課時分層作業(yè)四十五直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2015·北京高考)設(shè)α,β是兩個不同的平面,m是直線且m?α,“m∥β”是“α∥β”的 ()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.當(dāng)m∥β時,可能α∥β,也可能α與β相交.當(dāng)α∥β時,由m?α可知,m∥β.因此,“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分條件.2.(2018·惠州模擬)PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面,C為圓上異于A,B兩點(diǎn)的任一點(diǎn),則下列關(guān)系不正確的是 ()A.PA⊥BC B.BC⊥平面PACC.AC⊥PB D.PC⊥BC【解析】選C.由PA⊥平面ACB?PA⊥BC,故A不符合題意;由BC⊥PA,BC⊥AC,PA∩AC=A,可得BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,故B,D不符合題意;無法判斷AC⊥PB,故C符合題意.3.(2018·石家莊模擬)已知平面α,β,直線l,若α⊥β,α∩β=l,則()A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直線l的直線一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直線lD.垂直于直線l的平面一定與平面α,β都垂直【解析】選D.垂直于平面β的平面與平面α重合、平行或相交,故A不正確;垂直于直線l的直線若在平面β內(nèi),則一定垂直于平面α,否則不一定,故B不正確;垂直于平面β的平面可能垂直于直線l,故C不正確;由面面垂直的判定定理知,垂直于直線l的平面一定與平面α,β都垂直,故D正確.【變式備選】已知三條不重合的直線m,n,l和兩個不重合的平面α,β,則下列命題正確的是 ()A.若m∥n,n?α,則m∥αB.若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,則n⊥αC.若l⊥n,m⊥n,則l∥mD.若l⊥α,m⊥β且l⊥m,則α⊥β【解析】選D.若m∥n,n?α,則m∥α或m?α,故A不正確;若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,則n與α相交或n∥α或n?α,故B不正確;若l⊥n,m⊥n,則l與m相交、平行或異面,故C不正確;若l⊥α,m⊥β且l⊥m,則由直線與平面垂直的性質(zhì)定理和平面與平面垂直的判定定理知α⊥β.4.直三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱長為2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中點(diǎn),F是BB1上的動點(diǎn),AB1,DF相交于點(diǎn)E.要使AB1⊥平面C1DF,則線段B1FA.12 B.1 C.32【解析】選A.設(shè)B1F因為AB1⊥平面C1DF,DF?平面C1DF,所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1=2,設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h,則DE=12又2×2=h22所以h=233,DE=在Rt△DB1E中,B1E=222-由面積相等得66×x2+22【變式備選】如圖,三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1,AA∠ACB=90°,D是A1B1的中點(diǎn),F是BB1上的點(diǎn),AB1,DF相交于點(diǎn)E,且AB1⊥DF,則下列結(jié)論中不正確的是 ()A.CE與BC1異面且垂直B.AB1⊥C1C.△C1DF是直角三角形D.DF的長為6【解析】選D.對于A,因為BC1?平面B1C1CB,CE?平面B1C1CB,且C∈平面B1所以CE與BC1是異面直線.因為AA1∥CC1,AA1⊥平面ABC,所以CC1⊥平面ABC,所以CC1⊥AC.又AC⊥BC,BC∩CC1=C,所以AC⊥平面B1C1又BC1?平面B1C1所以AC⊥BC1.又四邊形B1C1CB是正方形,連接B1C,所以BC1⊥B又B1C∩所以BC1⊥平面AB1C,因為CE?平面AB1所以BC1⊥CE,故A正確;對于B,因為C1A1=C1B1,D是A1B1的中點(diǎn),所以C1D⊥A1B1由AA1⊥底面A1B1C1可得AA1⊥C1又A1B1∩AA1=A1,所以C1D⊥平面ABB1A1所以C1D⊥AB1,又DF⊥AB1,C1D∩DF=D,所以AB1⊥平面C1DF,所以AB1⊥C1F,故B正確對于C,由C1D⊥平面ABB1A1可得C1D⊥故△C1DF是直角三角形,故C正確;對于D,因為AC=BC=AA1=1,∠ACB=90°,所以A1B1=AB=2,AB1=3,所以DB1=22因為AB1⊥DF,所以∠FDB1=∠AB1F=∠A1AB1所以cos∠FDB1=cos∠A1AB1,即DB1DF所以22DF=135.已知正方體ABCDA1B1C1D1,點(diǎn)E,F,G分別是線段DC,D1D和D1B上的動點(diǎn),①對于任意給定的點(diǎn)E,存在點(diǎn)F,使得AF⊥A1E;②對于任意給定的點(diǎn)F,存在點(diǎn)E,使得AF⊥A1E;③對于任意給定的點(diǎn)G,存在點(diǎn)F,使得AF⊥B1G④對于任意給定的點(diǎn)F,存在點(diǎn)G,使得AF⊥B1G其中正確結(jié)論的個數(shù)是 ()A.0 B.1 C.2 【解析】選B.由DE⊥平面A1D,根據(jù)三垂線定理,①對于任意給定的點(diǎn)E,A1E在平面A1D的射影為A1D,所以存在點(diǎn)F,使得AF⊥A1E,所以①正確;②如果對于任意給定的點(diǎn)F,存在點(diǎn)E,使得AF⊥A1E,那么,又A1D⊥AD1,可知過A有兩條直線與A1D垂直,故②錯誤;③只有AF垂直B1G在平面AD1的射影時,AF⊥B1G,故③錯誤;④只有AF⊥平面BB1D1D時,④才正確,AF與平面BB1D1D不垂直,故④【變式備選】對于四面體ABCD,有以下命題:①若AB=AC=AD,則點(diǎn)A在底面BCD內(nèi)的射影是△BCD的外心;②若AB⊥CD,AC⊥BD,則點(diǎn)A在底面BCD內(nèi)的射影是△BCD的內(nèi)心;③四面體ABCD的四個面中最多有四個直角三角形;④若四面體ABCD的6條棱長都為1,則它的內(nèi)切球的表面積為π6.()A.①③ B.③④C.①②③ D.①③④【解析】選D.由題設(shè)AB=AC=AD,故頂點(diǎn)A在底面內(nèi)的射影是底面外心,故命題①是正確的;四面體中的四個面中最多有四個直角三角形,如圖1,正方體中的四面體ABCD中有四個直角三角形,故命題③是正確的;對于命題②,如圖2,盡管AB⊥CD,AC⊥BD,點(diǎn)A在底面BCD內(nèi)的射影不一定是△BCD的內(nèi)心,即命題②是錯誤的;若四面體的6條棱都為1,則它的體積為V=13×34×12×1-23×322=212,又設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,則V=4×13×34×r=212?r=二、填空題(每小題5分,共15分)6.α,β是兩個平面,AB,CD是兩條線段,已知α∩β=EF,AB⊥α于B,CD⊥α于D,若增加一個條件,就能得出BD⊥EF,現(xiàn)有下列條件:①AC⊥β;②AC與α,β所成的角相等;③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上;④AC∥EF.其中能成為增加條件的序號是________.

【解析】由題意得,AB∥CD,所以A,B,C,D四點(diǎn)共面,①:因為AC⊥β,EF?β,所以AC⊥EF,又因為AB⊥α,EF?α,所以AB⊥EF,因為AB∩AC=A,所以EF⊥面ABDC,又因為BD?面ABDC,所以BD⊥EF,故①正確;②:由①可知,若BD⊥EF成立,則有EF⊥面ABDC,則有EF⊥AC成立,而AC與α,β所成角相等是無法得到EF⊥AC的,故②錯誤;③:由AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上可知EF⊥AC,由①可知③正確;④:仿照②的分析過程可知④錯誤.答案:①③7.若圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍,則其母線與底面夾角的余弦值為__________.

【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為l,由題意πrl=3πr2,即l=3r,母線與底面夾角為θ,則cosθ=rl=1答案:18.如圖,PA⊥圓O所在的平面,AB是圓O的直徑,C是圓O上的一點(diǎn),E,F分別是點(diǎn)A在PB,PC上的射影,給出下列結(jié)論:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.其中正確結(jié)論的序號是________.

【解析】由題意知PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.又AC⊥BC,且PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥AF.因為AF⊥PC,且BC∩PC=C,所以AF⊥平面PBC,所以AF⊥PB,又AE⊥PB,AE∩AF=A,所以PB⊥平面AEF,所以PB⊥EF.故①②③正確.答案:①②③三、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖,四棱錐PABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AD=2,點(diǎn)M,N分別在棱PD,PC上,且PC⊥平面AMN.(1)求證:AM⊥PD.(2)求直線CD與平面AMN所成角的正弦值.【解析】(1)因為四邊形ABCD是正方形,所以CD⊥AD.又因為PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,故CD⊥平面PAD.又AM?平面PAD,則CD⊥AM,而PC⊥平面AMN,有PC⊥AM,則AM⊥平面PCD,故AM⊥PD.(2)延長NM,CD交于點(diǎn)E,因為PC⊥平面AMN,所以NE為CE在平面AMN內(nèi)的射影,故∠CEN為CD(即CE)與平面AMN所成的角,又因為CD⊥PD,EN⊥PN,則有∠CEN=∠MPN,在Rt△PMN中,sin∠MPN=MNPM=3故CD與平面AMN所成角的正弦值為3310.一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示,在正方體中,設(shè)BC的中點(diǎn)為M,GH的中點(diǎn)為N.(1)請將字母F,G,H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說明理由).(2)證明:直線MN∥平面BDH.(3)求二面角AEGM的余弦值.【解析】(1)點(diǎn)F,G,H的位置如圖所示.(2)連接BD,HF,設(shè)O為BD的中點(diǎn),連接OH,OM,MN.因為M,N分別是BC,GH的中點(diǎn),所以O(shè)M∥CD,且OM=12NH∥CD,且NH=12所以O(shè)M∥NH,OM=NH,所以四邊形MNHO是平行四邊形,從而MN∥OH,又MN?平面BDH,OH?平面BDH,所以MN∥平面BDH.(3)連接AC,EM,過M作MP⊥AC于點(diǎn)P.在正方體ABCDEFGH中,AC∥EG,所以MP⊥EG.過P作PK⊥EG于點(diǎn)K,連接KM,所以EG⊥平面PKM,從而KM⊥EG.所以∠PKM是二面角AEGM的平面角.設(shè)AD=2,則CM=1,PK=2,在Rt△CMP中,PM=CMsin45°=22在Rt△KMP中,KM=PK2+所以cos∠PKM=PKKM=2即二面角AEGM的余弦值為221.(5分)已知m,n表示兩條不同直線,α表示平面,下列說法正確的是()A.若m∥α,n∥α,則m∥nB.若m⊥α,n?α,則m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,則n∥αD.若m∥α,m⊥n,則n⊥α【解析】選B.選項A.若m∥α,n∥α則m與n可能平行、相交、異面,故A錯誤;B.若m⊥α,n?α,則m⊥n,顯然成立;C.若m⊥α,m⊥n,則n∥α或n?α,故C錯誤;D.若m∥α,m⊥n,則n⊥α或n∥α或n與α相交.2.(5分)如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P在線段CC1上,直線OP與平面A1BD所成的角為α,則sinα的取值范圍是A.33,1 C.63,22【解析】選B.設(shè)正方體的棱長為1,則A1C1=2,A1C=3,A1O=OC1=1+12=32,OC=12,所以cos∠A1OCsin∠A1OC1=223,cos∠A1OC=32+12-32×32=33,sin∠A1OC=3.(5分)(2018·郴州模擬)如圖,矩形ABCD中,AB=2AD,E為邊AB的中點(diǎn),將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE(A1?平面ABCD).若M,O分別為線段A1C,DE的中點(diǎn),則在△ADE翻轉(zhuǎn)過程中,下列說法錯誤的是A.與平面A1DE垂直的直線必與直線BM垂直B.異面直線BM與A1E所成角是定值C.一定存在某個位置,使DE⊥MOD.三棱錐A1ADE外接球半徑與棱AD的長之比為定值【解析】選C.取CD的中點(diǎn)F,連接BF,MF,如圖1,可知平面MBF∥平面A1DE,所以BM∥平面A1DE,所以A正確.取A1D中點(diǎn)G,可得EG∥BM,如圖2,所以B正確.由題意可得點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)為F,則DE⊥平面A1AF,即過O與DE垂直的直線在平面A1AF內(nèi),而M不在平面A1AF內(nèi),故C錯誤.三棱錐A1ADE外接球的球心即為O點(diǎn),所以外接球半徑為22AD,故D正確4.(12分)如圖,菱形ABCD與四邊形BDEF相交于BD,∠ABC=120°,BF⊥平面ABCD,DE∥BF,BF=2DE,AF⊥FC,M為CF的中點(diǎn),AC∩BD=G. (1)求證:GM∥平面CDE.(2)求證:平面ACE⊥平面ACF.【證明】(1)取BC的中點(diǎn)N,連接GN,MN.因為G為菱形對角線的交點(diǎn),所以G為BD的中點(diǎn),所以GN∥CD,又因為M,N分別為FC,BC的中點(diǎn),所以MN∥FB,又因為DE∥BF,所以DE∥MN,又MN∩GN=N,DE∩CD=D,所以平面GMN∥平面CDE,又GM?平面GMN,所以GM∥平面CDE.(2)連接GE,GF,因為四邊形ABCD為菱形,所以AB=BC,又BF⊥平面ABCD,所以AF=CF,因為AF=FC,所以FG⊥AC.設(shè)菱形的邊長為2,∠ABC=120°,則GB=GD=1,GA=GC=3,又因為AF⊥FC,所以FG=GA=3,則BF=2,DE=22,且BF⊥平面ABCD,DE∥BF,得DE⊥平面ABCD,在直角三角形GED中,GE=1+12=62,又在直