專題11與球有關的切接問題綜合知識點1常見的外接球模型1、墻角模型適用范圍：3組或3條棱兩兩垂直；可在長方體中畫出該圖且各頂點與長方體的頂點重合【補充】圖1為陽馬，圖2和圖4為鱉臑2、麻花模型適用范圍：對棱相等相等的三棱錐對棱相等指四面體的三組對棱分別對應相等，且這三組對棱構成長方體的三組對面的對角線。第一步：畫出一個長方體，標出三組互為異面直線的對棱；3、垂面模型適用范圍：有一條棱垂直于底面的棱錐。推導過程：作小圓的直徑,連接,則必過球心.第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：4、切瓜模型適用范圍：有兩個平面互相垂直的棱錐推導過程：分別在兩個互相垂直的平面上取外心、過兩個外心做兩個垂面的垂線，兩條垂線的交點即為球心0，取BC的中點為，5、斗笠模型適用于：頂點的投影在底面的外心上的棱錐6、矩形模型適用范圍：兩個直角三角形的斜邊為同一邊，則該邊為球的直徑7、折疊模型適用范圍：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊.推導過程：兩個全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折疊，如圖，作左圖的二面角剖面圖如右圖：分別過這兩個外心做這兩個平面的垂線且垂線相交于球心知識點2多面體的內切球1、正方體的內切球正方體的內切球球心位于其對角線中點處，對于變成為a的正方體，其內切球半徑為R=a22、直棱柱的內切球以直三棱柱為例：直三棱柱內切球在底面投影為底面三角形的內切圓，故直三棱柱內切球半徑R等于底面三角形內切圓半徑r，又因為內切球到上下底面距離相等且都為R，故僅有滿足h=2r的直三棱柱有內切球，其中h3、棱錐的內切球1、方法：一般采用等體積法2、結論：（1）以三棱錐為例說明：若三棱錐ABCD的體積為V，表面積為S，則內切球的半徑為R=3V（2）若正四面體的棱長為a，則其內切球的半徑為6123、推導過程：如圖所示，設內切球的半徑為R，則內切球的球心O到每個面的距離相等且等于R，設?ABC，?ABD，?ACD，?BCD的面積分別為S1，S2，S則VA-BCD即V=13S所以R=【注意】三棱錐一定有內切球，但四棱錐及以上不一定有內切球。特別的：軸截面法對于正四、六、八棱錐，通過底面對邊中點的軸截面的內切圓為棱錐內切球的大圓，該內切圓的半徑為內切球的半徑。以正四棱錐為例推導：設E、F分別為棱AB、CD的中點，則?PEF的內切圓即為該正四棱錐P-ABCD的內切球的大圓，該內切圓的半徑為內切球的半徑：R=r=2知識點3旋轉體的內切球1、圓柱的內切球不是所有的圓柱獨有內切球，只有當圓柱的高h與圓柱的底面半徑r滿足h=2r，即圓柱的軸截面為正方形時，才有內切球，此時內切球的半徑為圓柱的底面半徑r.2、圓錐的內切球圓錐的軸截面為等腰三角形，等腰三角形的內切圓為內切球的大圓，內切圓的半徑即為內切球的半徑，設圓錐底面半徑為r，高為h，則S?PAB=1所以R=考點1墻角模型求外接球【答案】則根據對稱性可得：故答案為：【答案】B圖形可以補形為長方體，該瞥臑的外接球即該長方體的外接球，是長方體的體對角線，也是外接球的直徑，【變式12】（2023春·全國·高一專題練習）“陽馬”，是底面為矩形，且有一條側棱與底面垂直的四棱錐．《九章算術》總結了先秦時期數學成就，是我國古代內容極為豐富的數學巨著，對后世數學研究產生了廣泛而深遠的影響．書中有如下問題：“今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺．問積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形，一條側棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長、寬分別為尺和尺，高為8尺，問它的體積是多少？”若以上的條件不變，則這個四棱錐的外接球的表面積為（）平方尺.【答案】【解析】如圖所示，這個四棱錐的外接球和長方體的外接球相同，【答案】側面為全等的等腰直角三角形，故答案為：.【答案】且為該長方體的體對角線，中點即為外接球球心O，故答案為：所以三棱錐可以補全為一個長方體，則半徑為R的球即為長方體的外接球.考點2麻花模型求外接球【答案】D將三棱錐D—ABC放入長方體，設長方體的長、寬、高分別為a，b，c，棱錐D—ABC外接球的半徑為R，【答案】C【答案】A【解析】因為三棱錐的對棱相等，所以可以把它看成長方體的面對角線，長方體體對角線為長方體外接球直徑，即為三棱錐外接球的直徑，【變式24】（2022·全國·高三專題練習）已知四面體ABCD的棱長滿足AB＝AC＝BD＝CD＝2，BC＝AD＝1，現(xiàn)將四面體ABCD放入一個軸截面為等邊三角形的圓錐中，使得四面體ABCD可以在圓錐中任意轉動，則圓錐側面積的最小值為________．【解析】根據題意，只需四面體ABCD在圓錐的內切球內，下面求四面體ABCD的外接球半徑．當圓錐的側面積最小時，該圓錐的內切球即四面體ABCD的外接球，故答案為：.考點3垂面模型求外接球A．3B．C．D．6【答案】CA．B．C．D．【答案】C是中點，連接，如圖所示：【答案】B【解析】根據題意得出圖形如右圖：∵PA⊥面ABC，∴PA//ON，∵PA=2，AN=1，ON=d，∴OA=OP=R，【答案】B故所作垂線與的中垂線的交點考點4切瓜模型求外接球A．9B．18C．27D．36【答案】A【答案】A【解析】如圖所示：取BD的中點O，【答案】A所以四面體PABC的外接球的球心在上，A．B．C．D．【答案】B【答案】C【解析】由題意將該四棱錐放在一個長方體的中，如圖①所示：考點5斗笠模型求外接球【答案】C【解析】設正四面體的棱長為2a，【答案】C【變式52】（2022·全國·高一專題練習）某四棱錐的底面為正方形，頂點在底面的射影為正方形中心，該四棱錐內有一個半徑為1的球，則該四棱錐的表面積最小值是（）A．16B．8C．32D．24【答案】C【解析】因為四棱錐的底面為正方形，頂點在底面的射影為正方形中心，該四棱錐的表面積最小值是，故選：C.所以球心在直線上，設三棱錐外接球的半徑為，考點6矩形模型求外接球【答案】D【解析】如圖，O為CD的中點，A．B．C．D．【答案】A【解析】由圖所示，易知三棱錐DABC的外接球球心為AC的中點O，易得OB=OC=OD=1，且OC⊥OB，DO⊥面OBC，計算可得BC=CD=BD=，【答案】A當四面體的體積最大時，半徑也是，【變式63】（2022春·四川成都·高一統(tǒng)考期末）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，將△ABC沿對角線AC折起，則三棱錐BACD的外接球的表面積為（）A．36πB．64πC．100πD．與二面角BACD的大小有關【答案】C【解析】在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，考點7折疊模型求外接球【答案】A【解析】如圖，設D為AB的中點，連接CD,,【答案】B故答案為：.【答案】A【解析】如圖，取AC的中點D，連接BD，SD，過點D作與平面ABC垂直的直線，則球心O在該直線上，考點8多面體的內切球【答案】D設該三棱錐內切球的球心為，半徑為，A．B．C．D．【答案】D設三棱錐的內切球的半徑為,所以正三棱柱的高為2r＝4．又正三棱柱的底面三角形的內切圓半徑與球的半徑相等，所以底面正三角形的邊長為，【變式84】（2022春·廣東廣州·高一?？茧A段練習）（多選）已知圓臺的上底半徑為1，下底半徑為3，球O與圓臺的兩個底面和側面都相切，則下列命題中正確的是（）A．圓臺的高為4B．圓臺的母線長為4C．圓臺的表面積為D．球O的表面積為【答案】BD【解析】設梯形ABCD為圓臺的軸截面，則內切圓為圓臺內切球的大圓，如圖，考點9旋轉體的內切球【答案】D【解析】∵圓錐的母線與底面所成的角為60°，∴設底面圓的半徑為a，母線長為，設該圓錐內切球的半徑r，【變式91】（2022春·遼寧·高一渤海大學附屬高級中學?？茧A段練習）已知一個圓錐的母線長為2，側面積為.若圓錐內部有一個球，當球的半徑最大時，球的體積為（）【答案】D球內切于圓錐，如圖所示，O為球心，M為球O與母線PB的切點，E為底面圓心，設球O的半徑為R，底面圓E的半徑為r因為圓錐側面積為，【變式92】（2023·高一單元測試）如圖，在圓柱內有一個球，該球與圓柱的上下底面及母線均相切，已知圓柱的底面半徑為3，則圓柱的體積為__________．【答案】【解析】設圓柱的底面半徑為，球的半徑為．【答案】A【解析】如圖所示，旋轉體的軸截面是邊長為3的菱形，設為內切球的球心，考點10球與球的相切【例10】（2021秋·湖南衡陽·高一衡陽市一中校考期中）（多選）某球形巧克力設計了一種圓柱形包裝盒，每盒可裝7個球形巧克力，每盒只裝一層，相鄰的球形巧克力相切，與包裝盒接觸的6個球形巧克力與包裝盒相切，如圖是平行于底面且過圓柱母線中點的截面，設包裝盒的底面半徑為，球形巧克力的半徑為，每個球形巧克力的體積為，包裝盒的體積為，則（）【答案】AD【變式101】（2023春·安徽·高一安徽師范大學附屬中學?？茧A段練習）棱長為的正四面體內切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球，則這樣一個小球的表面積最大為（）【答案】A設內切球球心為，半徑為，空隙處的最大球球心為，半徑為，即小球的最大半徑為.【解析】由題意，正方體盒內四個小球最大時，四個小球相切，且與正方體側面相切，顯然大球此時最小，大球球心O與四個小球球心，，，構成一個正四棱錐，將向兩端延長交上底面于H，交下底面于K，則：【變式103】（2022·安徽淮北·統(tǒng)考一模）半球內放三個半徑為的小球，三小球兩兩相切，并且與球面及半球底面的大圓面也相切，則該半球的半徑是（）【答案】D【解析】三個小球的球心、、構成邊長為的正三角形，則其外接圓半徑為．設半球的球心為，小球與半球底面切于點．如圖，經過點、、作半球的截面，【解析】如圖所示：設O為大球的球心，大正四面體的底面中心為E，CD的中點為F，棱長為a，高為h，連接OA，OB，OC，OD，因為大正四面體的棱長為12，故答案為：A．B．C．2D．【答案】B【答案】A∴易知其外接球球心在線段MN所在直線上，設外接球球心為O，如圖當球心在線段MN延長線上時，如圖當球心在線段MN上時，3．（2023春·河南濮陽·高一濮陽外國語學校?？计谥校┯幸粋€正三棱柱形狀的石料，該石料的底面邊長為6．若該石料最多可打磨成四個半徑為的石球，則至少需要打磨掉的石料廢料的體積為（）【答案】B【解析】設底面是邊長為的等邊三角形的內切圓的半徑為，若可以將該石料打磨成四個半徑為的石球，則該柱形石料的高至少為，故選：B.4．（2023春·全國·高一專題練習）上、下底面均為等邊三角形的三棱臺的所有頂點都在同一球面上，若三棱臺的高為，上、下底面邊長分別為，，則該球的體積為（）【答案】A所以點就是幾何體的外接球的球心.5．（2023春·全國·高一專題練習）已知四邊形ABCD的對角線AC，BD的長分別為和6，且BD垂直平分AC把△ACD沿AC折起，使得點D到達點P，則三棱錐PABC體積最大時，其外接球半徑為（）【答案】B則O為三棱錐PABC外接球球心.6．（2023春·河北邯鄲·高一大名縣第一中學?？计谥校┱襟w的體積為8，則正方體的外接球的半徑為（）A．2B．C．3D．4【答案】B【答案】D【解析】由題意可得，球的內接三棱錐即三棱錐的外接球又長方體的體對角線長為外接球的直徑，A．B．C．D．【答案】B∴球的表面積為．故選：B.【答案】D【解析】如圖，三棱柱外接球的球心在上下底面三角形中心連線的中點處，A．B．C．D．【答案】B即PQ的最小值為，的最小值是1，即A到BC的距離為1，又∠BAC＝60°，則△ABC的外接圓圓心M為AB的中點，又PA⊥平面ABC，從而外接球的球心O為PB的中點，11．（2023·高一課時練習）若正四面體的表面積為，則其外接球的體積為（）【答案】A【解析】設正四面體的棱長為，將正四面體補成一個正方體，則正方體的棱長為，正方體的體對角線長為，因為正四面體的外接球的直徑為正方體的體對角線長，【答案】C【答案】則該幾何體是以為底面圓半徑，、為母線的兩個圓錐拼接而成的組合體，設該組合體的內切球球心為點，則點在線段上，點到、的距離相等，故答案為：.【答案】【解析】設球心到面ABCD的距離為，半徑為，由矩形ABCD的頂點都在球心為O的球面上可知球心在底面ABCD的投影為矩形的中心，故答案為：16．（2023春·全