2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（秋季講義2019人教版）知識要點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系相離相切相交圖形代數(shù)意義d>dd<r交點(diǎn)個(gè)數(shù)012聯(lián)立直線與圓方程后得到關(guān)于x的一元二次方程Δ<0Δ=0Δ>0例題講解專題一直線與圓位置關(guān)系的判斷（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知直線l:ax+by-r2=0與圓C:xA．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD則直線l與圓C相切，故A正確；則直線l與圓C相離，故B正確；則直線l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；故選：ABD.（2526高三上·廣西柳州·開學(xué)考試）直線l：5x+2y-4rA．相交 B．相切 C．相離 D．不確定的【答案】C【分析】由圓心到直線的距離和半徑的大小關(guān)系即可判斷.所以直線與圓的位置關(guān)系為相離，故選：C（2024·北京海淀·三模）已知直線l:kx-y+1-k=0和圓⊙O:x2+y2=r2(r>0)，則“r=2”是“A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A滿足存在唯一k使得直線l與相切”，充分性成立，故滿足存在唯一k使得直線l與相切”，故選：A【鞏固練習(xí)】A．相離 B．相切C．相交 D．不確定【答案】C則直線與圓相交.故選：C.A．相交、相切或相離 B．相交或相切 C．相交 D．相切【答案】C所以直線與圓相交．故選：C．3.（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.則以下幾個(gè)命題正確的有（

）A．直線l恒過定點(diǎn)(3，1)B．直線l與圓C相切C．直線l與圓C恒相交D．直線l與圓C相離【答案】AC【詳解】將直線l的方程整理為x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，則無論m為何值，直線l過定點(diǎn)(3，1)，故直線l與圓C恒相交，故AC正確.故選：AC專題二根據(jù)直線與圓位置求參（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）設(shè)點(diǎn)A(-2,3),B(0,a)，若直線AB關(guān)于y=a對稱的直線與圓(x+3)2+(y+2（2425高二下·安徽銅陵·階段練習(xí)）若直線：kx-y+2k=0與曲線：1-x2=y-【分析】先根據(jù)兩點(diǎn)距離公式列出等式，然后化簡，確定點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求出的取值范圍.由于點(diǎn)在直線上，也在圓上，因此直線與圓至少有一個(gè)公共點(diǎn)．【鞏固練習(xí)】【答案】A【分析】利用圓心到直線的距離等于圓的半徑，可求出正實(shí)數(shù)的值.故選：A.2.（2425高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）若直線l:kx-y+3k=0與曲線C:1-x【答案】B【分析】根據(jù)直線所過的定點(diǎn)，結(jié)合直線與圓的切線性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.故選：B.所以直線與圓有2個(gè)交點(diǎn)，滿足題意；專題三圓到直線距離為定值的點(diǎn)個(gè)數(shù)【答案】B【詳解】由題意，故由圖可知，故選：B.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出與直線平行且到直線的距離為1的直線方程，再求出圓心到這兩條直線距離，進(jìn)而利用直線與圓的位置關(guān)系確定范圍，最后利用充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】如圖所示：故選：B【鞏固練習(xí)】（2526高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A0,2和直線l:y=0，圓x2+y2=r【答案】B故選：B知識要點(diǎn)二直線與圓相切一、求圓的切線方程(1)定點(diǎn)在圓上：過圓上一點(diǎn)與圓相切的直線有一條求切線方程：先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k()，則由垂直關(guān)系可知切線斜率為-1k，由點(diǎn)斜式方程可求得切線方程.如果k=0或重要結(jié)論：經(jīng)過圓x2+y2經(jīng)過圓x-a2+y-b2經(jīng)過圓x2+y2(2)定點(diǎn)在圓外：過圓外一點(diǎn)與圓相切的直線有二條求切線方程幾何法（主要方法）：設(shè)出切線的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出未知數(shù)的值.二、求切線長過圓外一點(diǎn)P(x0,y0)作圓x-a例題講解專題四求圓的切線方程及條數(shù)【答案】A故選：A.A．2條 B．3條 C．4條 D．6條【答案】B【詳解】因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上截距相等，所以綜上，共有3條直線符合題目要求.故選：B.【答案】A故選：A【鞏固練習(xí)】A． B． C． D．無數(shù)條【答案】B【分析】判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可得出結(jié)論.故選：B.A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【詳解】故選：D．【答案】B【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系、兩直線的交點(diǎn)等知識即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).故選：B.專題五圓的兩切線夾角【答案】B故選：B.A．1 B． C． D．2【答案】A【詳解】故選：A.【鞏固練習(xí)】A． B． C． D．【答案】B故選：B【答案】D故選：DA． B． C． D．【答案】C故選：C專題六圓的切點(diǎn)弦及切線長【答案】A【分析】由題意求得其中一個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出的斜率即可求解.故選：A.【答案】證明見解析【分析】先確定圓的圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)圖形上的幾何關(guān)系和等面積法求出.C．當(dāng)直線與圓相切時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離為D．當(dāng)直線平分圓的周長時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離為【答案】AD當(dāng)直線與圓相切時(shí)，由題意可知的斜率存在，故選：AD.【鞏固練習(xí)】【答案】當(dāng)?shù)拈L最小時(shí)，弦長最小，故答案為：.【答案】ACD【分析】選項(xiàng)A：利用圓心到直線的距離等于半徑，計(jì)算可得；因?yàn)槭谴藞A與圓的相交弦，故直線方程為兩圓方程作差，故選：ACD.【點(diǎn)睛】此題考查的是圓切線相關(guān)問題：（1）直線與圓相切的判斷方法：圓心到直線距離等于半徑；（2）通過勾股定理，求切線長；（4）利用四點(diǎn)共圓或極點(diǎn)極線性質(zhì)，求切點(diǎn)弦所在直線方程；【答案】證明見解析【答案】要使線段的長度最小，只需使線段的長度最小，故答案為：.知識要點(diǎn)三直線與圓相交直線與圓相交弦長設(shè)直線l的方程為y=kx+b，圓C的方程為x-a2幾何法(推薦)：半徑r、圓心到直線的距離d、弦長l三者具有關(guān)系式：.r代數(shù)法將直線方程與圓的方程組成方程組，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為Ax①若交點(diǎn)坐標(biāo)簡單易求，則直接利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解.②聯(lián)立直線與圓的方程，方程組消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2,x1x圓的過定點(diǎn)的弦長的最值問題過圓內(nèi)定點(diǎn)P(x0,y0)與圓O:x-a當(dāng)直線l過圓心時(shí)，即由P點(diǎn)與圓心O點(diǎn)確定直線l，弦長AB取最大值當(dāng)直線l與PO所在直線垂直時(shí)，弦長AB取最小值三、與圓有關(guān)的數(shù)形結(jié)合的最值問題（1）形如y-（2）形如z=ax+by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題；也可以考慮用圓的參數(shù)方程，借助三角函數(shù)來求最值.（3）形如(x-例題講解專題七與圓相關(guān)的弦長與面積【答案】【分析】計(jì)算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.故答案為：.A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C故選：C【答案】D故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．A．1 B． C． D．【答案】C故選：C.A．2 B．4 C．5 D．10【答案】B【分析】確定直線所過的定點(diǎn)，再求出圓心到該定點(diǎn)的距離，進(jìn)而確定圓心到直線距離的取值范圍，最后根據(jù)三角形面積公式求出面積的最大值.故選:B．【鞏固練習(xí)】【答案】C【分析】根據(jù)圓的方程求出圓心和半徑，再根據(jù)直線截圓弦長公式求解參數(shù)的值.故選：.【答案】D【分析】根據(jù)直線方程確定其所過的定點(diǎn)，再判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，結(jié)合直線與圓相交弦長最小時(shí)定點(diǎn)與圓心所在直線與垂直，最后應(yīng)用幾何法求弦長.故選：D【答案】B設(shè)AC和BD中點(diǎn)分別為F，G，可知四邊形EFMG為矩形．故選：B.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B即弦心距，故選：BA．3 B． C．4 D．【答案】B故選：B專題八數(shù)形結(jié)合求最值【答案】C故選：C.【鞏固練習(xí)】【答案】因?yàn)閮芍本€，始終垂直，點(diǎn)C是兩條直線的交點(diǎn)，可得最小值為．故答案為：.【分析】（1）（2）（3）（4）根據(jù)目標(biāo)式的幾何意義，結(jié)合圖形，利用圓的性質(zhì)求解即可.【答案】故答案為：，.專題九直線與圓的位置關(guān)系綜合題A．點(diǎn)到直線的距離小于B．點(diǎn)到直線的距離大于【答案】ACD如下圖所示：故選：ACD.C．存在實(shí)數(shù)，使得直線與圓相切【答案】ACD所以由圖可知，圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有個(gè)，故B錯(cuò)誤，即存在實(shí)數(shù)，使得直線與圓相切，所以C正確，故選：ACD.【答案】ACD故選：ACD．【答案】ACD故選：ACD.【鞏固練習(xí)】A．與圓不一定存在公共點(diǎn)B．圓心到的最大距離為【答案】ABD故選：ABD.【答案】ACD故A正確；如圖，如圖，故選：ACDD．弦所在直線必過定點(diǎn)【答案】BD所以中點(diǎn)即為中點(diǎn)，故選：BD．【答案】ACD如圖：如圖：故選：ACD.知識要點(diǎn)四圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系兩圓相交，由兩個(gè)公共點(diǎn)；兩圓相切，包括外切與內(nèi)切，只有一個(gè)公共點(diǎn)兩圓相離，包括外離與內(nèi)含，沒有公共點(diǎn)外離圓與圓的位置關(guān)系的判定方法幾何法：利用圓心距和兩圓半徑比較大小，設(shè)圓O1與圓O2的圓心距為d位置關(guān)系關(guān)系式圖示公切線條數(shù)外離d>四條外切d=三條相交|兩條內(nèi)切d=|一條內(nèi)含d<|無代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)即可作出判斷.當(dāng)>0時(shí)，兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，相交；當(dāng)=0時(shí)，兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，包括內(nèi)切與外切；當(dāng)<0時(shí)，兩圓無公共點(diǎn)，包括內(nèi)含與外離.求兩圓公切線求兩圓的公切線方程時(shí)，首先要判斷兩圓的位置關(guān)系，從而確定公切線的條數(shù)，然后利用待定系數(shù)法，求出公切線方程四、兩圓相交弦長（1）公共弦所在的直線方程若圓C1:x2+y（2）公共弦長的求法=1\*GB3①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長.=2\*GB3②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解.圓系方程若圓C1:x2+y例題講解專題十判斷圓與圓的位置關(guān)系及公切線條數(shù)A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】C【分析】由直線與圓相切求出，進(jìn)而判斷兩圓位置關(guān)系.故選：C【答案】D【分析】根據(jù)兩圓的公切線數(shù)量得出兩點(diǎn)間距離范圍，再結(jié)合一元二次不等式求解即可.故選:D.（2425高三下·遼寧·期中）圓C1:(x-1)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】計(jì)算圓心距，判斷兩圓位置關(guān)系后即可得公切線條數(shù).即圓心距等于兩半徑之和，因此兩圓外切，所以圓，圓有3條公切線．故選：C【鞏固練習(xí)】A．相離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】B【分析】根據(jù)圓心距與半徑和差的關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系.故選：B【答案】【分析】根據(jù)條件直接求出兩圓的圓心和半徑，再利用兩圓的位置關(guān)系，即可求解.因?yàn)閳A與圓有且僅有三條公切線，所以圓與圓外切，故答案為：.【分析】由題可得兩圓相交，據(jù)此可得答案.專題十一求兩圓的公切線【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.【詳解】[方法一]：填一條即可[方法二]：即為過兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，[方法三]：如圖，A． B．2 C． D．3【答案】D故選：D【鞏固練習(xí)】【答案】BCD【分析】先明確兩圓位置關(guān)系，從而根據(jù)兩圓位置關(guān)系明確公切線的情況，再根據(jù)公切線特征情況分情況直接計(jì)算求解即可.故圓、外切，則兩圓有三條公切線，如圖，故選：BCD．【答案】C【分析】通過計(jì)算可知兩個(gè)圓內(nèi)切，故兩圓相減得到的方程即為所求.所以兩個(gè)圓內(nèi)切，因此與兩圓均相切的直線為兩個(gè)圓的公共弦所在的直線方程，故選：.專題十二兩圓的公共弦A．12或4 B．12或4 C．16或4 D．16或4【答案】B【分析】利用圓的方程求得公共弦所在直線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式，求得弦心距，根據(jù)弦長公式建立方程，求得參數(shù)，結(jié)合圓的方程成立條件檢驗(yàn)，可得答案.故選：B.C．公共弦AB的長為【答案】AD【分析】兩圓的方程作差可知公共弦AB所在直線的方程，由此可判斷AB，利用點(diǎn)到直線距離