27.4正多邊形和圓第27章圓逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2正多邊形正多邊形的有關(guān)計(jì)算正多邊形的畫(huà)法知識(shí)點(diǎn)正多邊形知1－講11.正多邊形

各邊相等、各角也相等的多邊形是正多邊形.特別解讀“各邊相等，各角相等”是正多邊形的兩個(gè)基本特征，當(dāng)邊數(shù)n>3時(shí)，二者必須同時(shí)具備，缺一不可，否則多邊形就不是正多邊形.知1－講2.

圓的內(nèi)接正n邊形把圓分成n(n

≥3)等份，依次連結(jié)各分點(diǎn)得到的多邊形就是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正n邊形的外接圓.知1－講3.

正多邊形的有關(guān)概念(1)正多邊形的中心：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心.(2)正多邊形的半徑：正多邊形的外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.(3)正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角.(4)正多邊形的邊心距：正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.知1－講4.

正多邊形的對(duì)稱性任意多邊形(邊數(shù)大于3)不一定有外接圓和內(nèi)切圓，但當(dāng)多邊形是正多邊形時(shí)，一定有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，并且這兩個(gè)圓是同心圓.拓寬視野1.任意三角形都有外接圓和內(nèi)切圓，但是只有正三角形的外接圓和內(nèi)切圓是同心圓.2.所有的正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸.n為偶數(shù)時(shí)，它還是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心.知1－講知1－練例1如圖27.4-1，三角形AOB

是正三角形，以點(diǎn)O

為圓心，OA為半徑作⊙O，直徑FC∥AB，AO，BO

的延長(zhǎng)線交⊙O

于點(diǎn)D，E，求證：六邊形ABCDEF為⊙O

的內(nèi)接正六邊形.解題秘方：緊扣正多邊形的定義，結(jié)合同圓中弦、弧、圓心角的關(guān)系證明.知1－練證明：∵三角形AOB

是正三角形，∴∠AOB=∠OAB=∠OBA=60°，OB=OA.∴點(diǎn)B在⊙O

上.∵FC∥AB，∴∠

FOA=∠OAB=60°，∠COB=∠OBA=60°.∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA=60°.∴AB=BC=CD=DE=EF=FA.∴六邊形ABCDEF

為⊙O的內(nèi)接正六邊形.︵︵︵︵︵︵知1－練解法提醒：證明一個(gè)多邊形是圓內(nèi)接正多邊形的方法1.利用正多邊形的定義，證明圓內(nèi)接多邊形的每個(gè)內(nèi)角相等，每條邊相等；2.證明圓內(nèi)接多邊形各邊所對(duì)的弧相等，即證明這個(gè)多邊形的各頂點(diǎn)等分這個(gè)圓.知1－練1-1.下列圖形：(1)正三角形；(2)正方形；(3)正五邊形；(4)正六邊形；(5)線段；(6)圓；(7)菱形；(8)平行四邊形.其中既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是______________(填序號(hào))(2)(4)(5)(6)(7)知1－練1-2.若一個(gè)四邊形的外接圓與內(nèi)切圓是同心圓，則這個(gè)四邊形一定是()A.

矩形 B.

菱形C.

正方形 D.

不能確定C知2－講知識(shí)點(diǎn)正多邊形的有關(guān)計(jì)算2

知2－講

知2－講

知2－練已知正六邊形ABCDEF

的半徑為6，求這個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)a6，周長(zhǎng)l6和面積S6.例2解題秘方：巧用正六邊形的邊長(zhǎng)、半徑和邊心距的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.知2－練解：如圖27.4-2，設(shè)正六邊形ABCDEF的中心為點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O

作OG⊥AB

于點(diǎn)G，連結(jié)OA，OB.知2－練

知2－練解法技巧：構(gòu)造特殊三角形解正多邊形的方法在解決有關(guān)正六邊形和正方形的問(wèn)題時(shí)，我們往往作相鄰的兩條半徑使其與邊分別構(gòu)成等邊三角形和等腰直角三角形，然后與前面學(xué)過(guò)的勾股定理、垂徑定理及切線的性質(zhì)等知識(shí)聯(lián)系起來(lái)綜合求解.知2－練

D︵知2－練2-2.[中考·青島]如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)M在AB上，則∠CME的度數(shù)為()A.30°B.36°C.45°D.60°︵D知3－講知識(shí)點(diǎn)正多邊形的畫(huà)法3正n

邊形的畫(huà)法：將圓n等分，然后順次連結(jié)各等分點(diǎn)，即得到所要作的正n邊形.特別解讀畫(huà)正多邊形的原理是在同圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等.

知3－講2.用尺規(guī)等分圓對(duì)于一些特殊的正n

邊形，如正方形、正八邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.如圖27.4-3②.在⊙O

中，用直尺和圓規(guī)作兩條互相垂直的直徑，就可把圓周四等分，從而作出正方形，若再逐次平分各邊所對(duì)的弧，就可以作邊數(shù)逐次倍增的正多邊形，如正八邊形、正十六邊形等.知3－講知3－講特別提醒1.畫(huà)圓內(nèi)接正n邊形，實(shí)質(zhì)是找圓的n等分點(diǎn).2.用量角器等分圓是一種簡(jiǎn)單常用的方法，但邊數(shù)很大時(shí)，容易產(chǎn)生較大誤差.3.尺規(guī)作圖是一種比較準(zhǔn)確的等分圓的方法，但只限于作一些特殊的正多邊形.知3－練作一個(gè)正三角形，使其半徑為0.9cm.例3解題秘方：用量角器畫(huà)應(yīng)先求出中心角，用尺規(guī)畫(huà)則先考慮等分圓周.知3－練解：作法一(1)作半徑為0.9cm的⊙O；(2)用量角器畫(huà)∠AOB=∠BOC=120°，其中A，B，C均為圓上的點(diǎn)；(3)連結(jié)AB，BC，CA，則△ABC為所求作的正三角形,如圖27.4-4．知3－練作法二(1)作半徑為0.9cm的⊙

O；(2)作⊙O

的任一直徑AB；(3)以B

為圓心，以0.9cm為半徑作弧，交⊙O于D，E；(4)連結(jié)AD，DE，EA，則△ADE

為所求作的正三角形，如圖27.4-5.知3－練3-1.圖①是我們常見(jiàn)的地磚上的圖案，其中包含了一種特殊的