專題04全等三角形模型之半角模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就半角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"14"\h\z\u 1模型來(lái)源 1真題現(xiàn)模型 2提煉模型 3模型運(yùn)用 5模型1.半角模型 6 16 首先阿基米德則通過(guò)物體旋轉(zhuǎn)時(shí)的力學(xué)規(guī)律研究，為旋轉(zhuǎn)幾何提供物理背景；隨著引入坐標(biāo)系描述旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的位置變化，并深入研究旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，推動(dòng)旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的量化分析；直到近代大三?核心旋轉(zhuǎn)模型逐漸的形成。這一方法從早期經(jīng)驗(yàn)認(rèn)知，歷經(jīng)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家的理論發(fā)展，至近現(xiàn)代形成系統(tǒng)模型，最終成為幾何證明的標(biāo)準(zhǔn)化工具。?半角模型?：90°含45°、120°含60°等特殊旋轉(zhuǎn)，通過(guò)截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造全等三角形，解決角度和線段問(wèn)題。1）半角模型條件：如圖1，四邊形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型）結(jié)論：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周長(zhǎng)=2AB；⑤CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。證明：將△CBE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△CDG，即△CBE≌△CDG，∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG；∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共線。∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°，∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF，∴AEF的周長(zhǎng)=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥EF，則∠CHE=90°，∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），再利用HL證得：△CBE≌△CHE，∴∠HEC=∠CBE，同理可證：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。圖1圖2條件：如圖2，ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型）結(jié)論：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；證明：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG，即△BAD≌△CAG，∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG；∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°，∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2；條件：如圖3，ABC是等邊三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；（等邊型12060）結(jié)論：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周長(zhǎng)=2AB；⑤DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。證明：將△DBE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至△DCG，即△BDE≌△CDG，∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG；∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF，∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF，∴AEF的周長(zhǎng)=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥EF，DM⊥GF，則∠DHF=∠DMF=90°，∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），再利用HL證得：△DHF≌△DMF，∴∠HFD=∠MFD，同理可證：∠BED=∠FED，即DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。圖3圖4圖5條件：如圖4，ABC是等邊三角形，∠EAD=30°；（等邊型6030）證明：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF，即△BAD≌△CAF，∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF；∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°，∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，F(xiàn)H=CF=BD，∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2；條件：如圖5，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；（任意型）結(jié)論：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°。證明：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針°至△ACF，即△BAD≌△CAF，∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°?！摺螧AC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=，∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。模型1.半角模型

A．②④ B．①②③ C．①③ D．①③④【答案】D(2)按照小穎的思路，判斷圖（b）線段，，的數(shù)量關(guān)系，并完整證明．(3)【解決問(wèn)題】當(dāng)M在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在線段上，其他條件不變，如圖（C）所示，第（2）問(wèn)中的結(jié)論是否成立．如果成立，請(qǐng)證明．如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．例5（2425八年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期中）如圖，等邊△ABC中，在BC邊上取兩點(diǎn)D，E，使∠DAE＝30°．（1）當(dāng)∠BAD＝15°時(shí)，如圖1，求證：△ADE為等腰三角形；（2）作D點(diǎn)關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)F，連接AF，CF，如圖2．求證：△ADF為等邊三角形；（3）求證：以BD，DE，CE為邊長(zhǎng)的三角形為鈍角三角形．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析．【詳解】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°＝∠B＝∠C，∵∠BAD＝15°，∠DAE＝30°，∴∠CAE＝∠BAD＝15°，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形；（2）∵點(diǎn)D，點(diǎn)F關(guān)于直線AE對(duì)稱，∴AD＝AF，AE垂直平分DF，∴∠DAE＝∠FAE＝30°，∴∠DAF＝60°，∴△ADF是等邊三角形；（3）如圖，連接EF，∵∠DAF＝∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC，AD＝AF，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，∠ABD＝∠ACF＝60°，∴∠ECF＝120°，∵AE垂直平分DF，∴DE＝EF，∵△EFC是鈍角三角形，∴以EF，CE，CF為邊長(zhǎng)的三角形是鈍角三角形，∴以BD，DE，CE為邊長(zhǎng)的三角形為鈍角三角形．例6（2425·廣東深圳·八年級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)．點(diǎn)E為線段CD上一點(diǎn)，且CE＝2，AB＝，∠DAE＝60°，則DE的長(zhǎng)為______．【答案】【答案】（1）CE⊥BD，CE＝BD；（2）詳見解析；（3）BE＝2+．【詳解】解：（1）CE與BD位置關(guān)系是CE⊥BD，數(shù)量關(guān)系是CE＝BD．理由：∵△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，到△ACE，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．又BA＝CA，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ACE＝∠B＝45°且CE＝BD．∵∠ACB＝∠B＝45°，∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即CE⊥BD．故答案為：CE⊥BD；CE＝BD；（2）如圖②，把△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG．連接DG，則△ACE≌△ABG．∴AG＝AE，BG＝CE，∠ABG＝∠ACE＝45°．∵∠BAC＝90°，∠GAE＝90°．∴∠GAD＝∠DAE＝45°，又∵∠GBD＝90°，∴BD2+BG2＝DG2，即BD2+EC2＝DE2；（3）如圖③，將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到△AFB，∴△AEC≌△AFB，∴AF＝AE，∠ABF＝∠ACB，EC＝BF，∠EAF＝120°∵∠CAB＝120°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ABF＝30°∴∠FBD＝60°，∵∠EAF＝120°，∠EAD＝60°，∴∠DAE＝∠DAF＝60°，且AE＝AF，AD＝AD，∴△ADE≌△ADF（SAS）∴DF＝DE，∵以BD、DE、EC為邊的三角形是直角三角形，∴以BD、DF、BF為邊的三角形是直角三角形，∴△BDF是直角三角形，【答案】（1）見解析；（2）20°【詳解】（1）旋轉(zhuǎn)△BCF使BC與CD重合，∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD為等腰梯形，∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，∴∠ADC+∠ABC=180°，由旋轉(zhuǎn)可知：∠ABC=∠CDF′，∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′為平角，∴A，D，F(xiàn)′共線，∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EFED；（2）∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，又∵AD//BC，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA∠BCF=20°．A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④【答案】BA．①② B．③④ C．①②③ D．①③④【答案】D與不一定相等，故②不正確，綜上所述，①③④正確，故選：D．【答案】①②④

【答案】(1)見解析；(2)3．9．（2025·河南周口·三模）在一堂平面幾何專題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問(wèn)題：【問(wèn)題解決】上述問(wèn)題情境中，“①”處應(yīng)填：________；“②”處應(yīng)填：________；“③”處應(yīng)填：________；劉老師進(jìn)一步談到：圖形的變化強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應(yīng)萬(wàn)變．，，請(qǐng)你從中任選一種方法進(jìn)行證明．【答案】(1)見解析(2)見解析（2）選擇小穎的方法．選擇小亮的方法．

【詳解】解：（1）CE與BD位置關(guān)系是CE⊥BD，數(shù)量關(guān)系是CE=BD∵以BD、DE、EC為邊的三角形是直角三角形【答案】（2）見詳解

（3）成立，見詳解

（4）15．（2425七年級(jí)下·安徽宿州·階段練習(xí)）閱讀下列學(xué)習(xí)內(nèi)容：則由探