24.1.2垂直于弦的直徑（第1課時(shí)）（教學(xué)設(shè)計(jì)）1.教學(xué)內(nèi)容本課時(shí)是人教版九年級(jí)上冊(cè)教材第二十四章圓,24.1圓的有關(guān)性質(zhì)，24.1.2垂直于弦的直徑（第1課時(shí)),內(nèi)容為圓的垂徑定理及應(yīng)用。內(nèi)容解析本節(jié)課結(jié)合研究圓的軸對(duì)稱性，得到了垂徑定理。通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，應(yīng)使學(xué)生理解圓的軸對(duì)稱性，掌握垂徑定理，并學(xué)會(huì)運(yùn)用垂徑定理論解決一些有關(guān)證明、計(jì)算和作圖的問(wèn)題。垂徑定理反映了圓的重要性質(zhì)，是證明線段和角相等以及垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時(shí)也為圓的計(jì)算和作圖問(wèn)題提供了方法和依據(jù)。盡管在《課標(biāo)(2011年版)》中，垂徑定理的探索與證明是選學(xué)內(nèi)容，但垂徑定理的應(yīng)用是教科書(shū)的重點(diǎn)。另外，這部分內(nèi)容的題設(shè)和結(jié)論比較復(fù)雜，容易混淆，所以也是難點(diǎn)?；谝陨戏治觯_定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為垂徑定理的應(yīng)用。1.教學(xué)目標(biāo)（1）通過(guò)探究圓的對(duì)稱性探索垂徑定理。（2）掌握垂徑定理，并能解決相關(guān)計(jì)算和證明問(wèn)題。（3）經(jīng)歷探究垂直于弦的直徑的過(guò)程，激發(fā)學(xué)生觀察、探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣和欲望。2.目標(biāo)解析（1）本節(jié)課從圓的對(duì)稱性出發(fā)，讓學(xué)生探索圓的軸對(duì)稱性，把圓沿它的任意一條直徑對(duì)折，直徑兩邊的兩個(gè)半圓就會(huì)重合在一起，很直觀。學(xué)生不難理解“圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對(duì)稱軸”，探究垂直于弦的直徑的性質(zhì)。（2）對(duì)于垂徑定理，要幫助學(xué)生分析定理的條件和結(jié)論，可以按條件畫(huà)出圖形，讓學(xué)生觀察、思考，得出結(jié)論。掌握垂徑定理是應(yīng)用好定理解決問(wèn)題的前提。（3）通過(guò)經(jīng)探究垂直于弦的直徑的過(guò)程多角度體會(huì)和認(rèn)識(shí)圓性質(zhì)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的多種感官，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)圓的興趣，激發(fā)學(xué)生觀察、探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣和欲望。本節(jié)課開(kāi)始，讓學(xué)生探索圓的軸對(duì)稱性，把圓沿它的任意一條直徑對(duì)折，直徑兩邊的兩個(gè)半圓就會(huì)重合在一起，很直觀。學(xué)生不難理解“圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對(duì)稱軸”。對(duì)于圓是軸對(duì)稱圖形的證明，采用“在圓上任取一點(diǎn)，證明它關(guān)于對(duì)稱軸(直徑所在直線)對(duì)稱的點(diǎn)也在圓上”進(jìn)行證明。這種方法是證明一個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形的常用方法，要讓學(xué)生掌握。對(duì)于垂徑定理，要幫助學(xué)生分析定理的條件和結(jié)論，即一條直線若滿足:(1)過(guò)圓心，(2)垂直于弦，則可以推出:(1)平分弦，(2)平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，(3)平分弦所對(duì)的劣弧。這樣既可以加深學(xué)生對(duì)定理的理解，又為學(xué)習(xí)推論作好準(zhǔn)備。掌握垂徑定理和推論是應(yīng)用好定理解決問(wèn)題的前提，這部分內(nèi)容的題設(shè)和結(jié)論比較復(fù)雜，容易混淆，所以也是難點(diǎn)?；谝陨戏治?，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論區(qū)別及應(yīng)用。創(chuàng)設(shè)情景，引入新課復(fù)習(xí)：①連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。②圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對(duì)稱軸。（設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，引入新課.）探究點(diǎn)1圓是軸對(duì)稱圖形問(wèn)題：我們?cè)谛W(xué)學(xué)習(xí)了圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對(duì)稱軸，怎樣證明這個(gè)結(jié)論呢？追問(wèn)1：證明一個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形的常用方法是什么？怎樣證明圓是軸對(duì)稱圖形？只需證明圖形上任意一點(diǎn)關(guān)于一條直線(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)也在這個(gè)圖形上；要證明圓是軸對(duì)稱圖形，只需證明圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直徑所在直線(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)也在圓上。追問(wèn)2：你能說(shuō)出證明的過(guò)程嗎？如圖，設(shè)CD是⊙O的任意一條直徑，A為⊙O上點(diǎn)C，D以外的任意一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)A作AA'⊥CD，交⊙O于點(diǎn)A'，垂足為M，連接OA，OA'.在△OAA'中，∵OA=OA',∴△OAA’是等腰三角形.又AA'⊥CD,∴AM=MA'.即CD是AA'的垂直平分線.這就是說(shuō)，對(duì)于圓上任意一點(diǎn)A，在圓上都有關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)A’，因此⊙O關(guān)于直線CD對(duì)稱。即圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對(duì)稱軸。（設(shè)計(jì)意圖：證明并進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓的對(duì)稱性）典型例題【詳解】解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)M，∴為直徑，故選：D．（設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)化圓的對(duì)稱性.）探究點(diǎn)2垂徑定理追問(wèn)1：從上面的證明我們知道，如果⊙O的直徑CD垂直于弦AA'，垂足為M，那么點(diǎn)A和點(diǎn)A'是對(duì)稱點(diǎn)。把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)A'重合，你能得到哪些相等的線段和相等??？追問(wèn)2：由上面的推導(dǎo)過(guò)程，我們得到垂徑定理，請(qǐng)你用自己的語(yǔ)言表達(dá)？垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.追問(wèn)3：這里弦所對(duì)的兩條弧是指什么??？“優(yōu)弧”“劣弧”或兩個(gè)半圓。追問(wèn)4：這個(gè)定理的條件是什么？結(jié)論是什么？對(duì)照下面的圖怎樣用幾何符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)？條件是垂直于弦的直徑；結(jié)論是平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；（設(shè)計(jì)意圖：探究垂徑定理.）典型例題例2趙州橋(圖24.17)是我國(guó)隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶。它的主橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37m，拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).【分析】:解決此問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)趙州橋的實(shí)物圖畫(huà)出幾何圖形.【詳解】解:如圖24.18，用弧AB表示主橋拱，設(shè)所在圓的圓心為O，半徑為R.經(jīng)過(guò)圓心O作弦AB的垂線ＯＣ,D為垂足，OC與相交于點(diǎn)C，連接OA.根據(jù)垂徑定理，D是AB的中點(diǎn)，C是的中點(diǎn)，CD就是拱高.由題設(shè)可知：AB=37，CD=7.23，在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2,R2=18.52+(R7.23)2.解得R≈27.3.因此，趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m.【分析】本題考查垂徑定理．熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．（2）連接，設(shè)的半徑是r，垂徑定理和勾股定理進(jìn)行求解即可．（2）連接，設(shè)的半徑是r，（設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)化垂徑定理及應(yīng)用）1．已知的直徑為10，為上一動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），連接、．②在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值．【詳解】（1）解：∵為的直徑，綜上，滿足題意的的長(zhǎng)為5或；②連接，，分別取、的中點(diǎn)F、H，連接，，如圖，（設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)化圖形設(shè)計(jì)與應(yīng)用。）1.如圖，在中，弦AB的長(zhǎng)為8cm，圓心0到AB的距離為3cm.求⊙0的半徑，答案：1.由AE=4cm，OE=3cm，利用勾股定理可得⊙O的半徑AO為5cm.（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)完新知識(shí)后及時(shí)進(jìn)行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)新知的記憶，加深學(xué)生對(duì)新知的理解，還可以及時(shí)反饋學(xué)習(xí)情況，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，幫助教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略）1．(2025?宜賓)如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D．若AB＝8，OC＝5，則OD的長(zhǎng)是()A．3 B．2 C．6 D．5【解答】解：∵半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，∴AD＝12AB∵OA＝OC＝5，∴OD＝O故選：A．2．(2025?內(nèi)江)如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，且AB＝8，OC＝5．則DC的長(zhǎng)是______．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD＝BD＝12AB在Rt△OAD中，OA＝5，AD＝4，∴OD＝O∴DC＝OC－OD＝5－3＝2．故答案為：2．求：(1)橋拱的半徑；(2)現(xiàn)水面上漲后水面跨度為60米，求水面上漲的高度．【詳解】（1）解：如圖1，設(shè)圓的半徑是r，即橋拱的半徑為50米；（2）解：設(shè)水面上漲后水面跨度為60米，交于H，連接，如圖2所示，答：水面上漲的高度為10米．（設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)完知識(shí)后加入中考等真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力）1.圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對(duì)稱軸。2.垂徑定理：垂直于弦的直徑平