課時(shí)檢測(cè)（六）空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用1.已知AB=(1,2,3),AC=(a,b,b2),若點(diǎn)A,B,C共線,則|BC|=()A.14 B.214C.314 D.9142.已知A(1,2,11),B(4,2,3),C(6,1,4),則△ABC的形狀是()A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形3.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則()A.A1C⊥B1D B.A1C⊥BCC.B1D⊥BC D.B1D⊥AC4.如圖,在正方體ABCD?A1B1C1D1中,PQ與直線A1D和AC都垂直,則直線PQ與BD1的關(guān)系是()A.異面B.平行C.垂直不相交D.垂直且相交5.已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5),則以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的面積為()A.7 B.73C.14 D.146.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)M在AC1上且AM=12MC1,點(diǎn)N為B1B的中點(diǎn),則|MN|為A.66 B.15C.216 D.7.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算,其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖,在塹堵ABC?A1B1C1中,M是A1C1的中點(diǎn),AB=2AA1=2AC,BN=13BB1,MG=3GN,若AG=xAA1+yAB+zAC,則x+y+zA.78 B.C.118 D.8.(5分)如圖,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2,以A為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.若D為A1C與AC1的交點(diǎn),點(diǎn)E為空間中一點(diǎn),且滿足B1C1∥ED,EB1∥DC1,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為.9.(5分)在空間直角坐標(biāo)系中,向量a滿足|a|=3,且與向量b=(1,1,1)的夾角的余弦值為539,請(qǐng)寫(xiě)出向量a的一個(gè)坐標(biāo):10.(5分)已知空間三點(diǎn)A(1,1,0),B(2,2,1),C(1,1,1),則點(diǎn)A到直線BC的距離為.

11.(5分)已知向量a=(2,1,1),點(diǎn)A(3,1,4),B(2,2,2).在直線AB上,存在一點(diǎn)E,使得OE⊥a,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為.12.(5分)如圖,在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng),則直線D1E與A1D所成角的大小為,若D1E⊥EC,則AE=.13.(10分)如圖,在四棱錐S?ABCD中,底面ABCD為正方形,側(cè)棱SD⊥底面ABCD,E,F,G分別為AB,SC,SD的中點(diǎn).若AB=a,SD=b.(1)求|EF|;(5分)(2)求cos<AG,BC>.(5分)14.(10分)如圖,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,線段BB1,A1C1,BC的中點(diǎn)分別為D,E,F.已知AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=2.(1)求證:A1F⊥DE;(5分)(2)求sin<DE,C1F>.(515.(15分)如圖,在四棱錐P?ABCD中,△PBC為等腰直角三角形,且∠CPB=90°,四邊形ABCD為直角梯形,滿足AD∥BC,CD⊥AD,BC=CD=2AD=4,PD=26.(1)若點(diǎn)F為DC的中點(diǎn),求cos<AP,BF>;(9分)(2)若點(diǎn)E為PB的中點(diǎn),點(diǎn)M為AB上一點(diǎn),當(dāng)EM⊥BF時(shí),求AMAB的值.(6分課時(shí)檢測(cè)(六)1．選C因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C共線，所以eq\o(AB,\s\up6(―→))與eq\o(AC,\s\up6(―→))共線，所以eq\f(a,1)＝eq\f(b,2)＝eq\f(b－2,3)，解得a＝－2，b＝－4，故eq\o(AC,\s\up6(―→))＝(－2，－4，－6)，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝eq\o(AC,\s\up6(―→))－eq\o(AB,\s\up6(―→))＝(－3，－6，－9)，|eq\o(BC,\s\up6(―→))|＝eq\r(－32＋－62＋－92)＝3eq\r(14).2．選C因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(―→))＝(3,4，－8)，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝(2，－3,1)，eq\o(AC,\s\up6(―→))＝(5,1，－7)，eq\o(BC,\s\up6(―→))·eq\o(AC,\s\up6(―→))＝10－3－7＝0，∴BC⊥AC，而|eq\o(BC,\s\up6(―→))|＝eq\r(14)，|eq\o(AC,\s\up6(―→))|＝5eq\r(3)，所以△ABC是直角三角形．3.選D以D為原點(diǎn)，{eq\o(DA,\s\up6(―→))，eq\o(DC,\s\up6(―→))，eq\o(DD1,\s\up6(―→))}為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0，1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，所以eq\o(A1C,\s\up6(―→))＝(－1,1，－1)，eq\o(B1D,\s\up6(―→))＝(－1，－1，－1)，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝(－1,0,0)，eq\o(AC,\s\up6(―→))＝(－1,1,0)．因?yàn)閑q\o(A1C,\s\up6(―→))·eq\o(B1D,\s\up6(―→))＝1，eq\o(A1C,\s\up6(―→))·eq\o(BC,\s\up6(―→))＝1，eq\o(BC,\s\up6(―→))·eq\o(B1D,\s\up6(―→))＝1，eq\o(AC,\s\up6(―→))·eq\o(B1D,\s\up6(―→))＝0，所以B1D⊥AC.故選D.4.選B設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則eq\o(DA1,\s\up6(―→))＝(1,0,1)，eq\o(AC,\s\up6(―→))＝(－1,1,0)．設(shè)eq\o(PQ,\s\up6(―→))＝(a，b，c)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝0，,－a＋b＝0，))取eq\o(PQ,\s\up6(―→))＝(1,1，－1)．∵eq\o(BD1,\s\up6(―→))＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1，1)＝－eq\o(PQ,\s\up6(―→))，∴eq\o(PQ,\s\up6(―→))∥eq\o(BD1,\s\up6(―→))，∴PQ∥BD1.5．選B因?yàn)锳(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1，5)，所以eq\o(AB,\s\up6(―→))＝(－2，－1,3)，eq\o(AC,\s\up6(―→))＝(1，－3，2)，所以|eq\o(AB,\s\up6(―→))|＝eq\r(14)，|eq\o(AC,\s\up6(―→))|＝eq\r(14)，所以cos∠BAC＝eq\f(\o(AB,\s\up6(―→))·\o(AC,\s\up6(―→)),|\o(AB,\s\up6(―→))||\o(AC,\s\up6(―→))|)＝eq\f(－2×1＋－1×－3＋2×3,\r(14)×\r(14))＝eq\f(1,2)，所以∠BAC＝60°，平行四邊形面積為2S△ABC，在△ABC中由正弦定理得S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(―→))|×|eq\o(AC,\s\up6(―→))|×sin∠BAC，設(shè)平行四邊形的面積為S，所以S＝eq\r(14)×eq\r(14)×sin60°＝7eq\r(3).6.選C以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，C1(0,1,1)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))，設(shè)M(x，y，z)，∵點(diǎn)M在AC1上且eq\o(AM,\s\up6(―→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up6(―→))，∴(x－1，y，z)＝eq\f(1,2)(－x，1－y,1－z)，∴x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3)，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,3)，\f(1,3))).又Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))，∴|eq\o(MN,\s\up6(―→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))2)＝eq\f(\r(21),6).7.選C如圖，以A1為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(A1A,\s\up6(―→))，eq\o(A1B1,\s\up6(―→))，eq\o(A1C1,\s\up6(―→))分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．不妨令A(yù)B＝4，則A(2,0,0)，B(2,4,0)，A1(0,0,0)，C(2，0,2)，M(0,0,1)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，4，0)).因?yàn)閑q\o(MG,\s\up6(―→))＝3eq\o(GN,\s\up6(―→))，所以Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3，\f(1,4)))，則eq\o(AG,\s\up6(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，3，\f(1,4)))，eq\o(AA1,\s\up6(―→))＝(－2,0,0)，eq\o(AB,\s\up6(―→))＝(0,4,0)，eq\o(AC,\s\up6(―→))＝(0,0,2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝－2x，,3＝4y，,\f(1,4)＝2z，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝\f(3,4)，,z＝\f(1,8)，))故x＋y＋z＝eq\f(11,8).8．解析：由題意知B1(1,0,2)，C1(0,1,2)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1))，設(shè)點(diǎn)E(x，y，z)，則eq\o(B1C1,\s\up6(―→))＝(－1,1,0)，eq\o(DC1,\s\up6(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1))，eq\o(ED,\s\up6(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x，\f(1,2)－y，1－z))，eq\o(EB1,\s\up6(―→))＝(1－x，－y，2－z)，因?yàn)锽1C1∥ED，EB1∥DC1，所以設(shè)eq\o(ED,\s\up6(―→))＝λeq\o(B1C1,\s\up6(―→))，eq\o(EB1,\s\up6(―→))＝μeq\o(DC1,\s\up6(―→))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＝－λ，,\f(1,2)－y＝λ，,1－z＝0，))且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x＝0，,－y＝\f(1,2)μ，,2－z＝μ，))解得λ＝μ＝1，x＝1，y＝－eq\f(1,2)，z＝1，所以點(diǎn)Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)，1)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)，1))9．解析：設(shè)a＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋z2＝9，,cos〈a，b〉＝\f(a·b,|a||b|)＝\f(x＋y＋z,3×\r(3))＝\f(5\r(3),9)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋z2＝9，,x＋y＋z＝5.))則向量a的一個(gè)坐標(biāo)為(1,2,2)．答案：(1,2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(答案不唯一，坐標(biāo)x，y，z滿足\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋z2＝9，,x＋y＋z＝5))即可))10．解析：由題意得eq\o(AB,\s\up6(―→))＝(3,1,1)，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝(－1，－1,0)，所以cos〈eq\o(AB,\s\up6(―→))，eq\o(BC,\s\up6(―→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(―→))·\o(BC,\s\up6(―→)),|\o(AB,\s\up6(―→))||\o(BC,\s\up6(―→))|)＝eq\f(－4,\r(11)×\r(2))＝－eq\f(2\r(2),\r(11))，可得sin〈eq\o(AB,\s\up6(―→))，eq\o(BC,\s\up6(―→))〉＝eq\r(1－cos2〈\o(AB,\s\up6(―→))，\o(BC,\s\up6(―→))〉)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),\r(11))))2)＝eq\f(\r(3),\r(11))，所以點(diǎn)A到直線BC的距離為|eq\o(AB,\s\up6(―→))|·sin〈eq\o(AB,\s\up6(―→))，eq\o(BC,\s\up6(―→))〉＝eq\r(11)×eq\f(\r(3),\r(11))＝eq\r(3).答案：eq\r(3)11．解析：設(shè)eq\o(AE,\s\up6(―→))＝λeq\o(AB,\s\up6(―→))，因?yàn)锳(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)，所以eq\o(AB,\s\up6(―→))＝(1，－1，－2)，eq\o(AE,\s\up6(―→))＝(λ，－λ，－2λ)，eq\o(AO,\s\up6(―→))＝(3,1，－4)，eq\o(OE,\s\up6(―→))＝eq\o(AE,\s\up6(―→))－eq\o(AO,\s\up6(―→))＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)，因?yàn)閑q\o(OE,\s\up6(―→))⊥a，所以－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝0，解得λ＝eq\f(9,5)，又A(－3，－1,4)，eq\o(AE,\s\up6(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)，－\f(9,5)，－\f(18,5)))，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5)))12．解析：在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．又AD＝AA1＝1，AB＝2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)．則D(0,0,0)，D1(0，0,1)，A(1,0,0)，A1(1，0,1)，C(0,2,0)，設(shè)E(1，m,0)，0≤m≤2，則eq\o(D1E,\s\up6(―→))＝(1，m，－1)，eq\o(A1D,\s\up6(―→))＝(－1,0，－1)，∴eq\o(D1E,\s\up6(―→))·eq\o(A1D,\s\up6(―→))＝－1＋0＋1＝0，∴直線D1E與A1D所成角的大小為90°.∵eq\o(EC,\s\up6(―→))＝(－1,2－m,0)，D1E⊥EC，∴eq\o(D1E,\s\up6(―→))·eq\o(EC,\s\up6(―→))＝－1＋m(2－m)＋0＝0，解得m＝1，∴AE＝1.答案：90°113．解：(1)以D為原點(diǎn)，分別以射線DA，DC，DS為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(a,0,0)，B(a，a，0)，C(0，a,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a,2)，0))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\f(b,2)))，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(b,2)))，所以eq\o(EF,\s\up6(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，0，\f(b,2)))，則|eq\o(EF,\s\up6(―→))|＝eq\r(－a2＋02＋\f(b2,4))＝eq\f(\r(4a2＋b2),2).(2)由(1)知eq\o(AG,\s\up6(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，0，\f(b,2)))，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝(－a,0,0)，所以cos〈eq\o(AG,\s\up6(―→))，eq\o(BC,\s\up6(―→))〉＝eq\f(\o(AG,\s\up6(―→))·\o(BC,\s\up6(―→)),|\o(AG,\s\up6(―→))||\o(BC,\s\up6(―→))|)＝eq\f(a2,a·\r(a2＋\f(b2,4)))＝eq\f(2a,\r(4a2＋b2))＝eq\f(2a\r(4a2＋b2),4a2＋b2).14．解：(1)證明：由題意易知AB，AC，AA1兩兩相互垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(AC,\s\up6(―→))，eq\o(AB,\s\up6(―→))，eq\o(AA1,\s\up6(―→))分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則A1(0,0,2)，C1(4，0,2)，D(0，2,1)，E(2,0,2)，F(xiàn)(2,1,0)．因?yàn)閑q\o(A1F,\s\up6(―→))＝(2,1，－2)，eq\o(DE,\s\up6(―→))＝(2，－2,1)，所以eq\o(A1F,\s\up6(―→))·eq\o(DE,\s\up6(―→))＝2×2＋1×(－2)＋(－2)×1＝0，因此A1F⊥DE.(2)由(1)知eq\o(DE,\s\up6(―→))＝(2，－2,1)，eq\o(C1F,\s\up6(―→))＝(－2,1，－2)，則|eq\o(DE,\s\up6(―→))|＝eq\r(22＋－22＋12)＝3，|eq\o(C1F,\s\up6(―→))|＝eq\r(－22＋12＋－22)＝3，可得cos〈eq\o(DE,\s\up6(―→))，eq\o(C1F,\s\up6(―→))〉＝eq\f(\o(DE,\s\up6(―→))·\o(C1F,\s\up6(―→)),|\o(DE,\s\up6(―→))||\o(C1F,\s\up6(―→))|)＝eq\f(2×－2＋－2×1＋1×－2,3×3)＝－eq\f(8,9)，所以sin〈eq\o(DE,\s\up6(―→))，eq\o(C1F,\s\up6(―→))〉＝eq\r(1－cos2〈\o(DE,\s\up6(―→))，\o(C1F,\s\up6(―→))〉)＝eq\f(\r(17),9).15．解：(1)因?yàn)椤鱌BC為等腰直角三角形，∠CPB＝90°，BC＝CD＝4，所以PC＝PB＝2eq\r(2).又PD2＝(2eq\r(6))2＝24，PC2＋CD2＝(2eq\r(2))2＋42＝24，所以DC⊥PC.而CD⊥AD，AD∥BC，故CD⊥BC，因?yàn)镻C∩BC＝C，PC，BC?平面PBC，所以CD⊥平面PBC.以C為原點(diǎn)，CP，CD所在直線分別為x，z軸，過(guò)點(diǎn)C作PB的平行