專題13.3命題與證明（舉一反三講義） 【滬科版2024】TOC\o"13"\h\u【題型1判斷是否是命題】 2【題型2寫出命題的題設與結論】 3【題型3判斷命題真假】 3【題型4舉反例】 4【題型5逆命題】 4【題型6定理與證明】 5【題型7寫出一個命題的已知、求證及證明】 5【題型8已知證明過程填寫理論依據】 6【題型9根據給出的論斷組命題并證明】 8【題型10演繹推理】 9知識點1命題1.判斷某一件事情的語句叫命題．2.命題的定義包含兩層含義（1）命題必須是一個完整的句子，常為陳述句；（2）命題必須對某件事情作出肯定或否定的判斷．知識點2命題的組成與分類1.許多命題由條件和結論兩部分組成．條件是已知的事項；結論是由已知事項推出的事項．這樣的命題通常可寫成“如果……，那么……”的形式．用“如果”開始的部分是條件，用“那么”開始的部分就是結論．2.命題分真假命題，正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題．要判斷一個命題是真命題，可以用演繹推理加以論證；而要判斷一個命題是假命題，只要舉出一個例子，說明該命題不成立，即只要舉出一個符合該命題條件而不符合該命題結論的例子就可以了．在數學中，這種方法稱為“舉反例”．知識點3定義我們需要用不同的語句來說明我們學過的許多名詞各自所包含的確切意義，例如，我們用“在同一平面內不相交的兩條直線”來說明“平行線”所包含的意義．這樣的語句叫做這些名詞的定義．知識點4定理公認的真命題稱為基本事實．數學中，有些命題可以從基本事實或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它們是正確的，并且可以作為進一步判斷其他命題真假的依據，這樣的真命題叫做定理．對于基本事實，它是不需要推理論證的真命題，它可以作為判斷其他命題真假的依據，它是經過證明的真命題，但并不是所有的真命題都是定理，定理可以作為進一步判斷其他命題真假的依據．知識點5原命題與逆命題將命題“如果p,那么q”中的條件與結論互換，使得到一個新命題“如果q,那么p”，我們把這樣的兩個命題稱為互逆命題，其中一個叫作原命題，另一個就叫作原命題的逆命題．知識點6證明及證明的一般步驟1.根據條件、定義以及基本事實、定理等，經過演繹推理，來判斷一個命題是否正確，這樣的推理過程叫做證明．2.證明的一般步驟根據題設、結論，結合圖形，寫出已知、求證，經過分析找出由已知推出結論的途徑，寫出證明過程，并注明依據．【題型1判斷是否是命題】【例1】（2425七年級下·四川德陽·期中）下列語句是命題的有（）個．①你喜歡數學嗎？②熊貓沒有翅膀；③任何一個三角形一定有直角；④作線段AB=CD；⑤無論n是怎樣的自然數，式子n2?n+11的值都是質數；A．3 B．4 C．5 D．6【變式11】（2526八年級上·全國·單元測試）下列語句是命題的是（

）A．作AB∥CD B．若∠1=∠2，∠2=∠3C．兩條直線被第三條直線所截 D．一條鐵路的兩根鐵軌是平行的嗎【變式12】（2526八年級上·全國·隨堂練習）下列選項中不是命題的是（

）A．正數大于負數 B．過直線外一點作直線的平行線C．三角形的任意兩邊之和大于第三邊 D．如果a=b,a=c，那么b=c【變式13】給出下列語句：①畫出已知角等于兩個已知角的和；②鈍角總大于直角；③過點A畫直線AB∥CD；④相等且互補的兩個角都是直角．其中是命題的是（

）A．只有④ B．①②④ C．②④ D．①②③④【題型2寫出命題的題設與結論】【例2】（2425七年級下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）“垂線段最短”的題設是，結論是．【變式21】（2526七年級上·全國·課后作業(yè)）命題“度數之和為90°的兩個角互為余角”的條件是（

）A．90° B．兩個角 C．度數之和為90° D．度數之和為90°的兩個角【變式22】（2526八年級上·全國·隨堂練習）如果∠A>∠B,∠B>∠C，那么∠A>∠C，這個命題的條件是，結論是．【變式23】（2425七年級下·上海金山·期末）將命題“在三角形中，大邊對大角”改寫成“如果……，那么……”的形式是．【題型3判斷命題真假】【例3】（2425七年級下·江蘇蘇州·期末）如圖，線段AC,BD相交于點O，連接AD,BC，并延長AD至點E，∠BCA的平分線與∠BDE的平分線相交于點M．①若∠A=2∠BCM，則AE∥BC；②若∠M=2∠BDM，則AE∥MC；③若∠A=∠B，則∠EDM+∠BCM=90°；④若∠ADO=∠BCO，則A．1 B．2 C．3 D．4【變式31】（2425七年級下·湖南長沙·期末）命題“互為相反數的兩個數的絕對值相等”是命題（真/假）．【變式32】（2526八年級上·全國·課前預習）命題：①對頂角相等；②相等的角是對頂角；③垂直于同一條直線的兩條直線平行；④平行于同一條直線的兩條直線平行．其中是真命題的有．（請?zhí)顚懶蛱枺咀兪?3】（2425七年級下·內蒙古通遼·期末）如圖，在三角形ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AC，AB上，連接DE，DF．下列四個命題中，是真命題的是（

）①若∠BFD=∠A，則DF∥②若∠EDF=∠DEC，則DF∥③若∠A+∠AED=180°，則④若∠B=∠EDF，則AB∥A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④【題型4舉反例】【例4】（2425七年級下·陜西西安·期末）能說明命題“兩個銳角的和一定是鈍角”是假命題的反例是（

）A．∠1=82°，∠2=40° B．∠1=89°，∠2=2°C．∠1=65°，∠2=30° D．∠1=30°，∠2=20°【變式41】為說明命題“如果a=b，那么a=b”是假命題，你舉出的一個反例是【變式42】（2425七年級下·湖北宜昌·期末）對于命題“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能說明它是假命題的反例是（

）A．∠1=45°,∠2=45° B．∠1=30°,∠2=60°C．∠1=60°,∠2=60° D．∠1=30°,∠2=40°【變式43】（2425七年級下·全國·課后作業(yè)）判斷命題“如果0<n<1，那么n2?1>0”是假命題，只需舉出一個反例，反例中的值可以是【題型5逆命題】【例5】（2425七年級下·江蘇無錫·期末）下列命題中：①相等的角是對頂角；②直角三角形兩個銳角互余；③如果a=b，則a=④如果一個點是這條線段的中點，那么這個點到線段兩端的距離相等．逆命題是真命題的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式51】下列命題：①如果a＞b，那么a+c＞b+c；②如果a≥0，b＜0，那么ab≤0；③直角三角形有兩個銳角.其中原命題與其逆命題都是真命題的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．0個【變式52】（2425八年級下·福建三明·期中）以下命題的逆命題中，屬于真命題的是（

）A．如果a>0，b>0，則a+b>0 B．直角都相等C．兩直線平行，同位角相等 D．若a=b，則a【變式53】（2425八年級下·江西萍鄉(xiāng)·期中）命題“等腰直角三角形的兩個銳角相等”，請寫出它的逆命題．該逆命題是（填“真”或“假”）命題．【題型6定理與證明】【例6】請舉出一個關于角相等的定理：．【變式61】下列語句中，是定義的是（

）A．若兩角之和為90°，則這兩個角互余 B．相等的角是對頂角C．同角的余角相等 D．延長BC至D使CD=BC【變式62】（2425七年級下·全國·課后作業(yè)）定理可以作為證明后續(xù)命題的，根據，可以得到推論：三角形的外角等于與它不相鄰的的和．【變式63】下列命題可以作定理的有個．①2與6的平均值是8；②能被3整除的數能被6整除；③5是方程12x+7=9x+2【題型7寫出一個命題的已知、求證及證明】【例7】命題：直角三角形的兩銳角互余．

(1)將此命題寫成“如果…，那么…”：________________________；(2)請判斷此命題的真假．若為假命題，請說明理由；若為真命題，請根據所給圖形寫出已知、求證和證明過程．【變式71】（2425七年級下·江蘇南京·期末）請將三角形內角和定理的推論補充完整并加以證明．定理：三角形的外角等于_____________________的和．已知：求證：【變式72】證明：平行于同一條直線的兩條直線平行．已知：____________．求證：____________．證明：【變式73】（2425七年級下·山東泰安·期中）證明三角形的內角和為180°．要求：根據題意畫出圖形，結合畫出的圖形寫出已知和求證，并嘗試證明．【題型8已知證明過程填寫理論依據】【例8】（2425七年級下·吉林長春·期末）【教材呈現(xiàn)】下面是華師版七年級下冊數學教材習題8.1第6題部分內容．如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線相交于點D．試找出∠D與△ABC的內角∠A之間的關系．（1）小明閱讀題目后，沒有發(fā)現(xiàn)數量關系與解題思路，于是嘗試代入∠A的度數，即可求∠D的度數．①當∠A=60°時，∠D=___________度；當∠A=120°時，∠D=___________度；②于是小明猜想∠D與∠A之間的數量關系為___________；（2）以下是小明完成猜想證明的部分過程：證明：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=1∵CD平分∠ACE，∴∠DCE=∠ACD=1證明過程缺失請你補全缺失的證明過程．【結論應用】（3）如圖，在四邊形ABCD中，BF平分∠ABC,CG平分外角∠DCE，連結FG．若∠A=140°，∠D=90°，則∠F+∠G=___________度．【變式81】補全下列推理過程：如圖，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2，試說明DG∥BA．解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，（已知），∴∠BFE=∠BDA=90°（垂直的定義），∴EF∥AD（____________）．∴∠2=∠3（____________）．∵∠1=∠2（已知），∴____________（等量代換）．∴DG∥AB（____________）．【變式82】（2425七年級下·湖南衡陽·期末）如圖，D是△ABC邊BC上的一點，∠B=∠BAD，∠ADC=70°．(1)求∠B的度數：請在解答過程的空白處填上適當的內容．（理由或數學式）解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角，∠ADC=70°（已知），∴∠B+______=∠ADC=70°（______）．又∵∠B=∠BAD（已知），∴∠B=______°．（等量代換）(2)若AD平分∠BAC，求∠C的度數．（請寫出完整的解答過程）【變式83】（2425七年級下·廣東茂名·階段練習）如圖，∠1=∠2，∠3+∠4=180°．試說明：AC∥請你完成下列推理過程（括號內寫出理由）：解：因為∠1=∠2，（已知）所以∥．（因為∠3+∠4=180°，（已知）所以∥，（所以AC∥【題型9根據給出的論斷組命題并證明】【例9】如圖，直線a，b，c被直線m，n所截，有下列命題：①∠BAC=∠BDC；②∠AFE=∠FED；③m∥n．從①②③中選出兩個作為條件，第三個作為結論，寫出一個真命題，并說明理由．【變式91】如圖，現(xiàn)有以下3個論斷：①AB∥CD；②∠B＝

(1)請寫出所有的真命題；(2)請選擇其中一個命題加以證明．【變式92】【閱讀】在證明命題“如果a>b>0，c<0，那么a2證明：∵a>b>0，∴a2>．∴a2∵a>b，c<0，∴bc>．∴ab+bc>．∴a2【問題解決】(1)請將上面的證明過程填寫完整；(2)有以下幾個條件：①a>b，②a<b，③a<0，④b<0．請從中選擇兩個作為已知條件，得出結論a>b．你選擇的條件序號是【變式93】如圖，已知直線EF∥GH，給出下列信息：①AC⊥BC；②BC平分∠DCH；③∠ACD=∠DAC．(1)請在上述3條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結論組成一個真命題，你選擇的條件是，結論是(只要填寫序號)，并說明理由．(2)在（1）的條件下，若∠ACG比∠BCH的2倍少3度，求∠DAC的度數．【題型10演繹推理】【例10】（2025·山東濟寧·二模）某班級到勞動實踐基地參加活動，基地指導老師讓同學排成一列縱隊后，按照從前到后的順序四人一組，根據李明和張雪的對話給出以下四個結論：①如果李明和趙偉同一組，那么張雪和王凱也同一組；②如果李明和趙偉不同一組，那么張雪和王凱也不同一組；③如果張雪和王凱同一組，那么李明和趙偉也同一組；④如果張雪和王凱不同一組，那么李明和趙偉也不同一組．上述結論中，所有正確結論的序號是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．①②③【變式101】（2025·湖南長沙·一模）有三張牌，分別為紅心A、紅心2、紅心8，將這三張牌按任意左右順序排列，再根據下列步驟操作：第一步：將紅心2與左邊的牌互換，如果紅心2已經在最左