AB平行于投影面P時（如圖②），請畫出它的正投影，并求出正投影的長:

⑶在（2）的基礎(chǔ)上，點A不動，線段八4繞點A在垂直于投影面P的平面內(nèi)逆時針旋轉(zhuǎn)30。，請在圖③中

畫出線段43的正投影，并求出其正投影的長.

【答案】（1）畫圖見解析

⑵畫圖見解析，線段A8的正投影的長為2cm

⑶畫圖見解析，線段A8的正投影的長為Gem

【分析】（T）根據(jù)投影的作圖方法作圖即可：

（2）根據(jù)投影的作圖方法先作圖，再根據(jù)平行投影的性質(zhì)即可得到49=AB=2cm；

（3）根據(jù)投影的作圖方法先作圖，再在RtZXABQ中求出人力的長即可得到答案.

【洋解】（1）解：如圖①所示，即為所求；

（2）解：如圖②所示，即為所求；

團A8平行于投影面P,

團A&=A8=2cm；

（3）解:如圖③所示，即為所求；

由題意得A5=ADZA￡>B=90°,ZBAD=30°,AB=2cm,

cosZBAD=VSem.

【點睛】本題主要考查了投影，解直角三角形，正確對應(yīng)線段的投影是解題的關(guān)鍵.

考查題型04視點、視角和盲區(qū)

1.（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如圖1為五角大樓的示意圖，圖2是它的俯視圖，小紅站在地面上觀察這

個大樓，若想看到大樓的兩個側(cè)面，則小紅應(yīng)站的區(qū)域是（）

圖2

A.A區(qū)域B.B區(qū)域C.C區(qū)域D.三區(qū)域都可以

【答案】C

【分析】根據(jù)視點，視角和盲區(qū)的定義，觀察圖形，選出答案.

【詳解】由圖可知，A區(qū)域可以看到一個側(cè)面，B區(qū)域可以看到三個側(cè)面，C區(qū)域可以看到兩個側(cè)面.故選

C.

【點睛】本題考查的是視點，視角和盲區(qū)在實際中的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)，難度不大.

2.（2022上?九年級單元測試）有一個高大的五棱柱形建筑物，人站在地面上，不可能同時看到的是（）

A.2個側(cè)面B.3個側(cè)面C.1個側(cè)面D.4個側(cè)面

【答案】D

【分析】根據(jù)視點，視角和盲區(qū)的定義，畫圖解決問題.

【詳解】由圖我們可以看出，無論怎么看，都無法同時看到五棱柱的四個側(cè)面.

故選：D.

【點睛】本題主要考查對視點，視角和盲區(qū)的認識和理解.

3.（2022?九年級單元測試）電影院的座位排列時，后一排總比前一排高，并且每一橫排呈圓弧形，這是為

了.

【答案】增加視野，后面的觀眾看清屏幕，保證同一排上的人看屏幕的視角相等

【分析】從減小盲區(qū)角度可理解后一排總比前一排高，從滿足有相同的視角可理解每一橫排呈圓弧形.

【詳解】電影院的座位排列時，后一排總比前一排高是為了增加視野，后面的觀眾看清屏幕，每一橫排呈

圓弧形是利用圓周角相等，保證同一排上的人看屏幕的視角相等.

故答案為增加視野，后面的觀眾看清屏幕，保證同一排上的人看屏幕的視角相等.

【點睛】本題考查了視點、視角和盲區(qū)：把觀察者所處的位置定為一點，叫視點；人眼到視平面的距離視

固定的（視距），視平面左右兩個邊緣到人眼的連線得到的角度就是視角.視線到達不了的區(qū)域為盲區(qū).

4.（2022?九年級單元測試）現(xiàn)有m,n兩堵墻，兩個同學(xué)分別站在A處和B處，請問小明在哪個區(qū)域內(nèi)活

動才不被這兩個同學(xué)發(fā)現(xiàn)（用陰影部分的序號表示）.

③

【答案】①②③

【分析】根據(jù)圖形找出AB兩點的盲區(qū)即可

【詳解】由圖可知，①②③都在AB兩個視點的盲區(qū)內(nèi)，因此在這三處，不會被兩個同學(xué)發(fā)現(xiàn)，因此選

①②③.

【點睛】投影和視圖是本題的考點，根據(jù)圖形正確找出盲區(qū)是解題的關(guān)鍵.

5.（2023上?陜西漢中?九年級統(tǒng)考期末）如圖，為一盞路燈的燈桿，已知該路燈的燈泡P位于燈桿

上,地面上豎立著一個矩形單杠ABC。，已知單杠右側(cè)C。桿在路燈燈泡P的照射下的影子末端位于點E處,

已知0、B、C、E在一條直線上，且AB±OE,DCLOE.

0BCE

⑴請在圖中找出路燈燈泡P的位置，并畫出單杠左側(cè)桿在燈泡P的照射下的影子BF：

⑵經(jīng)測量08=4米，BF=2米,單杠的高度A8=2米，請你計算路燈燈泡距地面的高度OP.

【答案】（1）見解析

⑵6米

【分析】（1）連接EQ并延長交QW于點P,連接以并延長交。石于尸，點尸和所即為所求;

（2）先求出。產(chǎn)=6米，證明△ABFs^po尸，得到空=絲，即二_=2,則尸0=6米.

POOFPO6

【詳解】（1）解：如圖所示，點P和所即為所求；

(2)解：用。8=4米，BF=2米,

團OF=OB+B尸=6米，

^MOA.OE,AB10E,&|JPO//AB,

0MBFS^PQF,

ABBF22

I?]-------------,[1nJn-------——

PPOOOOFPO6

圖R7=6米，

回路燈燈泡距地面的高度OP為6米.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用舉例，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵.

提升練

1.（2023?河北衡水?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖是嘉淇在室外用手機力下大樹的影子隨太陽轉(zhuǎn)動情況的照片（上

午8時至下午5時之間），這五張照片拍攝的時間先后順序是（）

A.?????B.C.?@???D.?????

【答案】B

【分析】太陽的位置和高度決定了影子的方向和長短.一天中，陽光下物體的影子變化規(guī)律是上午影子由

長逐漸變短；下午影子由短逐漸變長.方向由西逐漸轉(zhuǎn)向東.

【詳解】解：一天中太陽位置的變化規(guī)律是：從東到西.太陽的高度變化規(guī)律是：低7高7低.影子位置

的變化規(guī)律是：從西到東，影子的長短變化規(guī)律是：長T短一長.根據(jù)影子變化的特點，按時間順序給這

五張照片排序是②?①??.

故選：B.

【點睛】本題主要考杳了平行投影，了解物體在陽光下影子的變化規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵.

2.（2023?福建廈門?統(tǒng)考模擬預(yù)測）手影游戲利用的物理原理是：光是沿直線傳播的.圖中小狗手影就是我

們小時候常玩的游戲.在一次游戲中，小明距離墻壁1米，爸爸拿著的光源與小明的距離為2米.在小明

不動的情況下，要使小狗手影的高度增加一倍，則光源與小明的距離應(yīng)（）

A.減少；3米B.增加3;米C.減少s1米D.增加5:米

44JJ

【答案】A

【分析】根據(jù)題意作出圖形，然后利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求解即可.

【詳解】解：如圖，點O為光源，A8表示小明的手，C。表示小狗手影，則ABCD,過點。作OE_LA8,

延長交CD于尸，則。下JLCQ,

c

B、、、、、

D

g]ABCD,

OE

a,.AOBSdCOD

嗒OF

團EF=1米，OE=2米,貝IJOb=3米,

0-AB=-O-E=—2,

CDOF3

設(shè)A8=2A,CD=3k

團在小明不動的情況下，要使小狗手影的高度增加一倍，如圖，

C

生/

?Z

Or<----F'

X

Df

即A8=2&,CD=6k,所'=1米，

團四=始」，

CD1OF3

則OF1-（7￡=2O￡=EF,

團OE=g米，

田光源與小明的距離變化為：?！?。'￡=2-g=|米，

故選：A.

【點睛】此題考查了中心投影，解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立

適當?shù)臄?shù)學(xué)模型來解答問題.

3.（2022上?山東青島?九年級統(tǒng)考期中）如圖，A片是線段AR在投影面p上的正投影，AB=20cm,

48片=70。，則投影片片的長為（)

.20

A.20sin70°cmB.20cos70°cmC.20tan70°cmD.----------cm

sin70°

【答案】A

【分析】過點人作AC于點C,根據(jù)解直角三角形即可求得.

【詳解】解：過點A作4c用于點C,

二.四邊形AAMC是矩形,

AC=,

在RtZ\A8C中，AC=ABsinZABBi=20sin70°,

.??4片=20sin70°,

故選：A.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握和運用解直角三角形的方法是解決本題的關(guān)鍵.

4.12022上?山東濟南?九年級校考階段練習(xí)）如圖所示，一電線桿/W的影子落在地面和墻壁上，同一時刻，

小明在地面上豎立一根1米高的標桿（PQ）,量得其影長（QR）為0.5米，此時他又量得電線桿A4落在地

面上的影子3。長為3米,墻壁上的影子CD高為2米,小明用這些數(shù)據(jù)很快算出了電線桿AB的高為（）

A.5米B.6米C.7米D.8米

【答案】D

【分析】在同一時刻，物體的實際高度和影長成比例，據(jù)此列方程即可解答.

【詳解】解：如圖：假設(shè)沒有墻CD,則影子落在點匕

回桿高與影長成正比例,

團CD：DE=1：0.5,

（WE=1米，

（MB：BE=1：0.5,

國BE二DD+DE=4,

AB1

團---=—,

BE0.5

(MB=8米.

故選：D.

【點睛】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是知道在同一時刻同一地點任何物體的高與其影子

長的比值相同這個結(jié)論.

5.（2022下?山東煙臺?八年級統(tǒng)考期末）如圖，樹在路燈。的照射卜.形成投影AC,已知樹的高度AB=3m,

樹影AC=4m,樹4B與路燈O的水平距離4P=6m,則路燈亶尸。的長是（）

C

A.2mB.4.5mC.7.5mD.12m

【答案】C

【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)直接求解即可.

［詳解］解：根據(jù)題意可知AB//PO,

/.ZC=ZC,4CAB=4CPO'

/.AGABcoACPO,

—,即2=幽，解得po=史=12=7.5m,

ACPC44+642

「?路燈高P。的長是7.5m,

故選：C.

【點睛】本題考查中心投影以及相似三角形的應(yīng)用，測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似三角

形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊成比例和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決.

6.（2020上?重慶?九年級重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，豎直放置的桿A8,在某一時刻形成的影子恰

好落在斜坡。的。處，而此時1米的桿影長恰好為1米，現(xiàn)量得BC為10米，CD為8米，斜坡C。與地

面成30。角，則桿A8的高度為（）

4

A.（6+4x/5）米B.（10+4指）米C.8米D.10米

【答案】A

【分析】如圖，延長48交。7的延長線于￡首先證明4E=OE,然后在Rt0CZ）r中，求出￡）7和再根

據(jù)AB=AE-8E,即可得出結(jié)論,

凱米的桿影長恰好為1米,

[^AE=DE,

易得四邊形BC7E是矩形,

團8C=￡T=10米，BE=CT,

在RtUCDT中，S0CTO=9O°,CD=8米，^CDT=30°,

（3OT=CQ?cos30°=8x立=4百（米），CT=gcD=4（米），

22

a4E=DE=ET+DT=（10+4>/3）（米），BE=CT=4（米），

a48=4E-8E=（10+4@-4=（6+46）（米），

故選:A.

【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，平行投影等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解

決問題.

7.（2022上?山東日照?九年級日照市新營中學(xué)?？茧A段練習(xí)）廣場上有旗桿如圖1所示，某學(xué)校興趣小組測

量了該旗桿的高度，如圖2,某一時刻，旗桿的影子一部分落在平臺上，另一部分落在斜坡上，測得落

在平臺上的影K4C為16米，落在斜坡上的影長CD為8米，AI3J.BC,同一時刻，太陽光線與水平面的

夾角為45。，1米的標桿仃豎立在斜坡上的影長FG為2米，則旗桿的高度為（）

【答案】B

【分析】如圖作CM〃/W交AD于何，MNJ.AB于N,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出CM,在R/Z\AMN中

利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出AN即可解決問題.

【詳解】解：如圖作CM〃A8交AD于M,MNJ.AB，N.

由趣意得AMCDs4EFG,

CMEFCMI

0——=——，HBnP------=一，

CDFG82

團CM=4米,

XGMN//BC,AB//CM,ABLBC,

（3四邊形MN8C是矩形，

團MN=8C=16米，BN=CM=4米.

團在直角一AMN中，ZAMN=45°.

圖4V=MN=16米，

回人B=/W+8V=20米.

故選B.

【點睛】本題主要考查了平行投影，矩形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，正潴作出輔助線

是解題的關(guān)鍵.

8.（2022?廣東廣州?統(tǒng)考二模）當下，戶外廣告已對我們的生活產(chǎn)生直接的影響.圖中的4。是安裝在廣告

架48上的一塊廣告牌，AC和DE分別表示太陽光線.若某一時刻廣告牌4。在地面上的影長CE=lm,BD

在地面上的影長EE=3m,廣告牌的頂端A到地面的距離Ab=20m,則廣告牌4D的高為（）

A.5mB.—mC.15mD.—m

37

【答案】A

【分析】根據(jù)太陽光線是平行的可得AC〃￡>E,從而可得△明C；接卜.來根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

可得絲=4與，代入數(shù)值求出8D的長，進而可求出廣告牌AO的高?

【詳解】解；團太陽光線是平行的,

^AC//DE,

0△BOEs^BAC,

BDBE

回-------,

BABC

由題意得：BE=3m,43=20m,EC=Im,

BD3

0---=—，

204

解得30=15m,

回AD=5m.

故選A.

【點睛】本題考查了平行投影，以及相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出相似三角形.

9.（2023上?河南鄭州?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，當太陽光與地面上的樹影成30。角時，樹影投射在墻上

的影高C。等于2米，若樹根到墻的距離8c等于8米，則樹高A8等于米（結(jié)果保留根號）.

【答案】2+巡

3

【分析】作。”_LAB,在ADH—根據(jù)勾股定理求出A”，即可求解.

【詳解】解：作OHJLA8,如圖，則D”=〃C=8m,CO=8"=2m,

由魏意得：乙4。"=30。.

團AD=2A/7,

在dAD"中，AH2+HD2=AD2^解得：AH=—

3

o/a

^AB=AH+BH=2+—m,

3

故答案為：AH=------

3

【點睛】本題考查簡單幾何問題，涉及到勾股定理，含30度角直角三角形的性質(zhì)等，正確作出輔助線是關(guān)

鍵.

10.（2020?吉林長春?統(tǒng)考二模）小華家客廳有一張直徑為1.2m,高為0.8m的圓桌A3,有一盞燈E到地面

垂直距離石尸為2m,圓桌的影子為。,尸。=2,則點。到點小的距離為

【答案】4機/4米

【分析】根據(jù)相似三角形的相似比等于對應(yīng)高的比，求出CO即可得到答案.

【詳解】解：延長K4交所于G,如圖所示：

由題意得，AB=\.2m,GF=0.Sm,EF=2m,FC=2m,

團/IBCD,

BAEAB^AECD,

團絲二型，衛(wèi)二酒

,解得CZ)=2,

CDEFCD2

0￡)F=CD+FC=24-2=4(m),

故答案為：4m.

【點睛】本題考查中心投影，正確將中心投影相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的問題是解題關(guān)鍵.

11.（2023上?湖南邵陽?九年級統(tǒng)考期末）如圖，小明晚上由路A下的3處走到C處時，測得影子。。的長

為1米，繼續(xù)往前走3米到達E處時，測得影子E/的長為2米，已知小明的身高是1.6米，那么路燈的高

【答案】6.4

【分析】根據(jù)題意可知：^〃CG〃的當小明在CG處時，RtVOCGsRtVOBA,即器’當小明

在E"處時，RtVFEH^RtVrayA,即厘=￡，由CG=E”,可得W=W，設(shè)=BC=y,可得

BFABBDBb

白=康，可得，=3,再根據(jù)需=筆，可得：問題隨之得解?

【詳解】解：如圖，根據(jù)題意可知：AB//CG//HE,

^AB//CG//HE,

當小明在CG處時，RtVOCGsRVOBA,

.CDCG

即Hl一=——

BDAR

當小明在￡77處時，RtVFEHsRtVFBA,

EFEH

即nn一=——，

BFAB

團身高不變，即CG=E〃，

CDCGEHEFHIICDEF

BDABABBFBDBF

圖CU=E〃=1.6米，C￡>=1米，CE=3米，E/=2米，

設(shè)A8=x,BC=y,

CDEFGCHE.12,_.

團一=一=—=—,即HI一;=--,H即I2z（y+1lX）=y+5,

BDBFABAB）'+l?'+57

解得：>'=3（經(jīng)檢驗，此根是原方程的解），

即根據(jù)麗=罰,可信T=P

解得，x=6.4,（經(jīng)檢驗，此根是原方程的解），

即路燈A的高度A8=6.4米.

故答案為：6.4.

【點睛】本題綜合考杳了中心投影的特點和規(guī)律以及相似三角形性質(zhì)的運用.解題的關(guān)鍵是利用中心投影

的特點可知在這兩組相似三角形中有?組公共邊，利用其作為相等關(guān)系求出所需要的線段，再求公共邊的

長度.

12.（2023上?四川成都?九年級統(tǒng)考期末）如圖是某風(fēng)車的示意圖，其大小相同的四個葉片均勻分布，點M

在旋轉(zhuǎn)中心。的正下方.某一時刻，太陽光恰好垂直照射葉片。4,OB,葉片影了?為線段C。，測得MC=8.5

米，C￡>=13米，此時垂直于地面的標桿E/與它的影子AG的比為2:3（其中點M,C,D,F,G在水平地

面上），則3/的高度為米，葉片04的長為米.

【答案】10V13

［分析］作OP〃BD，根據(jù)平行線分線段成比例定理可知PC=PD,由￡尸與影子/G的比為2：3,可得OM

的長，同法由等角的正弦可得的長，從而得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，過點。作。尸〃皿），交MG于P,過P作PN上BD于N,則OH=/W,

^AC//BD,

^AC//OP//BD,

回—=,Z.EGF=NOPM,

OBPD

^OA=OB,

□CP=PD=-CD=6.5,

2

團MP=CM+CP=8.5+6.5=15,

tailZ.EGF=tan/OPM,

JFOM2

0-----=--------=一,

FGMP3

9

0O47=-xl5=IO；

3

&DB〃EG、

田ZEGF=/NDP,

2PN

團sinNEGF=sin"DP，即~r==--,

V136.5

^OA=OB=PN=y/]3，

故答案為：10，屈.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)

鍵.

13.(2022下?山東煙臺?八年級統(tǒng)考期末)在同一時刻兩根垂直「水平地面的木竿在太陽光下的影子如圖所

示，其中木竿A8=2.5m,它的影子3C=2m,木竿22的影子有一部分落在了墻上

(MN),PM=1.6m,MN=Im,則木竿PQ的長度為.

QryrTi

A[1

匚j

Ii

NZL[ZL]

]]

_________]I

BCPM

【答案】3m

【分析】過N點作ND0PQ于。，根據(jù)同一時刻物高與影長成正比求出Q。的影長，再根據(jù)此影長列出比例

式求解即可.

【詳解】解：如圖：過N點作ND0PQ于。，

因四邊形。PMN是矩形

?DN=PM,PD=MN

~AB~~QD'

又(L48=2.5,BC=2,DN=PM=1.6,NM=\,

AB.DN2.5x1.6

回QD==2(m),

BC~T~

^PQ=QD+DP=QD+NM=2+1=3(m).

故答案為3m.

【點睛】本題考查了平行投影；在運用投影的知識解決實際問題時，要能夠從實際問題中抽象出簡單的數(shù)

學(xué)模型是解答本題的關(guān)鍵.

14.（2022上?九年級課前預(yù)習(xí)）如圖，把一塊正方形硬紙板P（記為正方形A8CQ）放在三個不同位置：三

（2）紙板傾斜F投影面；

（3）紙板垂直于投影面.

通過觀察、測量可知：

（1）當紙扳〃平行于投影面。時，〃的正投影與〃的;

（2）當紙板P傾斜于投影面B時，P的正投影與P的；

（3）當紙板P垂直于投影面B時，P的正投影成為.

【答案】形狀、大小一樣形狀、大小發(fā)生變化一條線段

15.（2019下?重慶渝中?八年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┤鐖D，小明想利用太陽光測量樓高，發(fā)現(xiàn)對面墻上

有這棟樓的影子，小明邊移動邊觀察，發(fā)現(xiàn)站到點E處時，可以使自己落在墻上的影子與這棟樓落在墻上

的影子重整且高度恰好相同.此時測得墻上影子高CD=1.2〃?，CE=0.6m,C4=30〃？（點A、E、C在同一

直線上）.已知小明身高EF是1.6F,則樓高AB為m.

【分析】過點D作DNI3AB,可得四邊形CDME、ACDN是矩形，即可證明回DFM胴DBN,從而得出BN,進而

求得AB的長.

【詳解】解：過點D作DNMB,垂足為N.交EF于M點，

回四邊形CDME、ACDN是矩形,

SAN=ME=CD=1.2m,DN=AC=30m,DM=CE=0.6m,

0MF=EF-ME=1.6-1,2=O.4m,

依題意知EF0AB,

DMMF

00DFME0DBN,——=——,

DNBN

即：絲=2^，解得：BN=20,

30BN

0AB=BN+AN=2O+1.2=21.2,

答：樓高為AB為21.2米.

【點睛】本題考查了平行投影和相似三角形的應(yīng)用，是中考常見題型，要熟練掌握.

16.（2023上?陜西西安?九年級?？茧A段練習(xí)）新學(xué)期，小華和小明被選為升旗手，為了更好地完成升旗任

務(wù)，他倆想利用測傾器和陽光下的影子來測量學(xué)校旗桿的高度小.如圖所示，旗桿直立「旗臺上的點0處，

他們的測量方法是：首先，在陽光下，小華站在旗桿影子的頂端尸處，此時，量得小華的影長依=2m,

小華身高EF=1.6m；然后，在旗桿影子上的點。處，安裝測傾器C。，測得旗桿頂端A的仰角為49。，量

得CO=0.6m,DF=6m,旗臺高8P=L2m.已知在測量過程中，點反D、F、G在同一水平直線上，點

AP、8在同一條直線上，AB.CD、所均垂直于8G.求旗桿的高度E4.（參考數(shù)據(jù)：

sin49°?0.8,cos49°?0.7,tan49°?1.2）

A

口"

、、、、、

'、'、、、、、、"cE

49%c、、、、、、、_

BDFG

【答案】旗桿的高度P4為12m

【分析】本題考查測高，涉及三角函數(shù)測高、利用太陽光測高、解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)

等知識，設(shè)科=”,在中，解直角三角形得到“。=5竺x4.3，從而求出相關(guān)線段長，內(nèi)根據(jù)

6

△ABFSAEFG,由相似列式求解即可得到答案，掌握測高題型及解法是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過C作C”_LA8,如圖所示:

A

、、、、、、、、、、E

吊F-49：A?、'、、、、J、'、、

BDFG

設(shè)*x,則A8=4Q+PA=x+L2,

,3=06,

AH=x+0.6,

‘°…八》"ccA”x+0.6-5x+3

在RlA//C中，tan49°=——=,解得“C=---,

HCHC6

2―5x+3clMcl5x+3,5x+39

BD=HC=-----,HHPrlBF=BD+DF=-----+6=-----------,

666

ARFF

在太陽光下，AABFSAEFG,W—=—,

BFFG

..v4-1.21.6

―5x+392，解得x=12,

~6~

答：旗桿的高度處為12m.

17.（2023上?廣東佛山?九年級校考階段練習(xí)）如圖，在一條馬路/上有路燈48（燈泡在點A處）和小樹CO,

某天早上9：00,路燈A8的影子頂部剛好落在點。處.

A

D

BC

⑴畫出小樹C。在這天早上9：00太陽光下的影子CE和晚上在路燈A4下的影子。”；

⑵若點￡恰為CF的中點，小樹。。高1.5米，求路燈A3的高度.

【答案】(1)見解析

(2)路燈A3的高度為3m.

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行投影，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條件是解題

的關(guān)鍵.

(1)如圖，連接4C,作/CDE=/BAC,DE交直線/于點E,連接AD并延長AD交直線/于點F,則CE,CF

分別為8在這天上九00太陽光下的影子和晚上在路燈A8F的影子;

DFFFCDDF

（2）先證明DEF^-.ACF,得到胃=三二1=,再證明△DCFs八43/，得到當=4=I；，則

AFCF2ABAF2

AB=2CD=3m.

【詳解】（1）解：如圖，連接4C,作NC￡>E=N84C,DE交宜線I千點、E,連接AO并延長交直線/

于點F,

團4>CE=N/WC=90°,NCDE=NBAC,

團△"GES”"。，

團NDEC=NAC8,

電虎〃AC,

團CE、b分別為CD在這天早上9：00太陽光卜的影子和晚上右路燈AB卜的影子.

（2）解：13點E為的中點，CO=1.5m,

^CE=EF=-CF,

2

中應(yīng)〃AC,

團,DE產(chǎn),s.Aa7?

DFEF1

團==—，

AFCF2

團ZDCF=ZAB尸=90。，ZDFC=^AFB,

CDDFI

0==-，

ABAF2

回A3=28=3m,

答：路燈A8的高度為3m.

18.（2023上?河南駐馬店?九年級駐馬店市第二初級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，亮亮、明明利用家門II路燈

的燈光來測量該路燈的高度，明吠在A處時，亮亮測得明明的影長AM為2米，明明向前走2關(guān)到8處時，

亮亮測得明明的影長3”為1米，已知明明的身高，A4'（88'）為1.72米，

洞

//

.，/

I/IJ

MAM9BC

⑴求路燈高CO

⑵在此路燈下，明明在直線MC上運動，明明應(yīng)由點A前進或后退多少米，亮亮恰好測得明明的影長是其

身高的2倍.

【答案】(1)8的長為5.16米

(2)明明應(yīng)由點4前進2.88米，亮亮恰好測得明明的影長是其身高的2倍

【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用；

(1)由題意首先判定,s.M，CD,然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例解答；

(2)根據(jù)中心投影可得離點光源越遠，則影長越長，設(shè)明明應(yīng)由點A前進x米，則AE=x,AE=2xl.72,

可得c.NE'Es..NDC,進而根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求解.

【詳解】(1)解：由題意知A4'〃8,則一M44S_MC”

A4'AM,1.722

回---=----，11IJr----=---------，

CDMCCD2+2+BC

同理，一M'BBsM'CD,

BB'MB1.72I

回=——，H即n---=------,

CDM'CCD\+BC

解得：80=2,8=5.16,

(3燈高。。的長為5.16米；

(2)解：如圖所示，依題意，EEt=2,NE=2EE,

根據(jù)中心投影可得離點光源越遠，則影長越長則明明應(yīng)由點4前進,

設(shè)明明應(yīng)由點A前進x米，則AE=x,NE=2x\.72

依陋意二NE'ES-NDC,

lEE'NE

0---=---,

CDNC

1.722x1.72

團——=---------------,

5.162xl.72+x+2+2

解得：x=2.88,

答：明明應(yīng)由點A前進2.88米，亮亮恰好測得明明的影長是其身高的2倍.

19.（2023上?陜西西安?九年級?？计谥校┤鐖D，電線桿上有盞路燈。，小明從點產(chǎn)出發(fā)，沿直線運動,

當他運動2m到達點。處時（即DF=2m）,測得影長DN=0.6m,再前進2m到達點A處時（即BD=2m）,

測得影長M8=1.6m.（圖中線段AB、CD.EF表示小明的身高，且48、CD.EF均與尸M垂直）

/CE

MBNDF

⑴請畫出路燈。的位置和小明位于r處時，在路燈燈光下的影子AG；

⑵求小明位于尸處的影長房.

【答案】⑴見解析

（2）0.4m

【分析】本題主要考查了中心投影，相似三角形的判定與性質(zhì)，將實際問題抽象到相似三角形中，利用相

似三角形的判定與性質(zhì)列方程求解是解答本題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)中心投影的定義，連接物，NC并延長，交點即為點0,連接OE并延長，交直線m;于點G,FG

即為所求；

（2）過點。作O〃_LMG「點兒先證明,歷和..CDVs。旅，得出跡=必，業(yè)=￡￡,

MHOHNHOH

MBNDFGND

從而得到7777=777,設(shè)O”=.un，列方程求解得H；OH的長，同理可得力=0，進?步列方程求解即

MHNHHGNH

可得出答案.

【詳解】（1）如圖1,作射線M4,NC,兩線相交于點O,則點。就是路燈的位置；

作射線OE交直線廠加于點G,則FG就是小明位于尸處時，在路燈燈光卜.的影子.

(2)如圖2,過點。作O〃_LMG于點兒

設(shè)DH=Am,則=(3.6+x)m,NH=(0.6+x)m,

AB//OH,

:<ABMs；OHM,

MB_AB

~MH~~OH

同理翳=黑

AB=CD,

MBND

1.60.6

3.6+x0.6+x

解得x=1.2,

?FW=2-1,2=08m,NH=06+12=18m,

設(shè)FG=ym,則HG=(0.8+y)m,

FG_EFCD_ND

同理可知

~HG~~OH~~OH~~NH

y_0.6

即

0.8+y1.8

解得y=0?4,

所以小明位于/處的影長為0.4m.

20.(2023下?河南信陽?九年級?？茧A段練習(xí))陽光明媚的天，實踐課上，亮亮準備用所學(xué)的知識測量教學(xué)

樓前一座假山A8的高度，如圖，亮亮在地面上的點尸處，眼睛貼地觀察，看到假山頂端A、教學(xué)樓頂端C

在一條直線上.此時他起身在尸處站直，發(fā)現(xiàn)自己的影子末端和教學(xué)樓的影子末端恰好重合于點G處，測

得FG=I.5米，亮亮的身高EF為1.6米.假山的底部8處因有花園圍欄，無法到達，但經(jīng)詢問和進行部分

測量后得知，8/=6米，點。、以人G在一條直線上，CD1.DG,AB1DG,EFLDG,已知教學(xué)樓CO

的高度為16米，請你求出假山的高度A4.

【分析】根據(jù)同一時刻，物高和影長對應(yīng)成比例得到===,求出OG的長，進而得到。尸的長，證明

DGFG

aABFsQF,列式求解即可.

CDEF

【詳解】解：由題意，得:

~DG~~FG

161.6

(3—―=—

DG1.5

0DG=15m,

0Z)F=ZX7-FG=13.5m,

團ABJL0G,CD1DG,

回4BCD,

亂ABFsCDF,

ABBFAB6

團==即an：一=——，

CDDF1613.5

64

（34B=-m.

9

【點睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是證明三角形相似.

21.（2023?湖北恩施??？寄M預(yù)測）如圖，小華在晚上由路燈4c走向路燈80.當他走到點P時，發(fā)現(xiàn)

他身后影子的頂部剛好接觸到路燈AC的底部；當他向前再步行12機到達點。時，發(fā)現(xiàn)他身前影子的頂部

剛好接觸到路燈8。的底部.已知小華的身高是1.6m,兩個路燈的高度都是9.6m,且AP=Q8.

C

G

48一

⑴標出小華站在戶處時，在路燈AC下的影子.

(2)求兩個路燈之間的距離.

⑶當小華走到路燈80的底部時，他在路燈4C下的影長是多少?

【答案】(1)畫圖見解析

⑵兩路燈的距崗為18m；

⑶當他走到路燈8。時，他在路燈AC下的影長是3.6m.

【分析】(1)連接CM并延長與48交于點K,從而可得答案；

⑵如圖，先證明一"”6以紅＞,利用相似比可得=即得8Q=,AB,則,A8+12+,AB=48,

6666

從而可得答案；

(3)如圖，他在路燈AC下的影子為8N,證明NBMs.NAC,利用相似三角形的性質(zhì)得=笠

BV+189.6

然后利用比例性質(zhì)求出BN即可.

【詳解】(1)解：如圖，連接CM并延長與43交于點K,線段PK即為小華站在P處時，在路燈AC下的

(2)如圖,

cD

中PM〃BD,

團▲APA/SJA