朔州市中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題易錯(cuò)專題一、中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題1．在中，，過點(diǎn)作直線，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別是），射線分別交直線于點(diǎn)．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，若與重合，則的度數(shù)為_________________（2）類比探究：如圖2，所示，設(shè)與的交點(diǎn)為M，當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，求線段的長；（3）拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)分別在的延長線上時(shí)，試探究四邊形的面積是否存在最小值，若存在，直接寫出四邊形的最小面積；若不存在，請說明理由解析：（1）60°；（2）；（3）存在，【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得：AC=A'C=2，進(jìn)而得到BC=，依據(jù)∠A'BC=90°，可得cos∠A'CB=，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；（2）根據(jù)M為A'B'的中點(diǎn)，即可得出∠A=∠A'CM，進(jìn)而得到PB=，依據(jù)tan∠BQC=tan∠A=，即可得到BQ=BC×=2，進(jìn)而得出PQ=PB+BQ=；（3）依據(jù)S四邊形PA'B′Q=S△PCQ-S△A'CB'=S△PCQ-，即可得到S四邊形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ=PQ×BC=PQ，利用幾何法或代數(shù)法即可得到S△PCQ的最小值=3，S四邊形PA'B′Q=3-．【詳解】解（1）由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，，；(2)因?yàn)镸是中點(diǎn)，所以，，，，．∵∠PCQ=∠PBC=90°，∴∠BQC+∠BPC=∠BCP+∠BPC=90°，∴∠BQC=∠BCP=∠A，，，；(3)，最小，即最小，，取PQ的中點(diǎn)G，，即PQ=2CG，當(dāng)最小時(shí)，最小，，與重合，最小，∵的最小值為，．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形以及直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)注意：旋轉(zhuǎn)變換中，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．2．如圖，在菱形中，，將邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為．過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線于點(diǎn)，連接．（探索發(fā)現(xiàn)）填空：當(dāng)時(shí)，=．的值是（驗(yàn)證猜想）當(dāng)時(shí)，中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請僅就圖的情形進(jìn)行證明；若不成立，請說明理由；（拓展應(yīng)用）在的條件下，若，當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，請直接寫出線段的長．解析：（1），；（2）當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論仍然成立，理由見解析；（3）線段的長為或．【分析】當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B′與點(diǎn)C重合，，由四邊形ABCD為菱形，可求∠ABE=90°，由，可求∠ABC=60°，=30°，由DF⊥BC，DC∥AB，∠FDC=∠EBC=30°，由sin∠FDC=sin∠EBC=，可得CF=CE，可求∠CEF=∠FDC=30°即可；當(dāng)時(shí)，中的結(jié)論仍然成立．先求，再證．最后證即可；連接，交于點(diǎn)．先求，．．分兩種情況：如圖先求，再證△B′BD∽△EBF，可得，如圖先求．再證△B′BD∽△EBF，．【詳解】當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B′與點(diǎn)C重合，∵，四邊形ABCD為菱形，CD∥AB，∴⊥AB，∴∠ABE=90°，∵，AD∥BC，∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-120°=60°，∴=∠ABE-∠ABC=90°-60°=30°，∵DF⊥BC，DC∥AB，∴DF⊥AD，∠CDA=180°-∠BAD=60°，∴∠FDC=90°-∠CDA=30°，∠FCD=90°-∠FDC=60°，∴∠FDC=∠EBC=30°，∴sin∠FDC=sin∠EBC=，∵DC=BC，∴CF=CE，∴∠CFE=∠CEF=∠FCD=30°，∴∠CEF=∠FDC=30°，∴DF=FE，∵cos∠FDC=，∴=，故答案為，．當(dāng)時(shí)，中的結(jié)論仍然成立．證明：如圖，連接．，，．，．．．，即．，，．．，線段的長為或．連接，交于點(diǎn)．，，，，∵DE=BE，∠DEB=90°，∴∠EDB=∠EBD=45°，．，∠B′EB=90°，，．，．．分兩種情況：如圖，，∵∠B′BE=∠DBF=30°，∴cos∠B′BE=cos∠DBF=，又∵∠B′BE+∠EBD=∠EBD+∠DBF，∴∠B′BD=∠EBF，∴△B′BD∽△EBF，∴，．如圖，．∵∠B′BE=∠DBF=30°，∴cos∠B′BE=cos∠DBF=，又∵∠B′BE-∠FBB′=∠DBF-∠FBB′，∴∠B′BD=∠EBF，∴△B′BD∽△EBF，∴，．綜上所述，線段的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)變換，菱形性質(zhì)，銳角三角函數(shù)值，等腰直角三角形性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，掌握圖形旋轉(zhuǎn)變換，菱形性質(zhì)，銳角三角函數(shù)值，等腰直角三角形性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．[初步嘗試]（1）如圖①，在三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，則AM與BM的數(shù)量關(guān)系為；[思考說理]（2）如圖②，在三角形紙片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，求的值；[拓展延伸]（3）如圖③，在三角形紙片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，將△ABC沿過頂點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上的點(diǎn)B′處，折痕為CM．①求線段AC的長；②若點(diǎn)O是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段OB′上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△APM沿PM折疊得到△A′PM，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，A′M與CP交于點(diǎn)F，求的取值范圍．解析：（1）AM＝BM；（2）；（3）①AC＝；②≤≤．【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．（2）利用相似三角形的性質(zhì)求出BM，AM即可．（3）①證明△BCM∽△BAC，推出由此即可解決問題．②證明△PFA′∽△MFC，推出，因?yàn)镃M=5，推出即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖①中，∵△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，∴MN垂直平分線段BC，∴CN＝BN，∵∠MNB＝∠ACB＝90°，∴MN∥AC，∵CN＝BN，∴AM＝BM．故答案為：AM＝BM．（2）如圖②中，∵CA＝CB＝6，∴∠A＝∠B，由題意MN垂直平分線段BC，∴BM＝CM，∴∠B＝∠MCB，∴∠BCM＝∠A，∵∠B＝∠B，∴△BCM∽△BAC，∴，∴，∴BM＝，∴AM＝AB﹣BM＝10﹣，∴；（3）①如圖③中，由折疊的性質(zhì)可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM，∵∠ACB＝2∠A，∴∠BCM＝∠A，∵∠B＝∠B，∴△BCM∽△BAC，∴∴，∴BM＝4，∴AM＝CM＝5，∴，∴AC＝．②如圖③﹣1中，∵∠A＝∠A′＝∠MCF，∠PFA′＝∠MFC，PA＝PA′，∴△PFA′∽△MFC，∴，∵CM＝5，∴，∵點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)，OA＝OC＝，AB′＝﹣6＝，∴≤PA′≤，∴≤≤．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．4．（了解概念）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，組成圖形的各點(diǎn)中，與點(diǎn)Р所連線段最短的點(diǎn)叫做點(diǎn)Р關(guān)于這個(gè)圖形的短距點(diǎn)，這條最短線段的長度叫做點(diǎn)Р到這個(gè)圖形的短距．（理解運(yùn)用）（1）已知點(diǎn)，以原點(diǎn)為圓心，l為半徑作，則點(diǎn)Р關(guān)于的短距點(diǎn)的坐標(biāo)是；（2）如圖，點(diǎn)，等邊三角形OAB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)B在第一象限，判斷點(diǎn)Р關(guān)于的短距點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；（拓展提升）（3）已知，，，點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，且，，若點(diǎn)Р到四邊形OACB的短距大于2，請直接寫出的取值范圍．解析：（1）(-1，0)；（2）點(diǎn)Р關(guān)于的短距點(diǎn)的個(gè)數(shù)有3個(gè)；（3）當(dāng)p＜-或2＜p＜4或p＞6+時(shí)，點(diǎn)Р到四邊形OACB的短距大于2．【分析】（1）連接PO，交于點(diǎn)M，點(diǎn)M即是點(diǎn)Р關(guān)于的短距點(diǎn)，進(jìn)而即可求解；（2）根據(jù)題意得點(diǎn)P是三角形OAB的中心，進(jìn)而即可求解；（3）由題意得點(diǎn)P，A，B在直線y=-x+6上，以點(diǎn)P為圓心，半徑長為2畫圓，分3種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長線上，圓P過點(diǎn)B時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，圓P與BC相切于點(diǎn)N，過點(diǎn)P作PM⊥y軸，③當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長線上，圓P過點(diǎn)A時(shí)，過點(diǎn)P作PM⊥y軸，分別求解，即可得到答案．【詳解】解：（1）連接PO，交于點(diǎn)M，點(diǎn)M即是點(diǎn)Р關(guān)于的短距點(diǎn)，∵，、的半徑為1，∴M(-1，0)，故答案是：(-1，0)；（2）∵點(diǎn)，等邊三角形OAB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)P是三角形OAB的中心，∴點(diǎn)P到OA，OB，OC的三條垂線段最短，三條垂線段都等于，∴點(diǎn)Р關(guān)于的短距點(diǎn)的個(gè)數(shù)有3個(gè)；（3）∵，，，∴點(diǎn)P，A，B在直線y=-x+6上，∴∠ABO=∠BAO=45°，∵點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，且，，∴∠ABC=75°-45°=30°，以點(diǎn)P為圓心，半徑長為2畫圓，如圖所示：當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長線上，圓P過點(diǎn)B時(shí)，過點(diǎn)P作PM⊥y軸，∵PB=2，∠PBM=45°，∴PM=2×=，∴p＜-時(shí)，點(diǎn)Р到四邊形OACB的短距大于2；①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，圓P與BC相切于點(diǎn)N，過點(diǎn)P作PM⊥y軸，則BP=2PN=2×2=4，PM=BP×=2，②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，圓P與OA相切于點(diǎn)N，過點(diǎn)P作PM⊥y軸，則AP=PN=2，BP=AB-AP=6-2=4，PM=BP×=4×=4，∴2＜p＜4時(shí)，點(diǎn)Р到四邊形OACB的短距大于2；③當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長線上，圓P過點(diǎn)A時(shí)，過點(diǎn)P作PM⊥y軸，則PM=（6+2）×=6+，∴p＞6+時(shí)，點(diǎn)Р到四邊形OACB的短距大于2；綜上所述：當(dāng)p＜-或2＜p＜4或p＞6+時(shí)，點(diǎn)Р到四邊形OACB的短距大于2．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形與坐標(biāo)以及圓的綜合題，根據(jù)題意畫出圖形，掌握圓與直線相切的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．在中，點(diǎn)D，E分別是邊上的點(diǎn)，．基礎(chǔ)理解：（1）如圖1，若，求的值；證明與拓展：（2）如圖2，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度，得到，連接；①求證：；②如圖3，若在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)恰好落在上時(shí)，連接，則的面積為________．解析：（1）；（2）①見詳解；②13.44【分析】（1）利用平行線分線段定理，直接求解即可；、（2）①先推出，從而得，進(jìn)而即可得到結(jié)論；②先推出AE=AE1=8，DE=D1E1=10，過點(diǎn)A作AM⊥DE于點(diǎn)M，則DM=3.6，D1E=2.8，再證明∠D1EE1=90°，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：（1）∵，，∴=；（2）①∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度，得到，∴=AD，=AE，∠BAD1=∠CAE1，∵，∴，即，∴，∴，∴；②由①可知，∴，∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)恰好落在上，∴AD1=AD=6，∠D1AE1=∠DAE=90°，∴AE=AE1=AD1=8，DE=D1E1=，過點(diǎn)A作AM⊥DE于點(diǎn)M，則DM=D1M=AD×cos∠ADE=AD×=6×=3.6，∴D1E=10-3.6×2=2.8，∵∠D1AE1=∠DAE=90°，∴∠DAD1=∠EAE1，又∵AD1=AD，AE=AE1，∴∠ADE=，∴∠AED+=∠AED+∠ADE=90°，即：∠D1EE1=90°，∴，∴的面積=D1E?EE1=×2.8×9.6=13.44．故答案是：13.44．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，平行線分線段成比例定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．6．如圖，分別為中上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)除外），連接交于點(diǎn)P，.我們約定：線段所對的，稱為線段的張角.情景發(fā)現(xiàn)（1）已知三角形是等邊三角形，，①求線段的張角的度數(shù)；②求點(diǎn)P到的最大距離；③若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線的長度稱為點(diǎn)P的路徑長，求點(diǎn)P的路徑長.拓展探究（2）在（1）中，已知是圓P的外切三角形，若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線的長度稱為點(diǎn)的路徑長，試探究點(diǎn)的路徑長與點(diǎn)P的路徑長之間有何關(guān)系？請通過計(jì)算說明.解析：（1）①120°，②點(diǎn)P到的最大距離，③；（2）點(diǎn)的路徑長與點(diǎn)P的路徑長的比值是2：1（或點(diǎn)的路徑長是點(diǎn)P的路徑長的2倍）.【分析】（1）①利用等邊三角形的性質(zhì)證△AEB與△BCF全等，得到∠EBA＝∠BCF，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠CPB的度數(shù)；②由題意可知當(dāng)PO⊥BC于點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離最大，根據(jù)垂徑定理及三角函數(shù)即可求出點(diǎn)P到BC的最大距離；③由題意知點(diǎn)P的路徑長為弧BC的長，在②的基礎(chǔ)上直接利用公式即可求出結(jié)果；（2）由題意可知張角∠CPB的度數(shù)始終為120°，可得∠CBP＋∠BCP＝60°，因?yàn)閳AP是△A'BC的內(nèi)切圓，由此可推出A'是等邊三角形ABC外接圓上優(yōu)弧BAC上的一動(dòng)點(diǎn)，其半徑為2，圓心角240°，根據(jù)弧長公式可直接求出其長度，并計(jì)算出點(diǎn)A'的路徑長是點(diǎn)P的路徑長的2倍．【詳解】解：（1）①∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴.∵，∴，.②（2）如圖所示，由于始終為，故過點(diǎn)作圓O,∴.當(dāng)于點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)P到的距離最大.∵，∴，∴，∴點(diǎn)P到的最大距離.③由②可知點(diǎn)P的路徑為的長度，即（2）點(diǎn)的路徑長與點(diǎn)P的路徑長的比值是（或點(diǎn)的路徑長是點(diǎn)P的路徑長的2倍），理由：由（1）中題意可知張角的度數(shù)始終為，可得，又因?yàn)閳AP是的內(nèi)切圓，所以，所以，所以是等邊三角形外接圓上優(yōu)弧上的一動(dòng)點(diǎn)，由題意可得等邊三角形外接圓的半徑為，點(diǎn)的路徑是優(yōu)弧的長度，即以的圓心角，半徑為的弧長，如圖，所以點(diǎn)的路徑長=，點(diǎn)的路徑長與點(diǎn)P的路徑長的比值是：，所以點(diǎn)的路徑長與點(diǎn)P的路徑長的比值是2：1（或點(diǎn)的路徑長是點(diǎn)P的路徑長的2倍）.【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，弧長公式等，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意畫出圖形.7．（問題情境）如圖1，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，連接BE、CE．求證：S平行四邊形ABCD．（說明：S表示面積）請以“問題情境”為基礎(chǔ)，繼續(xù)下面的探究（探究應(yīng)用1）如圖2，以平行四邊形ABCD的邊AD為直徑作⊙O，⊙O與BC邊相切于點(diǎn)H，與BD相交于點(diǎn)M．若AD＝6，BD＝y(tǒng)，AM＝x，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（探究應(yīng)用2）如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上，點(diǎn)F在CD上，連接AF、BF，AF與CE相交于點(diǎn)G，若AF＝CE，求證：BG平分∠AGC．（遷移拓展）如圖4，平行四邊形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在BC上，且BF：FC＝2：1，過D分別作DG⊥AF于G，DH⊥CE于H，請直接寫出DG：DH的值．解析：【問題情境】見解析；【探究應(yīng)用1】；【探究應(yīng)用2】見解析；【遷移拓展】.【分析】（1）作EF⊥BC于F，則S△BCE＝BC×EF，S平行四邊形ABCD＝BC×EF，即可得出結(jié)論；（2）連接OH，由切線的性質(zhì)得出OH⊥BC，OH＝AD＝3，求出平行四邊形ABCD的面積＝AD×OH＝18，由圓周角定理得出AM⊥BD，得出△ABD的面積＝BD×AM＝平行四邊形的面積＝9，即可得出結(jié)果；（3）作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N，同圖1得：△ABF的面積＝△BCE的面積＝平行四邊形ABCD的面積，得出AF×BM＝CE×BN，證出BM＝BN，即可得出BG平分∠AGC．（4）作AP⊥BC于P，EQ⊥BC于Q，由平行四邊形的性質(zhì)得出∠ABP＝60°，得出∠BAP＝30°，設(shè)AB＝4x，則BC＝3x，由直角三角形的性質(zhì)得出BP＝AB＝2x，BQ＝BE，AP＝BP＝2x，由已知得出BE＝2x，BF＝2x，得出BQ＝x，EQ＝x，PF＝4x，QF＝3x，QC＝4x，由勾股定理求出AF＝＝2x，CE＝＝x，連接DF、DE，由三角形的面積關(guān)系得出AF×DG＝CE×DH，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：作EF⊥BC于F，如圖1所示：則S△BCE＝BC×EF，S平行四邊形ABCD＝BC×EF，∴．（2）解：連接OH，如圖2所示：∵⊙O與BC邊相切于點(diǎn)H，∴OH⊥BC，OH＝AD＝3，∴平行四邊形ABCD的面積＝AD×OH＝6×3＝18，∵AD是⊙O的直徑，∴∠AMD＝90°，∴AM⊥BD，∴△ABD的面積＝BD×AM＝平行四邊形的面積＝9，即xy＝9，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝；（3）證明：作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N，如圖3所示：同圖1得：△ABF的面積＝△BCE的面積＝平行四邊形ABCD的面積，∴AF×BM＝CE×BN，∵AF＝CE，∴BM＝BN，∴BG平分∠AGC．（4）解：作AP⊥BC于P，EQ⊥BC于Q，如圖4所示：∵平行四邊形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，∴∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°，設(shè)AB＝4x，則BC＝3x，∴BP＝AB＝2x，BQ＝BE，AP＝BP＝2x，∵E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在BC上，且BF：FC＝2：1，∴BE＝2x，BF＝2x，∴BQ＝x，∴EQ＝x，PF＝4x，QF＝3x，QC＝4x，由勾股定理得：AF＝＝2x，CE＝＝x，連接DF、DE，則△CDE的面積＝△ADF的面積＝平行四邊形ABCD的面積，∴AF×DG＝CE×DH，∴DG：DH＝CE：AF＝．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、平行四邊形的性質(zhì)、三角形面積公式、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的判定等知識；本題綜合性強(qiáng)，需要添加輔助線，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．觀察猜想：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E在斜邊AB上，連接DE，且DE＝AE，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接EF，則＝______，sin∠ADE＝________，探究證明：（2）在（1）中，如果將點(diǎn)D沿CA方向移動(dòng)，使CD＝AC，其余條件不變，如圖2，上述結(jié)論是否保持不變？若改變，請求出具體數(shù)值：若不變，請說明理由．拓展延伸（3）如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝a，點(diǎn)D在邊AC的延長線上，E是AB上任意一點(diǎn)，連接DE．ED＝nAE，將線段DE繞著點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至點(diǎn)F，連接EF．求和sin∠ADE的值分別是多少？（請用含有n，a的式子表示）解析：（1）；；（2）不變；（3）＝；sin∠ADE＝．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定得到∠A＝∠ACE＝30°，△BEC是等邊三角形，據(jù)此求得CE的長度，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)來求EF的長度，易得答案；（2）不變．理由：如圖2，過點(diǎn)D作DG∥BC交AB于點(diǎn)G，構(gòu)造直角三角形：△ADG，結(jié)合含30度角的直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合方程求得答案；（3）如圖3，過點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義列出方程并解答．【詳解】（1）如圖1，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°．又CE＝AE，∴∠ACE＝∠A＝30°，∴∠BCE＝60°，∴△BEC是等邊三角形，∴BE＝CE．∴AE＝CE＝BE．∴AD＝AB＝CE．又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：FC＝EC，∠FCE＝90°，∴EF＝CE，∴＝＝．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝．故答案是：；；（2）不變，理由：如圖2，過點(diǎn)D作DG∥BC交AB于點(diǎn)G，則△ADG是直角三角形．∵∠DAG＝30°，DE＝AE，設(shè)DG＝x，∴∠AED＝30°，AD＝x，∠DEG＝∠DGE＝60°．∴DE＝DF＝x，sin∠ADE＝．∵∠EDF＝90°，∴EF＝x．∴＝＝．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝．（3）過點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，設(shè)AE＝x，則DE＝nx．∵∠CAB＝a，∴AG＝cosα?x，EG＝sinα?x．∴DG＝＝?x．∴AD＝cosα?x+?x．∵∠EDF＝90°，DE＝DF，∴EF＝DE＝nx．∴＝＝，sin∠ADE＝＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，作輔助線構(gòu)造直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解．9．（基礎(chǔ)鞏固）（1）如圖1，在中，M是的中點(diǎn)，過B作，交的延長線于點(diǎn)D．求證：；（嘗試應(yīng)用）（2）在（1）的情況下載線段上取點(diǎn)E（如圖2），已知，，，求；（拓展提高）（3）如圖3，菱形中，點(diǎn)P在對角線上，且，點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)，．若，，求菱形的邊長．解析：（1）證明見解析；（2）；（3）．【分析】(1)證明，即可求解；(2)過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，得到，進(jìn)而求解；(3)延長交于G，交延長線于F，連結(jié)，可得，所以，設(shè)菱形邊長為，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：，，，是的中點(diǎn)，，，．（2）由（1）得，，作，垂足為H，如圖所示：，在中，，．（3）延長交于G，交延長線于F，連結(jié)，如圖所示：過作于由，，設(shè)菱形邊長為，在和中，即，解得（舍負(fù)），菱形的邊長為．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形、勾股定理的運(yùn)用，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．綜合與實(shí)踐如圖①，在中中，，，，過點(diǎn)作于，將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，記旋轉(zhuǎn)角為．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖②，當(dāng)時(shí)，__________；如圖③，當(dāng)時(shí)，__________．（2）拓展探究試判斷：當(dāng)時(shí)，的大小有無變化？請僅就圖④的情形給出證明．（3）問題解決如圖⑤，當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)落在邊上時(shí)，求線段的長．解析：（1），；（2）無變化，理由詳見解析；（3）．【分析】（1）首先利用勾股定理可求出AB的值，再根據(jù)三角形面積求出CD的值，再次利用勾股定理求出AD、BD的值，再分情況進(jìn)一步得出的值即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出，，再證明即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)作于，證，推出，得出，繼而得到，再根據(jù)，即可得出答案．【詳解】解：（1）∵，，∴∵∴∴當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，∴故答案為：；；（2）無變化．證明：∵在中，，，，∴．∵，∴．∵，，∴．∴，即．∴，．∴．由旋轉(zhuǎn)可知，，．∴．∵，∴．∴．∴．（3）如圖，過點(diǎn)作于．∵，∴．∵，，∴．∴，即．∴．∴．∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、三角形的面積公式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)等多個(gè)知識點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，會利用相似三角形的性質(zhì)解題，此題結(jié)構(gòu)精巧，考查范圍廣．11．在中，，，是邊上一點(diǎn)，將沿折疊得到，連接．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)，落在直線上時(shí)，①求證：；②填空：的值為______；（2）類比探究：如圖2，當(dāng)，與邊相交時(shí)，在上取一點(diǎn)，使，交于點(diǎn)．探究的值（用含的式子表示），并寫出探究過程；（3）拓展運(yùn)用：在（2）的條件下，當(dāng)，是的中點(diǎn)時(shí)，若，求的長．解析：（1）①見解析；②1；（2），見解析；（3）【分析】（1）①根據(jù)折疊性質(zhì)證明即可；②當(dāng)，證明，即可得出的值；（2）延長交于點(diǎn)，根據(jù)折疊性質(zhì)證明，即可得出結(jié)論；（3）由（2）可知，設(shè)，則，，，可得，再由勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：（1）①證明：延長交于點(diǎn)．由折疊得．∴．∵，∴．②當(dāng)，即時(shí)，可知AC=BC，在和中，，∴(AAS)，∴，∴．故答案為：1；（2）解：．理由：延長交于點(diǎn)，由折疊得．∴，∵，∴，∵，∴，∴．（3）解：由折疊得，，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，，，由（2）知，∴，，是的中點(diǎn)，∴，∴，設(shè)，則，，，∴，∴，∴，，∴，在中，由勾股定理得，∵，∴，解得（負(fù)值舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題為三角形綜合題，考查折疊的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)，根據(jù)折疊性質(zhì)找到角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，在和中，，，，連接交于點(diǎn).填空：①的值為______；②的度數(shù)為______．（2）類比探究如圖2，在和中，，，連接交的延長線于點(diǎn).請判斷的值及的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸在（2）的條件下，將繞點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，所在直線交于點(diǎn)，若，，請直接寫出當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)在同一條直線上時(shí)的長．解析：（1）①1；②；（2），．理由見解析；（3）2或4．【分析】（1）①證明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值為1；②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理先求∠OAB+∠OBA的值，再求∠AMB的值即可；（2）根據(jù)銳角三角比可得，根據(jù)兩邊的比相等且夾角相等可得△AOC∽△BOD，根據(jù)相似撒尿性的性質(zhì)求解即可；（3）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)在同一條直線上，有兩種情況：如圖3和圖4，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理，可得AD的長．【詳解】（1）①∵，∴∠BOD=∠AOC，又∵，，∴△BOD≌△AOC，∴BD=AC，∴=1；②∵，∴∠OAB+∠OBA=140°，∵△BOD≌△AOC，∴∠CAO=∠DBO，∴∠CAO+∠OAB+∠ABM=∠DBO+∠OAB+∠ABM=∠OAB+∠OBA=140°，∴∠AMB=；（2）如圖2，，．理由如下：中，，，，同理得：，，，，，，∠CAO=∠DBO，∵∠BEO+∠DBO=90°，∴∠CAE+∠AEM=90°，∴∠AMB=90°；（3）∵∠A=30°，，∴OA==3．如圖3，當(dāng)點(diǎn)D和點(diǎn)A在點(diǎn)O的同側(cè)時(shí)，∵，∴AD=3-2=2；如圖4，當(dāng)點(diǎn)D和點(diǎn)A在點(diǎn)O的兩側(cè)時(shí)，∵，，OA=3∴AD=3+1=4．綜上可知，AD的長是2或4．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了三角形全等和相似的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是能得出：△AOC∽△BOD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，并運(yùn)用類比的思想解決問題，本題是一道比較好的題目．13．如圖1，在中，,，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，連接．(1)探索發(fā)現(xiàn)：圖１圖２圖３圖1中，的值為_____________；的值為_________；(2)拓展探究若將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中的大小有無變化，請僅就圖2的情形給出證明；(3)問題解決當(dāng)旋轉(zhuǎn)至三點(diǎn)在同一直線時(shí)，直接寫出線段的長．解析：(1);(2)見解析(3)或【分析】（1）先判斷出∠AEB=90°，再判斷出∠B=30°，進(jìn)而的粗AE，再用勾股定理求出BE，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出，進(jìn)而得出△ACD∽△BCE，即可得出結(jié)論；（3）分點(diǎn)D在線段AE上和AE的延長線上，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，最后用線段的和差求出AD，即可得出結(jié)論．【詳解】解:解:(1)如圖1，連接AE,∵AB=AC=2，點(diǎn)E分別是BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC,∴∠AEC=90°,∵AB=AC=2，∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,在Rt△ABE中，AE=AB=1，根據(jù)勾股定理得，BE∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),∴BC=2BE∴∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AD=CD=AC=1,∴故答案為：,;(2)無變化,理由:由(1)知,CD=1,,∴,∴,由(1)知,∠ACB=∠DCE=30°,∴∠ACD=∠BCE,∴△ACD∽△BCE,∴,(3)線段BE的長為或，理由如下：當(dāng)點(diǎn)D在線段AE上時(shí),如圖2,過點(diǎn)C作CF⊥AE于F,∠CDF=180°﹣∠CDE=60°,∴∠DCF=30°,∴,∴,在Rt△AFC中,AC=2,根據(jù)勾股定理得,,∴AD=AF+DF=,由(2)知,,∴當(dāng)點(diǎn)D在線段AE的延長線上時(shí),如圖3,過點(diǎn)C作CG⊥AD交AD的延長線于G,∵∠CDG=60°,∴∠DCG=30°,∴,∴,在Rt△ACG中,根據(jù)勾股定理得,,∴,由(2)知,,∴即:線段BE的長為或.【點(diǎn)睛】此題是相似形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵．14．如圖1，邊長為4的正方形與邊長為的正方形的頂點(diǎn)重合，點(diǎn)在對角線上．問題發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，與的數(shù)量關(guān)系為______．類比探究（2）如圖2，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)度（）．請問（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請說明理由．拓展延伸（3）若為的中點(diǎn)，在正方形的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)，，在一條直線上時(shí)，線段的長度為______．解析：（1）；（2）成立，見解析；（3）或【分析】問題發(fā)現(xiàn)：證出AB∥EF，由平行線分線段成比例定理得出，即可得出結(jié)論；類比探究：證明△ACE∽△BCF，得出，即可的結(jié)論；拓展延伸：分兩種情況，連接CE交GF于H，由正方形的性質(zhì)得出AB=BC=4，，，GH=HF=HE=HC，得出，，，由勾股定理求出，即可得出答案．【詳解】[問題發(fā)現(xiàn)]解：，理由如下：∵四邊形ABCD和四邊形CFEG是正方形，∴∠B=∠CFE=90°，∠FCE=∠BCA=45°，CE=CF，CE⊥GF，∴AB∥EF，∴，；故答案為：；[類比探究]解：上述結(jié)論還成立，理由如下：連接CE，如圖2所示：∵∠FCE=∠BCA=45°，∴∠BCF=∠ACE=45°-∠ACF，在Rt△CEG和Rt△CBA中，，，∴△ACE∽△BCF，，；[拓展延伸]解：分兩種情況：①如圖3所示：連接CE交GF于H，∵四邊形ABCD和四邊形CFEG是正方形，∴AB=BC=4，AC=AB=4，GF=CE=CF，HF=HE=HC，∵點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，∴CF=BC=2，GF=CE=2，GH=HF=HE=HC=，∴，∴；②如圖4所示：連接CE交GF于H，同①得：GH=HF=HE=HC=，∴，∴；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．15．如圖1，在中，，，，點(diǎn)D，E分別是邊，的中點(diǎn)，連接.將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．（1）問題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；（2）拓展探究試判斷：當(dāng)時(shí)，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；（3）問題解決當(dāng)旋轉(zhuǎn)至?xí)r，請直接寫出的長．解析：（1）①；②；（2）不變，證明見解析；（3）2或2【分析】（1）①當(dāng)=0°時(shí)，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據(jù)點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，分別求出AE、BD的大小，即可求出BD、AE的比值；②中，圖形如下，與①有所變化，但求解方法完全相同；（2）證明△ECA∽△DCB，從而根據(jù)邊長成比例得出比值；（3）存在2種情況，一種是當(dāng)時(shí)，；另一種是當(dāng)時(shí)，，分別利用勾股定理可求得．【詳解】（1）①∵在中，，，，點(diǎn)D，E分別是邊，的中點(diǎn)∴CD=BD=2，在Rt△ABC中，AB=，AC=∴AE=∴；②圖形如下：同理可知：BC=4，AC=，DC=2，DE=，CE=∴BD=DC+CB=2+4=6，AE=EC+AC==∴；（2）不變，理由如下∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴；（3）情況一：當(dāng)時(shí)，，圖形如下，過點(diǎn)D作BC的垂線，交BC延長線于點(diǎn)F∵ED∥AC，∴∠ACD=∠EDC=90°∵∠ACB=∠ECD=30°∴∠ECF=30°，∴∠FCD=60°∵CD=2∴在Rt△DCF中，CF=1，F(xiàn)D=∴FB=FC=CB=1+4=5∴在Rt△FDB中，DB=2；情況二：當(dāng)時(shí)，，圖形如下，過點(diǎn)D作BC的垂線，交BC于點(diǎn)F∵DE∥AC，∴∠ACD=90°∵∠ACB=30°，∴∠DCF=60°∵CD=2，∴在Rt△CDF中，CF=1，DF=∴FB=CB－CF=4－1=3∴在Rt△FDB中，DB=2綜上得：DB的長為2或2．【點(diǎn)睛】此題屬于旋轉(zhuǎn)的綜合題．考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．16．(1)方法選擇如圖①，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，，．求證：.小穎認(rèn)為可用截長法證明：在上截取，連接…小軍認(rèn)為可用補(bǔ)短法證明：延長至點(diǎn)，使得…請你選擇一種方法證明．(2)類比探究（探究1）如圖②，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，，是的直徑，．試用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（探究2）如圖③，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，．若是的直徑，，則線段，，之間的等量關(guān)系式是______．(3)拓展猜想如圖④，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，．若是的直徑，，則線段，，之間的等量關(guān)系式是______．解析：(1)方法選擇：證明見解析；(2)【探究1】：；【探究2】；(3)拓展猜想：.【分析】（1）方法選擇：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠ABC=60°，如圖①，在BD上截取DM=AD，連接AM，由圓周角定理得到∠ADB=∠ACB=60°，得到AM=AD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BM=CD，于是得到結(jié)論；（2）類比探究：如圖②，由BC是⊙O的直徑，得到∠BAC=90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=45°，過A作AM⊥AD交BD于M，推出△ADM是等腰直角三角形，求得DM=AD根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；【探究2】如圖③，根據(jù)圓周角定理和三角形的內(nèi)角和得到∠BAC=90°，∠ACB=60°，過A作AM⊥AD交BD于M，求得∠AMD=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到MD=2AD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BM=CD，于是得到結(jié)論；（3）如圖④，由BC是⊙O的直徑，得到∠BAC=90°，過A作AM⊥AD交BD于M，求得∠MAD=90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BM=CD，DM=AD，于是得到結(jié)論．【詳解】(1)方法選擇：∵，∴，如圖①，在上截取，連接，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∵，∴，∴，∴；(2)類比探究：如圖②，∵是的直徑，∴，∵，∴，過作交于，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；[探究2]如圖③，∵若是的直徑，，∴，，過作交于，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；故答案為；(3)拓展猜想：；理由：如圖④，∵若是的直徑，∴，過作交于，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．17．（問題）如圖1，在中，，過點(diǎn)作直線平行于．，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)，另一邊與交于點(diǎn)，研究和的數(shù)量關(guān)系．（探究發(fā)現(xiàn)）（1）如圖2，某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到使點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，通過推理就可以得到，請寫出證明過程；（數(shù)學(xué)思考）（2）如圖3，若點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），受（1）的啟發(fā)，這個(gè)小組過點(diǎn)作交于點(diǎn)，就可以證明，請完成證明過程；（拓展引申）（3）如圖4，在（1）的條件下，是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），是射線上一點(diǎn)，且，連接與交于點(diǎn)，這個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過多次取點(diǎn)反復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)在某一位置時(shí)的值最大．若，請你直接寫出的最大值．解析：【探究發(fā)現(xiàn)】（1）見解析；【數(shù)學(xué)思考】（2）見解析；【拓展引申】（3）時(shí)，有最大值為2．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及平行的定義即可解得根據(jù)證明即可推出過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，可證明，再推出即可得=，則.【詳解】證明：【探究發(fā)現(xiàn)】（1）∵∴∵∴，且∴∴即【數(shù)學(xué)思考】（2）∵∴∴，∵∴，且，∴∴【拓展引申】（3）如圖4，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，∵，∴∵∴∴∴，且∴∴∵，∴∴∴∴∴∵∴點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，∴∴，且∴∴∴∴∴時(shí)，有最大值為2．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形，解題關(guān)鍵在于熟練掌握等腰三角形的性質(zhì).18．在中，，．點(diǎn)D在邊上，且，交邊于點(diǎn)F，連接．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)時(shí)，①求證：；②推斷：_________．；（2）探究證明：如圖2，當(dāng)時(shí)，請?zhí)骄康亩葦?shù)是否為定值，并說明理由；（3）拓展運(yùn)用：如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)D作的垂線，交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)K，若，求的長．解析：（1）①證明見解析，②；（2）為定值，證明見解析；（3）【分析】（1）①利用已知條件證明即可得到結(jié)論，②先證明利用相似三角形的性質(zhì)再證明結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得答案；（2）由（1）中②的解題思路可得結(jié)論；（3）設(shè)則利用等腰直角三角形的性質(zhì)分別表示：由表示再證明利用相似三角形的性質(zhì)建立方程求解，即可得到答案．【詳解】證明：（1）①②推斷：理由如下：（2）為定值，理由如下：由（1）得：（3），設(shè)則，解得：【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，更重要的是考查學(xué)生的學(xué)習(xí)探究的能力，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．19．某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對多邊形內(nèi)兩要互相垂直的線段做了如下探究：（觀察與猜想）（1）如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別是，上的兩點(diǎn)，連接，，，則的值為__________；（2）如圖2，在矩形中，，，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，連接，，且，則的值為__________；（類比探究）（3）如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，求證：；（拓展延伸）（4）如圖4，在中，，，，將沿翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處得，點(diǎn)，分別在邊，上，連接，，且．①求的值；②連接，若，直接寫出的長度．解析：（1）1；（2）；（3）證明見解析；（4）①；②．【分析】（1）先根據(jù)正方形