4.2兩角和與差的三角函數(shù)公式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.重點(diǎn):兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導(dǎo).2.難點(diǎn):靈活運(yùn)用所學(xué)公式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)、證明.1.能夠推導(dǎo)兩角差的余弦公式:2.能夠利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦公式、兩角和的正、余弦公式;3.能夠運(yùn)用兩角和的正、余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明:知識(shí)點(diǎn)01兩角和與差的余弦1、兩角差的余弦公式：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，α，β∈R2、兩角和的余弦公式：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，α，β∈R【即學(xué)即練1】（2223高一下·江西贛州·階段練習(xí)）計(jì)算sin-A．2+64 B．2-知識(shí)點(diǎn)02兩角和與差的正弦1、兩角和的正弦：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，α，β∈R2、兩角差的正弦：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，α，β∈R【即學(xué)即練2】（2122高一下·四川成都·期末）tan15°=A．2-3 B．3-2 C．-2-知識(shí)點(diǎn)03兩角和與差的正切1、兩角和的正切：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)2、兩角差的正切：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)，α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)【即學(xué)即練3】（2223高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）求下列各式的值：(1)cos105°(2)cos-知識(shí)點(diǎn)04輔助角公式【即學(xué)即練4】（2324高一下·上?！るA段練習(xí)）把3sinα+cosα化成知識(shí)點(diǎn)05積化和差與和差化積1、積化和差：=1\*GB3①cosαcosβ=1=2\*GB3②sinαsinβ=-=3\*GB3③sinαcosβ==4\*GB3④cosαsinβ=2、和差化積：=1\*GB3①cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β=2\*GB3②cosα-cosβ=-2sinα+β2sinα-β=3\*GB3③sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β=4\*GB3④sinα-sinβ=2cosα+β2sinα-β【即學(xué)即練5】（2122高一·湖南·課后作業(yè)）利用和差化積公式，求下列各式的值：(1)sin15°+(2)sin20°+(3)cos40°+【題型一：兩角和余弦求值】例1．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，若sinα=14A．1 B．-1 C．-78變式11．（2324高一上·浙江溫州·期末）已知sinα=13，α∈π2,變式12．（2324高一上·上?！て谀┮阎翞殇J角，cosα+π6=1變式13．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）化簡(jiǎn)下列三角函數(shù)的值：(1)32(2)cosπ【方法技巧與總結(jié)】1.在兩角差的余弦公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ中，只要用β替換β，便可以得到兩角和的余弦公式.2.可簡(jiǎn)單記為“余余正正，符號(hào)相反”，即展開后的兩項(xiàng)分別為兩角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；展開前兩角間的符號(hào)與展開后兩項(xiàng)間的符號(hào)相反..【題型二：兩角和余弦逆用】例2．（2223高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）cos24A．22 B．2 C．5 D．變式21．（2324高一上·新疆烏魯木齊·期末）cos140°變式22．（2122高一上·安徽宿州·期末）cos28°cos32°－cos62°sin32°=．變式23．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）求下列各式的值：(1)cos72(2)sin34(3)sin164(4)sin(α-β)【方法技巧與總結(jié)】1.運(yùn)用兩角差的余弦公式解決問題要深刻理解公式的特征，不要死記.2.在逆用公式解題時(shí)，還要善于將特殊的值變形為某特殊角的三角函數(shù)值.【題型三：兩角和正弦求值】例3．（2223高一下·北京豐臺(tái)·期末）已知sinα=45，α∈(0,A．210 B．-210 C．變式31．（2223高一上·浙江麗水·期末）若α，β∈(0,π2)且cosα=513，變式32．（2223高一下·重慶渝中·期中）已知銳角α,β滿足tanα=2,sinα-β=10變式33．（2223高一·全國(guó)·課堂例題）已知sinα=35，α為第二象限角，sinβ=-1213，【方法技巧與總結(jié)】?jī)山呛团c差的正弦公式結(jié)構(gòu)特征1.a，β可以是單個(gè)角，也可以是兩個(gè)角的和或差，在運(yùn)用公式時(shí)常將兩角的和或差視為一個(gè)整體。2.記憶口訣：異名同號(hào)?！绢}型四：兩角和正弦逆用】例4．（2324高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）cos17°A．12 B．cos4° C．sin變式41．（2324高一上·安徽·期末）計(jì)算sin50A．-32 B．32 C．變式42．（2324高一上·河北石家莊·期末）化簡(jiǎn)sin200A．32 B．sin200° C．變式43．（2324高一上·湖南株洲·階段練習(xí)）32A．22 B．-22 C．【方法技巧與總結(jié)】1.運(yùn)用兩角差的正弦公式解決問題要深刻理解公式的特征，不要死記.2.在逆用公式解題時(shí)，還要善于將特殊的值變形為某特殊角的三角函數(shù)值.【題型五：兩角和正切求值】例5．（2324高一下·上?！るA段練習(xí)）在△ABC中，tanA,tanB是方程x2-6x+7=0變式51．（2024高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）在△ABC中，tanA=13，tanB=-2，則角變式52．（2024高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知sinα=-31010且α是第三象限角，則變式53．（2324高一上·浙江·階段練習(xí)）如圖，已知E是矩形ABCD的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，正方形EFGH的頂點(diǎn)F，H分別在邊AD，EC上，若AB=3,BC=4．則tan∠DAGA．937 B．837 C．7【方法技巧與總結(jié)】1.符號(hào)變化規(guī)律可簡(jiǎn)記為“分子同，分母反”。2.注意：公式中的α，β，α+β，αβ都不能等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z?！绢}型六：兩角和正切逆用】例6．（2324高一上·安徽蚌埠·期末）3tanA．33 B．-33 C．變式61．（2324高一下·江蘇常州·階段練習(xí)）tan10°+A．1 B．3 C．3 D．2變式62．（2122高一下·河南南陽(yáng)·期末）log21+tan變式63．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）求值：(1)tan105°(2)3-(3)tan23°+【方法技巧與總結(jié)】?jī)山呛偷恼泄降某Ｒ娝姆N變形：T(α＋β)：①tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；②tanα＋tanβ＋tanα·tanβ·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；=3\*GB3③④tanα·tanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β).④1－tanαtanβ＝eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)；T(α－β)：①tanα1tanβ＝tan(α1β)(1+tanαtanβ)；②tanαtanβtanα·tanβ·tan(αβ)＝tan(αβ)；=3\*GB3③④tanα·tanβ＝tanα④1+tanαtanβ＝tanα-【題型七：化簡(jiǎn)求值】例7．（2223高一下·江蘇南通·期中）求2cosA．3 B．-3 C．33變式71．（2223高一下·廣東惠州·期中）cos20°-cos70°變式72．（2223高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)：sin9°變式73．（2223高一下·江蘇揚(yáng)州·期中）分割比是指將整體一分為二，較大部分與整體的比值等于較小部分與較大部分的比值，該比值為m=5-12≈0.618，這是公認(rèn)的最能引起美感的比例．分割比的值還可以近似地表示為A．12 B．32 C．1【題型八：湊角求值】例8．（2324高一上·山東濱州·期末）已知α∈0,π2，sinA．210 B．25 C．3變式81．（2324高一上·河南鄭州·期末）已知α,β∈0,π2，若sinA．-1665 B．6365 C．變式82．（2324高一下·上海閔行·階段練習(xí)）已知sinα=-14A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角變式83．（2223高一下·江蘇南京·期中）已知0<β<α<π2，且cosα-β=12A．6365 B．3365 C．48【方法技巧與總結(jié)】常見角的變換有：α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．【題型九：輔助角公式】例9．（2223高一下·甘肅酒泉·期末）求值：cos5πA．0 B．-2 C．2 D．變式91．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）tan70°?A．1 B．2 C．-1?????????????????????? D．變式92．（2324高一上·湖北荊州·期末）若函數(shù)y=sinx+acos變式93．（2324高一下·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）把下列各式化為Asin(1)2((2)24(3)315【方法技巧與總結(jié)】常見輔助角結(jié)論1.sinx±cosx=2sin(x±π3.cosx±sinx=2cos(x?【題型十：和差化積與積化和差】例10．（2122高一下·上海虹口·期末）利用和差化積和積化和差公式完成下面的問題：已知sinω1+sinω2=變式101．（2223高一下·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）已知sinθ(1)利用三角函數(shù)的積化和差或和差化積公式，求cos2θ+(2)求tanθ變式102．（2122高一·湖南·課后作業(yè)）利用和差化積公式，求下列各式的值：(1)sin15°+(2)sin20°+(3)cos40°+變式103．（2122高一·湖南·課時(shí)練習(xí)）利用積化和差公式，求下列各式的值：(1)cos15°(2)sin20°【方法技巧與總結(jié)】1、積化和差公式的巧記口訣余余相乘余和加，正正相乘余減反，正余相乘正相加，余正相乘正相減。注意前提是（α+β）在前面，(α-β)在后面。2、和差化積公式的特點(diǎn)①同名函數(shù)的和或差才可化積。②余弦函數(shù)的和或差化為同名函數(shù)之積。③正弦函數(shù)的和或差化為異名函數(shù)之積。④等式左邊為單角α和β，等式右邊為α+β2與α-β⑤只有余弦函數(shù)的差化成積式后的符號(hào)為負(fù)，其余均為正。一、單選題1．（2324高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）sin81A．12 B．32 C．-2．（2324高一上·河北唐山·期末）若函數(shù)f(x)=3cosx-A．2cosx+π3 B．23．（2324高一上·廣東·期末）tan12°+A．2 B．22 C．1 D．4．（2324高一上·廣東廣州·期末）已知點(diǎn)1,-3在角θ的終邊上，則tanθ+A．-12 B．-2 C．5．（2023·廣東珠?！つM預(yù)測(cè)）已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3,4)，則sinα-A．43-310 B．8-536．（2324高一下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知sinx-2cosx=A．0 B．455 C．-7．（2324高一上·重慶·期末）請(qǐng)運(yùn)用所學(xué)三角恒等變換公式，化簡(jiǎn)計(jì)算32A．12 B．3 C．28．（2324高一上·湖南株洲·期末）已知tanπ3+αA．-15 B．-17二、多選題9．（2223高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）在銳角三角形ABC中，以下各式一定成立的是（

）A．tanA+B+C．sinA+sin10．（2223高一下·江蘇南京·期末）已知tanα=A．sin(α+β)=cosC．2sinβ11．（2021高一下·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）滿足cosαcosβ=A．α=13π12，β=3C．α=π2，β=π6三、填空題12．（2324高一下·浙江溫州·開學(xué)考試）已知sinα=-45且α為第四象限角，若sin(α+β)cosβ=2，則tan13．（2324高一下·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）已知角α?角β的頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊均與x軸的非負(fù)半軸重合，角β的終邊OB在第四象限，角α的終邊OA繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)π6后與OB重合，sinβ+π314．（2023高一·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，D為垂足，AD在△ABC的外部，且BD:CD:AD=2:3:6，則tan∠BAC=四、解答題15．（2324高一下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=sin(1)求f(3(2)求f(x)在區(qū)間[-π(3)若α∈(0,π)且f(α16．（2324