七年級(jí)數(shù)學(xué)相交線和平行線例題解析同學(xué)們，進(jìn)入初中階段，我們對(duì)幾何的學(xué)習(xí)就正式拉開了序幕。相交線與平行線，作為平面幾何的入門知識(shí)，不僅是后續(xù)學(xué)習(xí)三角形、四邊形等復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)，更是培養(yǎng)我們邏輯推理能力和空間想象能力的關(guān)鍵一步。今天，我們就通過(guò)對(duì)一些典型例題的解析，一起來(lái)梳理和鞏固這部分知識(shí)，希望能幫助大家更好地理解和掌握。一、相交線中的角：對(duì)頂角與鄰補(bǔ)角相交線是我們研究平面內(nèi)直線位置關(guān)系的起點(diǎn)。當(dāng)兩條直線相交時(shí)，會(huì)形成四個(gè)角。這四個(gè)角之間存在著特殊的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，其中最重要的就是對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角。核心概念回顧：*對(duì)頂角：如果一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角兩邊的反向延長(zhǎng)線，那么這兩個(gè)角互為對(duì)頂角。對(duì)頂角的性質(zhì)是對(duì)頂角相等。*鄰補(bǔ)角：兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角。鄰補(bǔ)角的性質(zhì)是鄰補(bǔ)角互補(bǔ)（即它們的和為180°）。例題1：基礎(chǔ)概念辨析與計(jì)算已知：如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠AOC=50°。求：∠BOD、∠AOD、∠BOC的度數(shù)。解析：我們來(lái)仔細(xì)觀察圖形。直線AB和CD相交于點(diǎn)O，形成了∠AOC、∠AOD、∠BOD和∠BOC這四個(gè)角。首先，∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角。根據(jù)對(duì)頂角相等的性質(zhì)，因?yàn)椤螦OC=50°，所以∠BOD也等于50°。接下來(lái)看∠AOD?！螦OC和∠AOD有一條公共邊OA，它們的另一條邊OC和OD互為反向延長(zhǎng)線，所以∠AOC與∠AOD是鄰補(bǔ)角。鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，即它們的和是180°。因此，∠AOD=180°-∠AOC=180°-50°=130°。最后，∠BOC與∠AOD是對(duì)頂角，所以∠BOC=∠AOD=130°。當(dāng)然，我們也可以認(rèn)為∠BOC與∠AOC是鄰補(bǔ)角，同樣可以得出∠BOC=180°-50°=130°。答案：∠BOD=50°，∠AOD=130°，∠BOC=130°。解題小技巧：在解決這類問(wèn)題時(shí)，首先要準(zhǔn)確識(shí)別哪兩個(gè)角是對(duì)頂角，哪兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角。對(duì)頂角是“對(duì)面”的角，形狀像“X”；鄰補(bǔ)角是“相鄰”且能拼成一個(gè)平角的角。記住“對(duì)頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)”這兩個(gè)核心性質(zhì)，問(wèn)題就能迎刃而解。二、垂線的性質(zhì)與點(diǎn)到直線的距離在相交線中，有一種特殊的情況，那就是兩條直線互相垂直。垂直是相交的一種特例，但它在幾何中的應(yīng)用非常廣泛。核心概念回顧：*垂線：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角（90°）時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。*垂線的性質(zhì)：1.在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。2.連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短。*點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。例題2：利用垂線性質(zhì)解決最短路徑問(wèn)題如圖，計(jì)劃把河中的水引到水池C中，怎樣開渠才能使渠道最短？請(qǐng)畫出圖形，并說(shuō)明理由。解析：這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是要在河岸（我們可以把它看作一條直線）上找到一點(diǎn)，使得從點(diǎn)C（水池）到這一點(diǎn)再到河岸的渠道長(zhǎng)度最短。但根據(jù)我們學(xué)過(guò)的知識(shí)，連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。所以，我們的目標(biāo)是從點(diǎn)C向河岸（那條直線）作一條垂線段。這條垂線段的長(zhǎng)度就是最短的渠道長(zhǎng)度。畫法：過(guò)點(diǎn)C作河岸所在直線的垂線，垂足為D。則線段CD即為所求的最短渠道。理由：根據(jù)垂線的性質(zhì)，垂線段最短。即從點(diǎn)C到河岸的所有可能連線中，垂線段CD的長(zhǎng)度是最短的。解題小技巧：“最短路徑”問(wèn)題如果涉及到點(diǎn)到直線，那么十有八九是利用“垂線段最短”這個(gè)性質(zhì)。關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解“點(diǎn)到直線的距離”是指垂線段的長(zhǎng)度，而不是垂線段本身。三、平行線的判定在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。如何判斷兩條直線是否平行呢？我們主要通過(guò)角的關(guān)系來(lái)判定。核心概念回顧（平行線的判定方法）：1.同位角相等，兩直線平行。2.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。3.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。4.平行于同一條直線的兩條直線互相平行。（平行公理的推論）5.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行。例題3：綜合運(yùn)用角的關(guān)系判定平行如圖，已知∠1=∠2，∠3+∠4=180°，試判斷直線AB與CD是否平行，并說(shuō)明理由。解析：題目要求我們判斷直線AB與CD是否平行。我們需要從已知條件∠1=∠2和∠3+∠4=180°入手，看能否找到AB與CD平行的判定依據(jù)。首先，我們來(lái)看∠1和∠2。觀察圖形，∠1和∠2是直線AB和EF被第三條直線（比如直線MN）所截形成的同位角嗎？或者是內(nèi)錯(cuò)角？假設(shè)直線MN分別與AB交于點(diǎn)G，與EF交于點(diǎn)H。那么∠1和∠2看起來(lái)是同位角。如果∠1=∠2，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，可以得出AB∥EF。接下來(lái)看∠3和∠4。∠3和∠4是直線EF和CD被同一條直線MN所截形成的同旁內(nèi)角嗎？假設(shè)直線MN與CD交于點(diǎn)I。那么∠3和∠4是同旁內(nèi)角。已知∠3+∠4=180°，根據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，可以得出EF∥CD?，F(xiàn)在我們知道AB∥EF，EF∥CD。根據(jù)平行公理的推論：平行于同一條直線的兩條直線互相平行，所以AB∥CD。答案：AB∥CD。解題小技巧：判定平行線時(shí)，關(guān)鍵是要在復(fù)雜的圖形中準(zhǔn)確辨認(rèn)出“三線八角”（即兩條被截線和一條截線所形成的八個(gè)角）中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角。有時(shí)，題目不會(huì)直接給出角的關(guān)系，可能需要我們結(jié)合對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角等知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。如果遇到兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也平行。四、平行線的性質(zhì)當(dāng)我們知道兩條直線平行后，能得到什么結(jié)論呢？這就是平行線的性質(zhì)所要研究的內(nèi)容。平行線的性質(zhì)與判定是互逆的關(guān)系，大家學(xué)習(xí)時(shí)要注意區(qū)分。核心概念回顧（平行線的性質(zhì)）：1.兩直線平行，同位角相等。2.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。3.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。例題4：利用平行線性質(zhì)求角度如圖，AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，求∠E的度數(shù)。（E點(diǎn)在AB和CD之間，形成一個(gè)“Z”字形或“N”字形的拐點(diǎn)）解析：這個(gè)圖形是一個(gè)比較典型的“平行線間夾折線”的模型。我們已知AB∥CD，以及∠A和∠C的度數(shù)，要求中間∠E的度數(shù)。直接看，∠E與∠A、∠C的關(guān)系不明顯。這時(shí)，我們通常會(huì)過(guò)點(diǎn)E作一條輔助線，把圖形轉(zhuǎn)化成我們熟悉的基本圖形。輔助線作法：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB。因?yàn)锳B∥CD，且EF∥AB，根據(jù)平行公理的推論，可知EF∥CD。現(xiàn)在，AB∥EF，∠A和∠AEF是它們被直線AE所截形成的內(nèi)錯(cuò)角。根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，所以∠AEF=∠A=70°。同時(shí)，EF∥CD，∠C和∠CEF是它們被直線CE所截形成的內(nèi)錯(cuò)角。同樣根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，所以∠CEF=∠C=40°。而∠E（即∠AEC）是由∠AEF和∠CEF組成的，所以∠E=∠AEF+∠CEF=70°+40°=110°。答案：∠E=110°。解題小技巧：當(dāng)遇到平行線間有折線（拐點(diǎn)）時(shí)，過(guò)拐點(diǎn)作已知平行線的平行線是一種非常重要的輔助線作法。這樣可以將一個(gè)大角分成兩個(gè)小角，分別利用平行線的性質(zhì)與已知角建立聯(lián)系。要注意，所作的輔助線要畫成虛線，并在證明或解題過(guò)程中明確說(shuō)明輔助線的作法。五、相交線與平行線的綜合應(yīng)用在實(shí)際解題中，我們往往需要綜合運(yùn)用相交線（對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、垂線）和平行線的判定與性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題。這就要求我們對(duì)所學(xué)知識(shí)有一個(gè)整體的把握，并能靈活運(yùn)用。例題5：綜合運(yùn)用判定與性質(zhì)如圖，已知∠1=∠2，∠B=∠C，求證：AB∥CD。解析：要證明AB∥CD，我們需要找到相關(guān)的角的關(guān)系。已知條件有∠1=∠2和∠B=∠C。首先，∠1和∠2是什么關(guān)系呢？從圖上看，它們是直線AD和BC被直線EF所截形成的同位角（假設(shè)EF是截線）。因?yàn)椤?=∠2，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，可以得出AD∥BC。由AD∥BC，我們能得到什么呢？AD和BC平行，∠C和∠ADC是它們被直線CD所截形成的內(nèi)錯(cuò)角（或者∠B和∠BAD是被AB所截形成的內(nèi)錯(cuò)角）。根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，如果我們看∠B和∠BAD，那么∠B=∠BAD。又已知∠B=∠C，所以通過(guò)等量代換，∠BAD=∠C?，F(xiàn)在看∠BAD和∠C，它們是直線AB和CD被直線AD所截形成的同位角。因?yàn)椤螧AD=∠C，所以根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，可以判定AB∥CD。證明過(guò)程：∵∠1=∠2（已知）∴AD∥BC（同位角相等，兩直線平行）∴∠B=∠BAD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又∵∠B=∠C（已知）∴∠BAD=∠C（等量代換）∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）解題小技巧：綜合題的思路往往是“由因?qū)Ч焙汀皥?zhí)果索因”相結(jié)合。從已知條件出發(fā)，看能得到哪些結(jié)論（由因?qū)Ч?；再?gòu)囊C明的結(jié)論出發(fā)，思考需要什么條件（執(zhí)果索因）。當(dāng)兩者能夠銜接起來(lái)時(shí)，問(wèn)題就解決了。在這個(gè)過(guò)程中，要注意區(qū)分什么時(shí)候用判定，什么時(shí)候用性質(zhì)：“若由角的關(guān)系得到平行，則用判定；若由平行得到角的關(guān)系，則用性質(zhì)”?？偨Y(jié)與提升相交線與平行線的知識(shí)雖然基礎(chǔ)，但它是整個(gè)平面幾何的基石。同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，要特別注意以下幾點(diǎn)：1.概念要清：準(zhǔn)確理解對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、垂線、平行線、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角等基本概念。2.性質(zhì)與判定要明：熟練掌握平行線的判定方法和性質(zhì)，并能準(zhǔn)確區(qū)分它們的條件和結(jié)論，不要混淆。3.圖形要會(huì)看：學(xué)會(huì)觀察圖形，從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形（“三線八角”模型），