4.1.1n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪導(dǎo)學(xué)案通過具體實(shí)例抽象出n次方根的概念，能區(qū)分奇次根式與偶次根式，掌握根式的運(yùn)算性質(zhì)，能正確化簡(jiǎn)na理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，能熟練進(jìn)行根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化。掌握有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)和求值。經(jīng)歷從整數(shù)指數(shù)冪到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的拓展過程，體會(huì)數(shù)學(xué)概念的推廣思想，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)。教學(xué)重點(diǎn)：1.根式的定義和性質(zhì).2.根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的聯(lián)系.3.正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的聯(lián)系；教學(xué)難點(diǎn)：1.指數(shù)冪的含義及其與根式的互化.2.eq\r(n,an)與(eq\r(n,a))n的區(qū)別與聯(lián)系．3.能利用根式的性質(zhì)對(duì)根式進(jìn)行運(yùn)算.知識(shí)點(diǎn)一根式的定義(1)a的n次方根的定義：一般地，如果xn＝a，那么x叫做，其中n＞1，且n∈N＋.(2)a的n次方根的表示①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)．a(chǎn)的n次方根用符號(hào)表示；②當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．正數(shù)a的正的n次方根用符號(hào)表示，負(fù)的n次方根用符號(hào)表示．正的n次方根與負(fù)的n次方根可以合并寫成；③負(fù)數(shù)偶次方根；④0的任何次方根都是，記作．(3)根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做，a叫做．知識(shí)點(diǎn)二根式的性質(zhì)當(dāng)n>1，且n∈N＋時(shí)，(1)根據(jù)n次方根的意義，可得(eq\r(n,a))n＝．(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0))．[點(diǎn)撥]eq\r(n,an)與(eq\r(n,a))n的區(qū)別(1)eq\r(n,an)是實(shí)數(shù)an的n次方根，是一個(gè)恒有意義的式子，不受n的奇偶限制．(2)(eq\r(n,a))n是實(shí)數(shù)a的n次方根的n次冪，其中實(shí)數(shù)a的取值范圍由n的奇偶決定．當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時(shí)，(eq\r(n,a))n＝a，a≥0；當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，(eq\r(n,a))n＝a，a∈R.只要(eq\r(n,a))n有意義，其結(jié)果恒等于a.知識(shí)點(diǎn)三分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義(1)aeq\s\up6(\f(m,n))＝(a>0，m，n∈N＋，n>1)，a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝(a>0，m，n∈N＋，n>1)．(2)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．[想一想]分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中，為什么規(guī)定a>0?提示：當(dāng)a＝0時(shí)，a0及a的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義；當(dāng)a<0時(shí)，若n為偶數(shù)，m為奇數(shù)，則aeq\s\up6(\f(m,n))，a－eq\f(m,n)無意義．因此規(guī)定a>0就省去了不必要的討論，便于學(xué)習(xí)和應(yīng)用．[點(diǎn)撥](1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪aeq\s\up6(\f(m,n))不可理解為eq\f(m,n)個(gè)a相乘．(2)把根式eq\r(n,am)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式時(shí)，不要輕易對(duì)eq\f(m,n)進(jìn)行約分．(3)正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪總表示正數(shù)，而不是負(fù)數(shù)．知識(shí)點(diǎn)四有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)aras＝(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝(a>0，b>0，r∈Q)．[拓展](1)eq\f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q)．(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(r)＝eq\f(ar,br)(a>0，b>0，r∈Q)．情景一：面團(tuán)發(fā)酵的“體積翻倍”時(shí)間計(jì)算面包店師傅制作面包時(shí)，需要先將面團(tuán)發(fā)酵。已知面團(tuán)初始體積為1立方分米，發(fā)酵過程中，體積每小時(shí)會(huì)變?yōu)樵瓉淼?倍（2≈1.414）。師傅想知道：1.2小時(shí)后面團(tuán)體積是多少？學(xué)生可通過“1×2×2=1×(2)2=2”算出體積為2立方分米，這里能聯(lián)系到“平方根的平方等于被開方數(shù)”的舊知；2.若想讓面團(tuán)體積達(dá)到4立方分米，需要發(fā)酵幾小時(shí)？學(xué)生易算出“(2)^x=4”，進(jìn)而得出x=4，但師傅又追問：“如果想讓體積達(dá)到3立方分米，也就是(2)^x=3，這里的x該怎么表示？能不能用我們學(xué)過的‘指數(shù)’形式，把2和x的關(guān)系說得更清楚？比如，2能不能寫成2的幾次方？”通過生活中常見的面團(tuán)發(fā)酵問題，先利用平方根的運(yùn)算讓學(xué)生獲得成就感，再拋出“非整數(shù)倍體積增長(zhǎng)”的需求，引發(fā)學(xué)生對(duì)“根式轉(zhuǎn)化為指數(shù)”的思考，為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的學(xué)習(xí)埋下伏筆。情景二：正方形地磚的“邊長(zhǎng)設(shè)計(jì)”需求裝修工人給客廳鋪正方形地磚，有兩個(gè)關(guān)鍵需求：1.第一個(gè)區(qū)域需要地磚面積為9平方分米，工人很快確定邊長(zhǎng)為3分米——因?yàn)?2=9，這是我們學(xué)過的平方根；2.第二個(gè)區(qū)域需要地磚面積為5平方分米，工人拿出尺子卻犯了難：“邊長(zhǎng)既不是整數(shù)，也不能用普通分?jǐn)?shù)表示，只能記成5分米，但如果客戶要求把邊長(zhǎng)寫成‘5的幾次方’的形式（比如面積9平方分米時(shí)，邊長(zhǎng)3分米可看成9^(1/2)分米），這個(gè)‘幾次方’該怎么確定？”接著工人又提出新問題：“如果要鋪一個(gè)正方體收納盒的底面，底面面積為a平方分米，正方體的棱長(zhǎng)需要和底面邊長(zhǎng)保持一致，那棱長(zhǎng)用‘a(chǎn)的指數(shù)形式’怎么寫？這種指數(shù)和我們之前學(xué)的整數(shù)指數(shù)有什么不同？”從學(xué)生熟悉的“正方形面積與邊長(zhǎng)”關(guān)系切入，先回顧平方根的應(yīng)用，再通過“非完全平方數(shù)的邊長(zhǎng)表示”制造認(rèn)知沖突，讓學(xué)生感受到“將根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪”的實(shí)際意義，主動(dòng)探索n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的聯(lián)系。公元前五世紀(jì)，古希臘有一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)派名叫畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，其學(xué)派中的一個(gè)成員希伯斯考慮了一個(gè)問題：邊長(zhǎng)為1的正方形其對(duì)角線長(zhǎng)度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長(zhǎng)度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)來表示，希伯斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無理數(shù)eq\r(2)的誕生．這就是本節(jié)課我們要學(xué)習(xí)的根式．探究點(diǎn)1：n次方根與根式問題1如果x2＝a，那么x叫做a的什么？這樣的x有幾個(gè)？x3＝a呢？問題2類比平方根、立方根的概念，試著說說4次方根、5次方根、10次方根等，你認(rèn)為n次方根應(yīng)該是什么？為了研究指數(shù)函數(shù)，我們需要把指數(shù)的范圍拓展到全體實(shí)數(shù)．我們知道：為什么負(fù)數(shù)沒有偶次方根？負(fù)數(shù)沒有偶次方根．為什么負(fù)數(shù)沒有偶次方根？式子叫做根式(radical)，

這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．根據(jù)次方根的意義，可得探究可以得到：典例分析例1求下列各式的值：探究點(diǎn)2：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪問題驅(qū)動(dòng)：“2a3能否用指數(shù)形式表示？若規(guī)定a32=根據(jù)次方根的定義和數(shù)的運(yùn)算，我們知道這就是說，當(dāng)根式的被開方數(shù)(看成冪的形式)的指數(shù)能被根指數(shù)整除吋，根式可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式．思考當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時(shí)，根式是否也可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式？由此，我們規(guī)定，正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定探究點(diǎn)3：有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)與0的整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定，0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，

0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以后，冪中指數(shù)的取值范圍就從整數(shù)拓展到了有理數(shù)．整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用，即對(duì)于任意有理數(shù)均有下面的運(yùn)算性質(zhì)．例2求值：【變式3】將下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式：例4計(jì)算下列各式(式中字母均是正數(shù))：A． B． C． D．a(chǎn)2.（多選題）（2223高一·全國(guó)·課堂例題）下列說法中正確的是（

）A． B． C． D．A．1 B．2 C．