教學設(shè)計

課程基本信息學科數(shù)學年級初中九年級學期春季課題直線與圓的位置關(guān)系與圓的切線性質(zhì)教學目標1.知識維度：學生能夠理解并掌握直線與圓之間的三種基本位置關(guān)系——相交、相切、相離的概念，以及它們對應(yīng)的幾何特征；明確直線與圓相交、相切、相離時，圓心到直線的距離d與圓的半徑r之間的關(guān)系；能說出圓的切線的概念，掌握圓的切線性質(zhì)定理，了解切線與圓心、半徑之間的關(guān)系。2.能力維度：經(jīng)歷類比點與圓的位置關(guān)系探索直線與圓的位置關(guān)系以及切線性質(zhì)的過程，培養(yǎng)學生的幾何直觀、空間觀念和推理能力，鼓勵學生主動參與數(shù)學活動、積極探究，使其能夠根據(jù)給定條件判斷直線與圓的位置關(guān)系；通過實例練習，提升學生運用所學知識解決實際問題的能力。3.思維維度：通過引入貼近生活的案例，例如巴黎奧運會中的吊環(huán)比賽視頻，激發(fā)學生的學習興趣，讓學生感受到數(shù)學與日常生活的緊密聯(lián)系；體會類比、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想在數(shù)學探究中的應(yīng)用，培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界，體會數(shù)學的價值和魅力，養(yǎng)成認真勤奮、合作交流、反思質(zhì)疑的學習習慣。4.實踐維度：組織學生進行實驗操作，如利用直尺模擬直線，通過平移直尺來直觀感受直線與圓的不同位置關(guān)系；引導學生進行課堂討論，讓他們能夠用語言清晰表達自己對直線與圓位置關(guān)系的理解；通過課內(nèi)例題和課外練習，讓學生有機會將理論知識應(yīng)用于實踐中，加深理解和記憶。教學重難點本課時位于初中北師大版數(shù)學九年級下冊第三章第六節(jié)，學生在前面五節(jié)的學習中，已經(jīng)了解了圓的有關(guān)概念、圓的對稱性、垂徑定理、圓周角和圓心角的關(guān)系定理，確定圓的條件等內(nèi)容，本節(jié)教學在圓的基礎(chǔ)上引入直線，探究直線與圓的位置關(guān)系，類比探索點與圓位置關(guān)系的研究方法，讓學生在實踐活動中，通過公共點的個數(shù)得出直線與圓的三種位置關(guān)系，進而再根據(jù)實際需要探索出利用圓心到直線的距離與半徑大小的數(shù)量關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法，并對特殊位置“相切”進行了重點研究，探索切線與過切點的半徑之間的關(guān)系，幫助學生更直觀地理解概念和結(jié)論，發(fā)展學生的幾何直觀和推理能力。在本節(jié)教學中要有意識的引導學生在相關(guān)的數(shù)學活動中感悟分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學思想、以及合情推理、演繹推理的思想，這些都為學生后面的學習提供了強有了的支撐。本節(jié)的學習也為學生后面學習切線的判定、切線長定理、三角形與圓做了鋪墊。教學重點：1.探索直線與圓的三種位置關(guān)系，會用圓心到直線的距離d與圓的半徑r之間的數(shù)量關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系。2.理解切線的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用。3.在相關(guān)的數(shù)學活動中讓學生感悟分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學思想。教學難點：1.在具體情境中運用圓心到直線的距離d與圓的半徑r之間的數(shù)量關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系。2.切線性質(zhì)定理的推導及應(yīng)用，特別是在解決實際問題時，如何準確地識別切點，并利用切線的性質(zhì)進行證明或計算。教學過程一、情景導入，引發(fā)興趣【環(huán)節(jié)概述】教師展示巴黎奧運會吊環(huán)視頻，并與學生交流感受，提出問題，探討“吊環(huán)”與其他直線的位置關(guān)系，引發(fā)學生的興趣，激發(fā)求知欲。1.結(jié)合當下熱點，播放巴黎奧運會吊環(huán)比賽視頻。2.互動環(huán)節(jié)：提問1：劉洋在比賽時，手上抓著的“環(huán)”與吊繩所在直線有怎樣的位置關(guān)系?學生回答：……提問2：這個“環(huán)”和吊著環(huán)的“橫杠”所在直線又有怎樣的位置關(guān)系?學生回答：……教師總結(jié)：同學們的答案可能不盡相同，但值得肯定的是大家都用數(shù)學的眼光去觀察了這個場景。生活中，像吊環(huán)這樣的圓形物體和其他直線物體之間的關(guān)系，蘊含著豐富的數(shù)學的原理。這就是我們今天要學習的內(nèi)容——直線與圓的位置關(guān)系，希望通過今天的學習，同學們不僅能解答這些問題，還能發(fā)現(xiàn)數(shù)學在日常生活中的應(yīng)用價值，現(xiàn)在讓我們開始今天的學習吧！【設(shè)計意圖】從學生熟悉的社會熱點入手，引入巴黎奧運會中國吊環(huán)奪金的視頻案例，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生用數(shù)學眼光觀察身邊的事物，讓學生感受“數(shù)學來源于生活，生活離不開數(shù)學”。二、回顧交流，提煉方法【環(huán)節(jié)概述】學生回顧點與圓的位置關(guān)系，并將位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系，并思考在研究過程中所應(yīng)用的數(shù)學思想和方法。提問1：我們之前學過點與圓有哪幾種位置關(guān)系?學生回答：……提問2：點與圓的位置關(guān)系對應(yīng)點與圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系是怎樣的？學生回答：……課件呈現(xiàn)：點與圓的三種位置關(guān)系，以及對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。提問3：探究點與圓的位置關(guān)系及對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系中，應(yīng)用的數(shù)學思想與方法是什么？學生回答：分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等。本節(jié)課老師將和同學們類比點與圓的位置關(guān)系的研究方法，來探究直線和圓的位置關(guān)系。（板書題目）【設(shè)計意圖】回顧點與圓的位置關(guān)系及對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，以及在此過程中所體現(xiàn)的數(shù)學思想和方法，引出新課。三、方法遷移，探究新知【環(huán)節(jié)概述】學生聯(lián)系舊知，通過實踐操作根據(jù)公共點的個數(shù)總結(jié)得出直線與圓的位置關(guān)系，將位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離與半徑大小的數(shù)量關(guān)系問題，探尋判斷直線與圓位置關(guān)系的方法。1.學生活動：作一個圓，將直尺的邊緣看成一條直線。固定圓，平移直尺，觀察直線與圓公共點的情況。學生實踐回答：……提問：你認為直線與圓的位置關(guān)系可以分為幾類，能否嘗試給這幾種位置關(guān)系下定義？學生回答：……2.直線和圓有唯一的公共點（即直線和圓相切）時，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。3.教師引導：有時我們的眼睛看到的并不一定是正確的。所以要精準的判斷直線與圓的位置關(guān)系，還需探索新的方法。如果把圓心到直線的距離記為d，圓的半徑記為r，那么我們是否可以類比點與圓的位置關(guān)系，根據(jù)d與r的大小關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系呢？怎么判斷？學生探究，交流！4.師生歸納總結(jié)：直線和圓相交d>r；直線和圓相切d=r；直線和圓相離d<r。這樣判斷直線與圓的位置關(guān)系我們除了可以根據(jù)直線與圓的交點個數(shù)來判斷，還以通過圓心到直線的距離d與圓的半徑r的數(shù)量關(guān)系來判斷。充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學思想，【設(shè)計意圖】學生通過動手操作直觀感受公共點個數(shù)的不同，根據(jù)之前學習的經(jīng)驗，鼓勵學生用自己的語言嘗試給直線與圓位置關(guān)系下定義，提高學生口頭表達能力。用類比的方法讓學生探究直線與圓的位置關(guān)系與圓心O到直線l的距離d與⊙O的半徑r的大小關(guān)系，讓學體會分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的思想。四、合作探究，突破難點【環(huán)節(jié)概述】本環(huán)節(jié)中，學生將深入理解切線的性質(zhì)定理。探究性質(zhì)定理的推導，并通過具體的例題，幫助學生鞏固所學知識。提問1：同學們，我們已經(jīng)知道了直線與圓之間可能存在的三種位置關(guān)系，觀察三種位置的圖形，發(fā)現(xiàn)有何特點？學生回答：都是軸對稱圖形。提問2：對稱軸是，請在任務(wù)單上畫出來。學生回答：過圓心且與直線l垂直的直線，并在任務(wù)單上畫圖。提問3：在畫圖的過程中，你們有什么新發(fā)現(xiàn)？學生回答：相切時,對稱軸正好經(jīng)過切點；相切時，過圓心O與切點A的直線AB與切線CD垂直。教師：除基本事實外，每個數(shù)學結(jié)論的得出都要經(jīng)過觀察——猜想——證明，才能說明它的正確性。下面我們就來證明大家的猜想。（等待學生交流）教師引導:如果對稱軸不經(jīng)過切點A，則切點A關(guān)于對稱軸有它的對稱點A’,A’也是直線與圓的交點，這樣直線與圓就會有兩個交點，直線與圓相交。這與已知直線與圓相切矛盾。這種證明的方法是“反證法”。用同樣的方法也可以證明“過切點與圓心的直線與切線垂直”即“切線垂直于通過切點的半徑”，請大家嘗試。學生回答：……（等待學生回答后繼續(xù)）假設(shè)AB與CD不垂直,過點O作一條直徑垂直于CD,垂足為M,則OM<OA,即圓心到直線CD的距離小于⊙O的半徑,因此CD與⊙O相交.這與已知條件“直線與⊙O相切”相矛盾，所以AB與CD垂直。教師總結(jié)：切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。注意：這個定理的條件：切線、切點、半徑結(jié)論：切線垂直于半徑幾何符號語言：∵CD是⊙O的切線，A是切點，OA是⊙O的半徑，∴CD⊥OA.【設(shè)計意圖】通過畫對稱軸的實踐活動，讓學生發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，經(jīng)歷觀察猜想驗證得出結(jié)論的過程，體驗數(shù)學結(jié)論的產(chǎn)生過程，體會數(shù)學結(jié)論的嚴謹性。通過探索切線的性質(zhì)定理，加深學生對切線概念的理解，并能夠靈活運用學過的知識解決實際問題。五、學以致用，提升能力例1：如圖，已知☉O的直徑AB的長為4cm，C是☉O上一點，∠BAC＝30°，過點C作☉O的切線交AB的延長線于點P.求BP的長.（學生思考，討論，相互交流）解：連接OC，∵PC切☉O于點C，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°.∵OA＝OC，∠BAC＝30°，∴∠OCA＝∠BAC＝30°.∴∠BOC＝∠OAC＋∠OCA＝60°.∴∠P＝30°.∴OP＝2OC＝AB＝4（cm）.∴BP＝OP－OB＝OP－1/2AB＝4－2＝2（cm）.歸納總結(jié)：這道題最關(guān)鍵的一步是做輔助線：連接OC,所以當題目中已知切線時，常用的輔助線的添加方法：連接圓心與切點，即見切線，連切點，得垂直。構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的相關(guān)性質(zhì)解題。這里也很好的詮釋了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，通過切線的性質(zhì)定理把切線問題轉(zhuǎn)化成直角三角形的問題?！驹O(shè)計意圖】通過對具體例題的探索，讓學生學以致用，應(yīng)用切線的性質(zhì)定理解決實際問題，增強學生的應(yīng)用意識、幾何直觀感和邏輯推理能力，同時總結(jié)出已知切線時常做輔助線的做法，使學生能夠在不同的幾何情境中準確應(yīng)用切線的性質(zhì)。例2：已知Rt△ABC的斜邊AB=8cm，AC=4cm。①以點C為圓心作圓，當半徑為多長時，AB與⊙C相切？②以點C為圓心，分別以2cm和4cm的長為半徑作兩個圓，這兩個圓與AB分別有怎樣的位置關(guān)系？③若點M為AB邊上一動點，以點M為圓心作圓，使得⊙M與AC、BC邊都相切，你能用尺規(guī)作圖做出⊙M嗎？你能求出⊙M的半徑長度嗎？④同學們還能提出什么問題？試著提出并解答！解：①學生思考、交流，用多種方法解題方法一：如圖，過點C作AB的垂線，垂足為D.∵AC=4cm，AB=8cm，∴∠A=60°.∴CD=ACsin∠A=4sin60°=23.因此，當半徑長為23cm時，AB與⊙C相切.方法二;（等面積法）如圖，過點C作CD⊥AB于點D.在Rt△ABC中，AC=4，AB=8,∴BC=AB2?AC2=82∴CD=AC×BCAB=4×4②學生回答由①可知，圓心C到AB的距離d=23cm，所以：當r=2cm時，d>r，⊙C與AB相離；當r=4cm時，d<r，⊙C與AB相交.③學生討論交流，教師引導：做圓首先要確定圓心和半徑，我們先來分析圓心M怎么確定？題中要求⊙M與AC、BC邊都相切，說明AC、BC即為⊙M的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)，圓心M到切線AC、BC的距離都等于半徑，而AC、BC是角ACB的兩邊，即M到角ACB兩邊的距離相等，而我們知道到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上，這樣我們得出圓心M在角ACB的角平分線上，而由題意可知M在AB邊上，所以M是角ACB的角平分線與AB的交點。這樣圓心的位置就確定了。問：半徑如何確定？剛才我們分析得到M到切線AC、BC的距離都等于半徑，所以我們只需過點M做BC的垂線段MN，以M為圓心，MN的長為半徑作圓即可。問：半徑該如何求？由剛才的作圖或是切線的性質(zhì)，我們知道半徑MN⊥BC，另一條半徑MD⊥AC，我們可以把這兩條半徑當做三角形ACM、BCM中AC邊和BC邊的高，而S△ABC=S△ACM+S△BC，用等面積法列方程就可求出半徑的長度拓展延伸：教師：針對這道題，同學們還能提出什么問題呢？請大家積極思考探索，提出問題并嘗試解答！相信大家一定會有自己獨到的思考和想法?！驹O(shè)計意圖】通過此例題，讓學生進一步理解直線與圓相交、相切、相離的概念，以及用數(shù)量關(guān)系判斷位置關(guān)系的方法，發(fā)展學生的思維能力、提升學生的審題能力及靈活應(yīng)用知識的能力。讓學生自己設(shè)計問題，并嘗試回答，充分發(fā)揮學生的主觀能動性，培養(yǎng)探究精神和創(chuàng)新意識。六、課堂小結(jié)，升華提高【環(huán)節(jié)概述】此環(huán)節(jié)旨在幫助學生梳理和總結(jié)直線與圓位置關(guān)系的教學內(nèi)容。利用表格形式總結(jié)直線與圓位置關(guān)系的各種情況及其判斷方法，利用框架圖總結(jié)切線的性質(zhì)，以便于學生快速查閱和記憶。教師：通過本節(jié)課的學習，相信同學們一定有很多收獲，與大家分享一下吧！教師：.本節(jié)學習中，用到了那些數(shù)學思想和方法？學生回答：分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、類比等等教師：按以往我們研究圖形的經(jīng)驗，你覺得接下來我們該研究什么了？學生回答：切線的判定教師：請大家提前預(yù)習切線的判定，以便下節(jié)課我們更輕松、更愉快地學習探究?！驹O(shè)計意圖】通過表格和框架圖總結(jié)的方式，幫助學生更清晰地掌握直線與圓的位置關(guān)系和切線的性質(zhì)，這種直觀的教學手段有助于學生建立系統(tǒng)的知識框架，便于理解記憶。讓學生總結(jié)在本節(jié)課的學習中所用的數(shù)學思想和方法，使學生在獲得知識技能的同時提升能力和素養(yǎng)。通過回顧以前研究數(shù)學問題的過程，為下節(jié)課的學習做鋪墊，讓學生提前預(yù)習，學會學習，提高學習效率。鞏固訓練，夯實基礎(chǔ)【環(huán)節(jié)概述】通過兩道習題讓學生鞏固本節(jié)課所學的知識點以及數(shù)學思想和方法。1.如圖,已知∠APB=30°,⊙O的半徑為1cm,若圓心O沿著射線PB的方向移動.（1）當PO=1cm時，直線PA與⊙O（2）當PO=2cm時，直線PA與⊙O（3）當PO=3cm時，直線PA與⊙O2.如圖，一個油桶靠在直立的墻邊，量得BC=0.8m，并且AB⊥BC，求這個油桶的底面半徑?！驹O(shè)計意圖】通過鞏固訓練讓學生體會利用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系來判定直線與圓的位置關(guān)系的方法，鞏固切線的性質(zhì)及出現(xiàn)切線時常用的輔助線的做法，并應(yīng)用前面所學的正方形的判定，以此達到學以致用、夯實