1.3弧度制4種常見考法歸類課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)了解弧度制，能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握弧度制與角度制的互化，記住特殊角的弧度制，掌握與弧度制相關(guān)的弧長公式和面積公式的運用，為后面學(xué)習(xí)三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容奠定基礎(chǔ).知識點01度量角的兩種制度角度制定義用度作為單位來度量角的單位制1度的角周角的為1度的角，記作1°弧度制定義以弧度為單位來度量角的單位制1弧度的角長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角.1弧度記作1rad注：正確理解弧度與角度的概念區(qū)別(1)定義不同；(2)單位不同：弧度制以“弧度”為單位，角度制以“度”為單位聯(lián)系(1)不管以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個與圓的半徑大小無關(guān)的值；(2)“弧度”與“角度”之間可以相互轉(zhuǎn)化【即學(xué)即練1】下列說法中，錯誤的是（）A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．的角是周角的的角是周角的C．的角比的角要大D．用弧度制度量角時，角的大小與圓的半徑有關(guān)知識點02弧度數(shù)的計算1．正角：正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)．2．負(fù)角：負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)．3．零角：零角的弧度數(shù)是0．4．如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|＝．【即學(xué)即練2】時間經(jīng)過4小時，分針轉(zhuǎn)的弧度數(shù)為（）A． B． C． D．【即學(xué)即練3】角為2弧度角的終邊在第_______象限．（）A．一 B．二 C．三 D．四知識點03角度制與弧度制的換算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝π180rad≈1rad＝180π°≈度數(shù)×π180弧度數(shù)×180π注：角度制與弧度制換算公式的理解(1)弧度制、角度制都是角的度量制，它們之間可以進行換算．(2)用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，單位不同，量度也不同．(3)特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表：度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0【即學(xué)即練4】把化成角度是（）A． B． C． D．【即學(xué)即練5】（多選）下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的是A．化成弧度是 B．化成角度是C．化成弧度是 D．化成角度是【即學(xué)即練6】將改寫成的形式是（）A． B． C． D．知識點04扇形的弧長和面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則1．弧長公式：l＝α·R．2．扇形面積公式：S＝12lR＝12α·【即學(xué)即練7】若某扇形的弧長為，圓心角為，則該扇形的半徑是（）A．1 B．2 C．3 D．4【即學(xué)即練8】半徑為10cm，弧長為20cm的扇形中，弧所對的圓心角為（）A．弧度 B．2度 C．2弧度 D．10弧度 【即學(xué)即練9】已知扇形面積為，半徑是1，則扇形的圓心角是（）A． B．C． D．題型一：角度與弧度的換算例1.（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）將下列各弧度化成角度.(1)(2)(3)(4)-3變式1.（2023·全國·高一專題練習(xí)）把下列角度與弧度進行互化．(1)；(2)；(3)；(4).(5)(6)(7)(8)(9)(10)【方法技巧與總結(jié)】進行角度制與弧度制的互化的原則和方法(1)原則：牢記180°＝πrad，充分利用1°＝π180rad和1rad＝180(2)方法：設(shè)一個角的弧度數(shù)為α，角度數(shù)為n，則αrad＝α·180π°；n°＝n·提醒：(1)用“弧度”為單位度量角時，“弧度”二字或“rad”可以省略不寫．(2)用“弧度”為單位度量角時，常常把弧度數(shù)寫成多少π的形式，如無特別要求，不必把π寫成小數(shù)．(3)度化弧度時，應(yīng)先將分、秒化成度，再化成弧度．題型二：用弧度制表示角的集合例2.與終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（

）A． B．C． D．變式1.（2023下·江西贛州·高一校聯(lián)考期中）已知.(1)將寫成的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求與終邊相同的角，滿足．變式2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）終邊在直線上的角的集合為．例3.（2023上·高一課時練習(xí)）用弧度制寫出終邊在陰影部分的角的集合：(1)

(2)

變式1.如圖，用弧度表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界).（1）；（2）【方法技巧與總結(jié)】(1)用弧度數(shù)表示與角α終邊相同的角連同角α在內(nèi)的集合為{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．(2)用弧度數(shù)表示區(qū)域角時，先把角度換算成弧度，再寫出與區(qū)域角的終邊相同的角的集合，最后用不等式表示出區(qū)域角的集合，對于能合并的應(yīng)當(dāng)合并．題型三：弧長公式和扇形面積公式的應(yīng)用例4.已知扇形的圓心角為，面積為，則該扇形所在圓的半徑為（）A． B． C． D．變式1.（2023上·上海松江·高三?？计谥校┤粢簧刃蔚膱A心角為，半徑為2，則扇形的弧長為.變式2.（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知扇形AOB的面積為，圓心角為120°，則該扇形的半徑為，弧長為.變式3.（2023下·山東淄博·高一校聯(lián)考期中）已知扇形面積，半徑是1，則扇形的周長是（

）A． B． C． D．變式4.（2023上·重慶·高三西南大學(xué)附中校考期中）已知扇形的圓心角是，半徑為，則扇形的面積為（

）A． B． C． D．變式5.如圖所示，扇環(huán)的兩條弧長分別是4和10，兩條直邊與的長都是3，則此扇環(huán)的面積為（）A．84 B．63 C．42 D．21變式6.（2023上·上?！じ呷虾Ｊ羞M才中學(xué)校考期中）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面積的計算問題，如圖所示，弧田是由弧和弦所圍成的圖中陰影部分．若弧田所在扇形的圓心角為，扇形的面積為，則此弧田的面積為．

【方法技巧與總結(jié)】弧長公式和扇形面積公式的應(yīng)用類問題的解決方法：①將角度轉(zhuǎn)化為弧度表示，弧度制的引入使相關(guān)的弧長公式、扇形面積公式均得到了簡化，因此解決這些問題通常采用弧度制．一般地，在幾何圖形中研究的角，其范圍是(0，2π)；②利用α，l，R，S四個量“知二求二”代入公式．題型四：扇形中的最值問題例5.（2023下·高一單元測試）若有一扇形的周長為60cm，那么扇形的最大面積為.變式1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）若扇形的周長為18，則扇形面積取得最大值時，扇形圓心角的弧度數(shù)是.變式2.（2023下·上海寶山·高一校考階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為R，弧長為l．(1)若，，求扇形的弧長l；(2)若扇形面積為16，求扇形周長的最小值，及此時扇形的圓心角．變式3.（2023下·湖北宜昌·高一校聯(lián)考期中）某地政府部門欲做一個“踐行核心價值觀”的宣傳牌，該宣傳牌形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形挖去扇形后構(gòu)成的)．已知米，米，線段、線段與弧、弧的長度之和為米，圓心角為弧度．(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)記該宣傳牌的面積為，試問取何值時，的值最大?并求出最大值．一、單選題1．（2023上·貴州黔南·高一貴州省甕安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將化為弧度是（

）A． B． C． D．2．（2023上·全國·高一專題練習(xí)）若，則角的終邊所在的象限是（）A．第四象限 B．第三象限C．第二象限 D．第一象限3．（2023上·上海松江·高一?？计谀┫铝忻}中，正確的是（

）A．1弧度的角就是長為半徑的弦所對的圓心角B．若是第一象限的角，則也是第一象限的角C．若兩個角的終邊重合，則這兩個角相等D．用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān)4．（2024上·陜西榆林·高一統(tǒng)考期末）如圖所示的時鐘顯示的時刻為，設(shè)150分鐘后時針與分針的夾角為，則（

）A． B． C． D．5．（2024上·山西忻州·高一校聯(lián)考期末）已知某扇形的面積為12，半徑為4，則該扇形圓心角（正角）的弧度數(shù)為（

）A．3 B．2 C． D．6．（2024上·山東濟南·高一統(tǒng)考期末）工藝扇面是中國書畫的一種常見表現(xiàn)形式.如圖所示，已知扇面展開后形成一個中心角為的扇環(huán)，其中扇環(huán)的外圓半徑為，內(nèi)圓半徑為，某同學(xué)準(zhǔn)備用布料制作這樣一個扇面，若不計損耗，則需要布料（

）A． B． C． D．7．（2024上·福建廈門·高一廈門外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知扇形的周長為4，圓心角為弧度數(shù)2，則扇形的面積為（

）A．1 B．2 C． D．8．（2024上·青海西寧·高一統(tǒng)考期末）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載：“今有宛田，下周三十步，徑十六步，問為田幾何？”譯成現(xiàn)代漢語其意思為：有一塊扇形田，弧長30步，其所在圓的直徑是16步，問這塊田的面積為多少？（

）A．240平方步 B．120平方步 C．80平方步 D．60平方步9．（2024上·云南·高一統(tǒng)考期末）折扇又名“撒扇”、“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨、韌紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子（如圖1），其平面圖為如圖2的扇形，已知，扇面（曲邊四邊形的面積是，則（

）

A． B． C． D．10．（2024上·湖南湘西·高一統(tǒng)考期末）磚雕是我國古建筑雕刻中的重要藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)膩、氣韻生動、極富書卷氣．圖（2）是根據(jù)一個磚雕（如圖（1））所作的扇環(huán)形，該扇環(huán)可視為將扇形OAB截去同心扇形OCD所得的圖形，若，，分別在OA，OB上，，的長度，則該扇環(huán)形磚雕的面積為（

）A． B．C． D．二、多選題11．（2024上·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）若某扇形的周長為18，面積為20，則該扇形的半徑可能為（

）A．2 B．4 C．5 D．1012．（2023·全國·高一課堂例題）下列各角中，與角終邊相同的角為（

）A． B． C． D．13．（2023上·山東濟南·高一山東省實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列各組角終邊相同的一組是（

）A．， B．，C．， D．，14．（2024上·江蘇南京·高一統(tǒng)考期末）已知扇形的半徑為，弧長為.若其周長的數(shù)值為面積的數(shù)值的2倍，則下列說法正確的是（

）A．該扇形面積的最小值為8B．當(dāng)扇形周長最小時，其圓心角為2C．的最小值為9D．的最小值為15．（2024上·吉林長春·高一吉林省實驗?？计谀┲袊鴤鹘y(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊，一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成．如圖，設(shè)扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)與的比值為時，扇面為“美觀扇面”，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，扇形的半徑，則C．若扇面為“美觀扇面”，則D．若扇面為“美觀扇面”，半徑，則扇形面積為三、填空題16．（2023下·遼寧撫順·高一校聯(lián)考期中）“密位制”是一種度量角的方法，我國采用的“密位制”是6000密位制，即將一個圓周角分6000等份，每一等份是一個密位，則350密位的對應(yīng)角的弧度數(shù)為．17．（2024上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）如圖1，折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，其展開的平面圖如圖2的扇形AOB，其中，，則扇面（曲邊四邊形ABDC）的面積是．18．（2024上·陜西安康·高一?？计谀┤魣A心角為的扇形的弦長為，則該扇形弧長為.19．（2024上·山東煙臺·高一統(tǒng)考期末）已知某扇形的面積為，圓心角的弧度數(shù)為，則該扇形的周長為．20．（2024上·重慶·高一重慶南開中學(xué)?？计谀┠铣瘶犯窀琛蹲右顾臅r歌》之夏歌曰：“疊扇放床上，企想遠(yuǎn)風(fēng)來；輕袖佛華妝，窈窕登高臺”，中國傳統(tǒng)折扇有著極其深厚的文化底蘊．如圖所示，展開的折扇可看作是從一個扇形，某藝術(shù)節(jié)展示活動中，小李同學(xué)打算利用一條2米長的紫色絲帶圍成一個扇形展示框，則該展示框的面積最大值為．四、解答題21．（2023上·貴州黔東南·高一統(tǒng)考期末）某公園要設(shè)計一個扇環(huán)形狀的花壇（如圖所示），該扇環(huán)是以點為圓心的兩個同心圓，圓弧所在圓的半徑（單位：米），圓弧所在圓的半徑（單位：米），圓心角．(1)求弧長；(2)求花壇的面積．22．（2023上·廣西河池·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）某時鐘的分針長，時間從12：00到12：25，求：(1)分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)；(2)分針掃過的扇形面積；(3)分針尖端所走過的弧長（取3.14，計算結(jié)果精確到0.01）．23．（2021·高一課時練習(xí)）用弧度制表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合（包括邊界，如圖7-1-7所示）．24．（2023上·江蘇宿遷·高一校考階段練習(xí)）已知扇形的半徑，周長為，(1)求扇形的面積；(2)在區(qū)間上求出與此扇形的圓心角終邊相同的角.1.3弧度制4種常見考法歸類課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)了解弧度制，能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握弧度制與角度制的互化，記住特殊角的弧度制，掌握與弧度制相關(guān)的弧長公式和面積公式的運用，為后面學(xué)習(xí)三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容奠定基礎(chǔ).知識點01度量角的兩種制度角度制定義用度作為單位來度量角的單位制1度的角周角的為1度的角，記作1°弧度制定義以弧度為單位來度量角的單位制1弧度的角長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角.1弧度記作1rad注：正確理解弧度與角度的概念區(qū)別(1)定義不同；(2)單位不同：弧度制以“弧度”為單位，角度制以“度”為單位聯(lián)系(1)不管以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個與圓的半徑大小無關(guān)的值；(2)“弧度”與“角度”之間可以相互轉(zhuǎn)化【即學(xué)即練1】下列說法中，錯誤的是（）A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．的角是周角的的角是周角的C．的角比的角要大D．用弧度制度量角時，角的大小與圓的半徑有關(guān)【答案】D【分析】利用角度和弧度的定義及轉(zhuǎn)化關(guān)系分別進行判斷即可.【詳解】根據(jù)角度和弧度的概念可知二者都是角的度量單位，的角是周角的，1rad的角是周角的，故A、B正確；1rad的角是，故C正確；無論哪種角的度量方法，角的大小都與圓的半徑無關(guān)，只與角的始邊和終邊的位置有關(guān)，故D錯誤.故選：D知識點02弧度數(shù)的計算1．正角：正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)．2．負(fù)角：負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)．3．零角：零角的弧度數(shù)是0．4．如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|＝．【即學(xué)即練2】時間經(jīng)過4小時，分針轉(zhuǎn)的弧度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分針按順時針方向轉(zhuǎn)了4圈，求出分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)即可【詳解】根據(jù)分針經(jīng)過4小時，分針按順時針方向轉(zhuǎn)了4圈，所以分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為故選：D【即學(xué)即練3】角為2弧度角的終邊在第_______象限．（）A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【分析】根據(jù)題意得到2弧度，再判斷象限即可.【詳解】2弧度，為第二象限角.故選：B知識點03角度制與弧度制的換算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝π180rad≈1rad＝180π°≈度數(shù)×π180弧度數(shù)×180π注：角度制與弧度制換算公式的理解(1)弧度制、角度制都是角的度量制，它們之間可以進行換算．(2)用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，單位不同，量度也不同．(3)特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表：度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0【即學(xué)即練4】把化成角度是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用弧度和角度的關(guān)系，即得解【詳解】由題意，故選：B【即學(xué)即練5】（多選）下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的是A．化成弧度是 B．化成角度是C．化成弧度是 D．化成角度是【答案】ABD【分析】根據(jù)弧度與角度的轉(zhuǎn)化,化簡即可判斷選項.【詳解】對于A,,正確;對于B,,正確;對于C,,錯誤;對于D,,正確.故選ABD【點睛】本題考查了弧度與角度的轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化過程中注意進制和單位,屬于基礎(chǔ)題.【即學(xué)即練6】將改寫成的形式是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)題意得到，再轉(zhuǎn)化為弧度即可.【詳解】因為，所以轉(zhuǎn)化弧度為.故選：C知識點04扇形的弧長和面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則1．弧長公式：l＝α·R．2．扇形面積公式：S＝12lR＝12α·【即學(xué)即練7】若某扇形的弧長為，圓心角為，則該扇形的半徑是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先設(shè)出半徑，然后利用扇形弧長公式求解即可.【詳解】設(shè)該扇形半徑為，又∵圓心角，弧長，∴扇形弧長公式可得，，解得，.故選：B.【即學(xué)即練8】半徑為10cm，弧長為20cm的扇形中，弧所對的圓心角為（）A．弧度 B．2度 C．2弧度 D．10弧度【答案】C【分析】利用扇形圓心角的公式求解.【詳解】設(shè)弧所對的圓心角為，則弧度.故選：C 【即學(xué)即練9】已知扇形面積為，半徑是1，則扇形的圓心角是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為扇形面積為，半徑是1，S=l·r，所以扇形的弧長為，因為l=|α|r，所以扇形的圓心角為．故選C．【名師點睛】在應(yīng)用弧長公式l=|α|r及扇形面積公式S=l·r時，要注意的單位是“弧度”，而不是“度”，如果已知角是以“度”為單位的，則必須先把它化成以“弧度”為單位后再代入計算．題型一：角度與弧度的換算例1.（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）將下列各弧度化成角度.(1)(2)(3)(4)-3【答案】(1)-15°(2)135°(3)210°(4)-171°54′【分析】根據(jù)弧度制的定義，可得答案.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）.變式1.（2023·全國·高一專題練習(xí)）把下列角度與弧度進行互化．(1)；(2)；(3)；(4).(5)(6)(7)(8)(9)(10)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）由弧度制和角度值的轉(zhuǎn)化公式解即可得出答案.【詳解】（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）（10）.【方法技巧與總結(jié)】進行角度制與弧度制的互化的原則和方法(1)原則：牢記180°＝πrad，充分利用1°＝π180rad和1rad＝180(2)方法：設(shè)一個角的弧度數(shù)為α，角度數(shù)為n，則αrad＝α·180π°；n°＝n·提醒：(1)用“弧度”為單位度量角時，“弧度”二字或“rad”可以省略不寫．(2)用“弧度”為單位度量角時，常常把弧度數(shù)寫成多少π的形式，如無特別要求，不必把π寫成小數(shù)．(3)度化弧度時，應(yīng)先將分、秒化成度，再化成弧度．題型二：用弧度制表示角的集合例2.與終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)角度的表示方法分析判斷AB，根據(jù)終邊相同的角的定義分析判斷CD.【詳解】在同一個表達(dá)式中，角度制與弧度制不能混用，所以A，B錯誤．與終邊相同的角可以寫成的形式，時，，315°換算成弧度制為，所以C錯誤，D正確．故選：D．變式1.（2023下·江西贛州·高一校聯(lián)考期中）已知.(1)將寫成的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求與終邊相同的角，滿足．【答案】(1)，是第四象限角；(2)或.【分析】（1）利用，將角度值化為弧度制，并得到所在象限；（2）由，根據(jù)的范圍求出的值，從而可求解.【詳解】（1）因為,，所以.因為，所以是第四象限角.（2），所以與終邊相同的角可表示為,令，解得，所以.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以或.變式2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）終邊在直線上的角的集合為．【答案】【分析】由任意角與弧度制的定義求解，【詳解】由題意得與軸的夾角為，故終邊在直線上的角的集合為，故答案為：例3.（2023上·高一課時練習(xí)）用弧度制寫出終邊在陰影部分的角的集合：(1)

(2)

【答案】(1)(2)【分析】首先找到對應(yīng)邊界的終邊表示的角，再寫成集合形式.【詳解】（1）邊界對應(yīng)射線所在終邊的角分別為，，所以終邊在陰影部分的角的集合為.（2）邊界對應(yīng)射線所在終邊的角分別為，，，，所以終邊在陰影部分的角的集合為變式1.如圖，用弧度表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界).（1）；（2）【答案】（1）；（2）或.【分析】由圖①可知，以O(shè)A為終邊的角為+2kπ(k∈Z)；以O(shè)B為終邊的角為+2kπ(k∈Z)，由此可求出陰影部分內(nèi)的角的集合；由圖②可知，以O(shè)A為終邊的角為+2kπ(k∈Z)；以O(shè)B為終邊的角為+2kπ(k∈Z).不妨設(shè)右邊陰影部分所表示的集合為M1，左邊陰影部分所表示的集合為M2，由陰影部分內(nèi)的角的集合為.【詳解】如題圖①，以O(shè)A為終邊的角為+2kπ(k∈Z)；以O(shè)B為終邊的角為+2kπ(k∈Z)，所以陰影部分內(nèi)的角的集合為；如題圖②，以O(shè)A為終邊的角為+2kπ(k∈Z)；以O(shè)B為終邊的角為+2kπ(k∈Z).不妨設(shè)右邊陰影部分所表示的集合為M1，左邊陰影部分所表示的集合為M2，則M1=，M2=.所以陰影部分內(nèi)的角的集合為或.【方法技巧與總結(jié)】(1)用弧度數(shù)表示與角α終邊相同的角連同角α在內(nèi)的集合為{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．(2)用弧度數(shù)表示區(qū)域角時，先把角度換算成弧度，再寫出與區(qū)域角的終邊相同的角的集合，最后用不等式表示出區(qū)域角的集合，對于能合并的應(yīng)當(dāng)合并．題型三：弧長公式和扇形面積公式的應(yīng)用例4.已知扇形的圓心角為，面積為，則該扇形所在圓的半徑為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件利用扇形面積公式直接計算即得.【詳解】因扇形的圓心角為，則此圓心角的弧度數(shù)是，設(shè)圓的半徑為r，則由扇形面積公式得：，而，解得，所以該扇形所在圓的半徑為2.故選：B變式1.（2023上·上海松江·高三校考期中）若一扇形的圓心角為，半徑為2，則扇形的弧長為.【答案】/【分析】直接根據(jù)扇形的弧長公式求解即可．【詳解】，，故答案為：.變式2.（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知扇形AOB的面積為，圓心角為120°，則該扇形的半徑為，弧長為.【答案】/1.5【分析】根據(jù)扇形的面積公式和弧長公式計算即可.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，因為扇形AOB的面積為，圓心角為，由扇形的面積，可得：，解得：，可得扇形的弧長.故答案為：；．變式3.（2023下·山東淄博·高一校聯(lián)考期中）已知扇形面積，半徑是1，則扇形的周長是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由扇形的面積公式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)扇形的弧長為，由扇形的面積公式可得，，即，所以，則扇形的周長為.故選：C變式4.（2023上·重慶·高三西南大學(xué)附中?？计谥校┮阎刃蔚膱A心角是，半徑為，則扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用扇形的面積公式可求得該扇形的面積.【詳解】因為扇形的圓心角是，半徑為，則該扇形的面積為.故選：D.變式5.如圖所示，扇環(huán)的兩條弧長分別是4和10，兩條直邊與的長都是3，則此扇環(huán)的面積為（）A．84 B．63 C．42 D．21【答案】D【分析】設(shè)扇環(huán)的圓心角為，小圓弧的半徑為，依題意可得且，解得、，進而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)扇環(huán)的圓心角為，小圓弧的半徑為，由題可得且，解得，，從而扇環(huán)面積.故選：D．變式6.（2023上·上海·高三上海市進才中學(xué)?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面積的計算問題，如圖所示，弧田是由弧和弦所圍成的圖中陰影部分．若弧田所在扇形的圓心角為，扇形的面積為，則此弧田的面積為．

【答案】【分析】設(shè)扇形的半徑為，利用扇形的面積公式求出的值，然后利用扇形的面積減去三角形的面積可得出弧田的面積.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，則扇形的面積為，解得，取的中點，連接，如下圖所示：

因為，則，又因為，則，所以，，，則，所以，，因此，弧田的面積為.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】弧長公式和扇形面積公式的應(yīng)用類問題的解決方法：①將角度轉(zhuǎn)化為弧度表示，弧度制的引入使相關(guān)的弧長公式、扇形面積公式均得到了簡化，因此解決這些問題通常采用弧度制．一般地，在幾何圖形中研究的角，其范圍是(0，2π)；②利用α，l，R，S四個量“知二求二”代入公式．題型四：扇形中的最值問題例5.（2023下·高一單元測試）若有一扇形的周長為60cm，那么扇形的最大面積為.【答案】225【分析】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，根據(jù)扇形的周長、面積和半徑、弧長的關(guān)系建立二次函數(shù)關(guān)系，從而求出最大值即可.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，則，扇形的面積為：，當(dāng)時，取得最大值，最大值為，所以扇形面積的最大值為.故答案為：225.變式1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）若扇形的周長為18，則扇形面積取得最大值時，扇形圓心角的弧度數(shù)是.【答案】2【分析】設(shè)扇形的半徑為，則弧長為，結(jié)合面積公式計算面積取得最大值時的取值，再用圓心角公式即可得弧度數(shù).【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，則，即，所以扇形面積，所以當(dāng)時，取得最大值為，此時，所以圓心角為（弧度）.故答案為：2變式2.（2023下·上海寶山·高一?？茧A段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為R，弧長為l．(1)若，，求扇形的弧長l；(2)若扇形面積為16，求扇形周長的最小值，及此時扇形的圓心角．【答案】(1)(2)扇形周長的最小值為，此時【分析】（1）先將圓心角化為弧度制，再根據(jù)弧長公式即可得解；（2）根據(jù)扇形的面積公式求得的關(guān)系，再利用基本不等式即可得出答案.【詳解】（1）因為，，所以扇形的弧長；（2）由扇形面積，得，則扇形周長為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，此時，，所以，所以扇形周長的最小值為，此時.變式3.（2023下·湖北宜昌·高一校聯(lián)考期中）某地政府部門欲做一個“踐行核心價值觀”的宣傳牌，該宣傳牌形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形挖去扇形后構(gòu)成的)．已知米，米，線段、線段與弧、弧的長度之和為米，圓心角為弧度．(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)記該宣傳牌的面積為，試問取何值時，的值最大?并求出最大值．【答案】(1)；(2)當(dāng)時，y的值最大，最大值為．【分析】(1)根據(jù)弧長公式和周長列方程得出關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)根據(jù)面積公式求出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得的最大值．【詳解】（1）根據(jù)題意，弧的長度為米，弧的長度米，，．（2）依據(jù)題意，可知，化簡得：，，當(dāng)，．∴當(dāng)時，y的值最大，且最大值為．一、單選題1．（2023上·貴州黔南·高一貴州省甕安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將化為弧度是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用弧度和角度的互化公式求出答案.【詳解】.故選：B2．（2023上·全國·高一專題練習(xí)）若，則角的終邊所在的象限是（）A．第四象限 B．第三象限C．第二象限 D．第一象限【答案】D【分析】根據(jù)各個象限角的范圍，再結(jié)合條件即可判斷出結(jié)果.【詳解】因為，所以是第一象限角，故選：D.3．（2023上·上海松江·高一?？计谀┫铝忻}中，正確的是（

）A．1弧度的角就是長為半徑的弦所對的圓心角B．若是第一象限的角，則也是第一象限的角C．若兩個角的終邊重合，則這兩個角相等D．用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān)【答案】B【分析】由角度制和弧度制的定義，象限角的概念，判斷各選項的正誤.【詳解】1弧度的角就是長為半徑的弧所對的圓心角，A選項錯誤；若是第一象限的角，則是第四象限的角，所以是第一象限的角，B選項正確；當(dāng)，時，與終邊重合，但兩個角不相等，C選項錯誤；不論是用角度制還是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定義可知度量角與所取圓的半徑無關(guān)，D選項錯誤.故選：B4．（2024上·陜西榆林·高一統(tǒng)考期末）如圖所示的時鐘顯示的時刻為，設(shè)150分鐘后時針與分針的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意，根據(jù)時鐘的特性，結(jié)合弧度制的寫法，可得答案.【詳解】150分鐘后是7：00整，時針指向9，分針指向12，所以．故選：B．5．（2024上·山西忻州·高一校聯(lián)考期末）已知某扇形的面積為12，半徑為4，則該扇形圓心角（正角）的弧度數(shù)為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】C【分析】利用扇形的面積公式計算可得答案.【詳解】設(shè)該扇形的圓心角為，則，解得．故選：C.6．（2024上·山東濟南·高一統(tǒng)考期末）工藝扇面是中國書畫的一種常見表現(xiàn)形式.如圖所示，已知扇面展開后形成一個中心角為的扇環(huán)，其中扇環(huán)的外圓半徑為，內(nèi)圓半徑為，某同學(xué)準(zhǔn)備用布料制作這樣一個扇面，若不計損耗，則需要布料（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用扇形的面積公式可求出扇環(huán)的面積，即可得解.【詳解】由題意可知，扇環(huán)的面積為.故選：C.7．（2024上·福建廈門·高一廈門外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知扇形的周長為4，圓心角為弧度數(shù)2，則扇形的面積為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，由扇形的弧長公式結(jié)合扇形的周長可求得的值，再利用扇形的面積公式可求得該扇形的面積．【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，則，扇形的周長為，可得，所以，，故該扇形的面積為．故選：A.8．（2024上·青海西寧·高一統(tǒng)考期末）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載：“今有宛田，下周三十步，徑十六步，問為田幾何？”譯成現(xiàn)代漢語其意思為：有一塊扇形田，弧長30步，其所在圓的直徑是16步，問這塊田的面積為多少？（

）A．240平方步 B．120平方步 C．80平方步 D．60平方步【答案】B【分析】由已知利用扇形的面積公式即可計算得答案.【詳解】因為扇形田的弧長30步，其所在圓的直徑是16步，根據(jù)扇形的面積公式可得這塊田的面積（平方步）.故選：B9．（2024上·云南·高一統(tǒng)考期末）折扇又名“撒扇”、“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨、韌紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子（如圖1），其平面圖為如圖2的扇形，已知，扇面（曲邊四邊形的面積是，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用扇形的面積公式計算即可.【詳解】設(shè)，則扇面的面積.故選：C10．（2024上·湖南湘西·高一統(tǒng)考期末）磚雕是我國古建筑雕刻中的重要藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)膩、氣韻生動、極富書卷氣．圖（2）是根據(jù)一個磚雕（如圖（1））所作的扇環(huán)形，該扇環(huán)可視為將扇形OAB截去同心扇形OCD所得的圖形，若，，分別在OA，OB上，，的長度，則該扇環(huán)形磚雕的面積為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)扇形的弧長公式及面積公式求解即可.【詳解】因為，，所以，所以,由扇形面積公式可得扇環(huán)形磚雕的面積為：，故選：A二、多選題11．（2024上·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）若某扇形的周長為18，面積為20，則該扇形的半徑可能為（

）A．2 B．4 C．5 D．10【答案】BC【分析】根據(jù)扇形的周長公式和面積公式求解即可.【詳解】設(shè)該扇形的半徑為，弧長為，則，解得或5.故選：BC12．（2023·全國·高一課堂例題）下列各角中，與角終邊相同的角為（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】由，，得與終邊相同的角為，，逐一判斷各選項即可.【詳解】對于A，，，故A正確；對于B，與終邊相同的角為，，當(dāng)時，，故B正確；對于C，令，解得，故C錯誤；對于D，令，解得，故D錯誤．故選：AB.13．（2023上·山東濟南·高一山東省實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列各組角終邊相同的一組是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】ABD【分析】根據(jù)終邊相同角的概念判斷即可.【詳解】對于A：因為，所以與終邊相同，故A正確；對于B：，，所以與的終邊相同，故B正確；對于C：，即的終邊與的終邊相同，，，所以與的終邊不相同，即與的終邊不相同，故C錯誤；對于D：，所以與的終邊相同，故D正確；故選：ABD14．（2024上·江蘇南京·高一統(tǒng)考期末）已知扇形的半徑為，弧長為.若其周長的數(shù)值為面積的數(shù)值的2倍，則下列說法正確的是（

）A．該扇形面積的最小值為8B．當(dāng)扇形周長最小時，其圓心角為2C．的最小值為9D．的最小值為【答案】BCD【分析】由題意，知，則，對于選項ABC利用基本不等式可判斷，對于選項D利用二次函數(shù)可解.【詳解】由題意，知，則，所以扇形面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，選項A錯誤；扇形周長為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時，圓心角為，選項B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，選項C正確；,當(dāng)時，上式取得最小值為，選項D正確.故選：BCD.15．（2024上·吉林長春·高一吉林省實驗?？计谀┲袊鴤鹘y(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊，一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成．如圖，設(shè)扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)與的比值為時，扇面為“美觀扇面”，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，扇形的半徑，則C．若扇面為“美觀扇面”，則D．若扇面為“美觀扇面”，半徑，則扇形面積為【答案】ACD【分析】對于A,利用扇形面積計算公式進行計算即可；對于B，根據(jù)條件求得的值，利用公式計算即可；對于C，利用條件建立方程，解出即可；對于D，根據(jù)條件求得的值，利用公式計算即可.【詳解】對于A,所在的扇形的圓心角分別為,所以，故A正確；對于B，若，則，又，則，故B錯誤；對于C，若，所以，故C正確；對于D,若，，又，所以，故D正確，故選：ACD.三、填空題16．（2023下·遼寧撫順·高一校聯(lián)考期中）“密位制”是一種度量角的方法，我國采用的“密位制”是6000密位制，即將一個圓周角分6000等份，每一等份是一個密位，則350密位的對應(yīng)角的弧度數(shù)為．【答案】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合“密位制”的定義，即可求解．【詳解】一個圓周角分6000等份，每一等份是一個密位，則350密位的對應(yīng)角的弧度數(shù)為．故答案為：．17．（2024上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）如圖1，折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，其展開的平面圖如圖2的扇