專題15.5含30°角的直角三角形的性質(zhì)（舉一反三講義）【人教版2024】TOC\o"13"\h\u【題型1利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求長度】 1【題型2利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求角度】 5【題型3含30°的直角三角形的性質(zhì)解決坐標(biāo)系中的問題】 10【題型4利用含30°的直角三角形的性質(zhì)證明】 14【題型5利用含30°的直角三角形的性質(zhì)解決動點(diǎn)問題】 18【題型6利用含30°的直角三角形的性質(zhì)解決最值問題】 22【題型7利用含30°的直角三角形的性質(zhì)解決翻折問題】 28【題型8含30°的直角三角形的實際應(yīng)用】 32知識點(diǎn)含30°角的直角三角形的性質(zhì)1.性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．2.拓展：（1）該性質(zhì)是含30°角的特殊直角三角形的性質(zhì)，一般的直角三角形或非直角三角形沒有這個性質(zhì)，更不能應(yīng)用．（2）這個性質(zhì)主要應(yīng)用于計算或證明線段的倍分關(guān)系．（3）該性質(zhì)的證明出自于等邊三角形，所以它與等邊三角形聯(lián)系密切．（4）在有些題目中，若給出的角是15°時，往往運(yùn)用一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和將15°的角轉(zhuǎn)化后，再利用這個性質(zhì)解決問題．【題型1利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求長度】【例1】（2425八年級下·河南鄭州·期中）如圖，等邊三角形ABC的邊長為9，D為AC邊上一動點(diǎn)，E為AB延長線上一動點(diǎn)，DE交CB于點(diǎn)P，點(diǎn)P為DE中點(diǎn)．若DE⊥AC，則CD長為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】過點(diǎn)D作DF∥AB，交BC于F，先證△CDF是等邊三角形，再證△PDF≌△PEB，得CD=BE，設(shè)BE=x，則BE=CD=x,AD=9?x,AE=9+x，最后根據(jù)在直角三角形中，30°的角所對的邊是斜邊的一半，計算9?x=1【詳解】解：如下圖，過點(diǎn)D作DF∥AB，交BC于F，

∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ABC=∠C=60°，∵DF∥∴∠CDF=∠A=60°,∠DFC=∠ABC=60°,∠DFP=∠EBP，∴△CDF是等邊三角形，∴CD=DF，∵點(diǎn)P為DE中點(diǎn)，∴PD=PE，在△PDF和△PEB中，∠DFP=∠EBP∠DPF=∠EPB∴△PDF≌△PEB，∴DF=BE，∴CD=BE，∵DE⊥AC，∴∠ADE=90°，∴∠E=90°?∠A=30°，設(shè)BE=x，則BE=CD=x,AD=9?x,AE=9+x，∴9?x=1解得：x=3，∴CD=3，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，在直角三角形中，30°的角所對的邊是斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是作輔助線證明△PDF≌△PEB．【變式11】（2425八年級下·廣東揭陽·期中）如圖，△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的角平分線，點(diǎn)D在AB的垂直平分線上，若AD=6，則CD=．【答案】3【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、等邊對等角、直角三角形的性質(zhì)，由角平分線的定義可得∠ABD=∠CBD，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD=BD=6，從而可得∠A=∠ABD，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出∠A=∠ABD=∠CBD=30°，最后由直角三角形的性質(zhì)即可得解，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵BD是∠ABC的角平分線，∴∠ABD=∠CBD，∵點(diǎn)D在AB的垂直平分線上，∴AD=BD=6，∴∠A=∠ABD，∵△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠ABD+∠CBD=90°，∴∠A=∠ABD=∠CBD=30°，∴CD=1故答案為：3．【變式12】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB交BC于點(diǎn)D，AD=2，則BC的長是（）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】D【分析】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求得BD=2AD=4，由等邊對等角以及三角形內(nèi)角和定理求得∠BAC=180°?∠B?∠C=120°，進(jìn)而求得∠CAD=∠BAC?∠BAD=30°，再根據(jù)等邊對等角得到AD=CD=2，最后根據(jù)BC=BD+DC即可得解．【詳解】解：∵AD⊥AB，∴△ABD為直角三角形，又∠B=30°，AD=2，∴BD=2AD=2×2=4，∵AB=AC，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAC=180°?∠B?∠C=180°?30°?30°=120°，∵AD⊥AB，即∠BAD=90°，∴∠CAD=∠BAC?∠BAD=120°?90°=30°，∴△ACD是等腰三角形，即AD=CD=2，∴BC=BD+DC=4+2=6，故選：D．【變式13】已知等邊△ABC中AD⊥BC，AD=12，若點(diǎn)H在線段AD上運(yùn)動，12AH+CH取最小值時，DH的值為【答案】4【分析】過點(diǎn)H作HE⊥AB于點(diǎn)E，連接CE，利用含30度的直角三角形的性質(zhì)得到EH=12AH，可得12AH+CH=EH+CH≥CE，繼而得出當(dāng)C、H、E【詳解】解：如圖，過點(diǎn)H作HE⊥AB于點(diǎn)E，連接CE，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=1∴EH=1∴12當(dāng)C、H、E三點(diǎn)依次在同直線上時，12此時，CE⊥AB，∠ACE=∠CAD=∠BCE=30°，∴AH=CH，DH=1∴DH=1故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三邊關(guān)系的應(yīng)用，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是找到動點(diǎn)H的位置．【題型2利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求角度】【例2】（2425八年級上·安徽合肥·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D是直線AB上的一點(diǎn)，且滿足BD=12AB，則【答案】30°或60°/60°或30°【分析】此題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，分兩種情況考慮：當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上和點(diǎn)D在AB延長線上，分別畫出圖形解答即可，利用分類討論的思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時，如圖1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°∴BC=12AB∵BD=1∴BC=BD，∴△BCD為等邊三角形，∴∠BDC=60°；當(dāng)點(diǎn)D在AB延長線上時，如圖2所示，同理可得BD=BC，∴∠BCD=∠BDC∵∠ABC=60°，∠BCD+∠BDC=∠ABC，∴∠BDC=∠BCD=30°；綜上，∠BDC=30°或60°，故答案為：30°或60°．【變式21】如圖，在矩形ABCD中，ADAB=12，將矩形ABCD繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到矩形AB′C′D【答案】30【分析】根據(jù)題意易得AB【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠DAB=90°，∵ADAB∴AB=2AD，∵將矩形ABCD繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到矩形AB∴∠D∴∠DB∴∠DAB∴∠DAD故答案為30．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式22】如圖，在△ABC中，中線CM與高線CD三等分∠ACB，則∠B的度數(shù)為．【答案】30°/30度【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的判定得出△ACD≌△MCD，確定AD=DM=12AM=12BM．過點(diǎn)M作【詳解】解：解：根據(jù)題意得：CD⊥AB,AM=MB,∠∵∠ACD=∴△ACD≌△MCD．∴AD=DM=1過點(diǎn)M作MN⊥BC于點(diǎn)N，∵∠DCM=∴DM=NM．∴NM=1∴在Rt△MNB中，∠故答案為：30°．【變式23】（2425八年級上·黑龍江·期中）已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD=12BC，則等腰三角形ABC【答案】15°或45°或75°【分析】本題考查了30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的兩底角相等的性質(zhì)，以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，難點(diǎn)在于要分情況討論求解．作出圖形，分①點(diǎn)A是頂點(diǎn)時，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BD=CD，從而得到AD=BD=CD，再利用等邊對等角的性質(zhì)可得∠B=∠BAD，然后利用直角三角形兩銳角互余求解即可；②點(diǎn)A是底角頂點(diǎn)，AD在△ABC外部時，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠ACD=30°，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求解即可得到底角是15°，③點(diǎn)A是底角頂點(diǎn)，AD在△ABC內(nèi)部時，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠C=30°，然后再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求解即可．【詳解】解：①如圖1，點(diǎn)A是頂點(diǎn)時．

∵AB=AC，∴BD=CD，∵12∴AD=BD=CD．∵在Rt△ABD中，AD=BD∴∠B=∠BAD=1②如圖2，點(diǎn)A是底角頂點(diǎn)，且AD在△ABC外部時．

∵BC=2AD，∴AD=1∴∠ACD=30°，∴∠BAC=∠ABC=1③如圖3，點(diǎn)A是底角頂點(diǎn)，且AD在△ABC內(nèi)部時．

∵BC=2AD，∴AD=1∴∠C=30°，∴∠BAC=∠ABC=1綜上所述，△ABC底角的度數(shù)為45°或15°或75°．【題型3含30°的直角三角形的性質(zhì)解決坐標(biāo)系中的問題】【例3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)是0，4，以為邊在右側(cè)作等邊三角形OAA1，過點(diǎn)A1作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)O1，以O(shè)1A1為邊在右側(cè)作等邊三角形O1A1A2，再過點(diǎn)A2A．122021 B．122022 C．【答案】A【分析】利用含30°的直角三角形的最短邊是斜邊的一半解題即可．【詳解】解：∵三角形OAA1為等邊三角形，∴∠AOA∴O1同理得：O2A2綜上可得：O故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查含30°的直角三角形的性質(zhì)，能夠熟記性質(zhì)并能夠熟練進(jìn)行指數(shù)計算是解題關(guān)鍵．【變式31】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線MN分別與x軸，y軸交于點(diǎn)M，N，且OM=6，∠OMN=30°，等邊△AOB的頂點(diǎn)A，B分別在線段MN，OM上，則OB的長為（A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】證明△OAM為直角三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可得出答案．【詳解】解：∵△AOB為等邊三角形，∴∠AOB=60°，OA=OB，∴∠OAM=180°?∠OMN?∠AOM=90°，∴△OAM為直角三角形，∵∠OMN=30°，∴OB=OA=1故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是求出OA的長．【變式32】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△OAB的斜邊OB在x軸上，∠ABO=30°，若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為【答案】4,0【分析】本題主要考查了含30度角直角三角形的特征，解題的關(guān)鍵是掌握含30度角的直角三角形，30度角所對的邊是斜邊的一半．過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)C，先得出∠OAC=30°，則OA=2OC=2，進(jìn)而得出OB=2OA=4，即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)C，∵Rt△OAB中∠ABO=30°∴∠AOB=60°，∵AC⊥OB，∴∠OAC=30°，∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，∴OC=1，∴OA=2OC=2，∵∠ABO=30°，∴OB=2OA=4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為4,0，故答案為：4,0．【變式33】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,2，ΔAOP是等邊三角形，點(diǎn)B在點(diǎn)A的上方，以BP為邊長作等邊ΔPBC，連接CA，延長線段CA交x軸于點(diǎn)(1)直接寫出圖中與線段OB長度相等的線段：________；(2)線段AE的長度是否為一定值，若為定值，請給出定值并證明，若不是定值，請給出線段AE的取值范圍；【答案】(1)AC(2)AE是定值，AE=4【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出OP=AP，BP=PC，∠APO=∠CPB=60°，求出（2）先求出∠EAO=60°，求出∠AEO=30°，得出AE=2AO，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵△BPC和△AOP是等邊三角形∴OP=AP，∴∠APO+∠APB=∠BPC+∠APB即∠OPB=∠APC在△PBO和△PCA中OP=PA∴△PBO≌△PCA（SAS）∴OB=AC，故答案為：AC；（2）解：當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動時，AE的長度不發(fā)生變化理由是：∵A(0∴OA=2由（1）可得△PBO≌△PCA∴∠CAP=∠BOP=60°∵∠PAO=∴∠EAO=180°?60°?60°=60°∵∠AOE=90°∴∠AEO=30°∴AE=2AO=4．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．【題型4利用含30°的直角三角形的性質(zhì)證明】【例4】（2425八年級下·江西上饒·期中）如圖，將△ABC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，DE的延長線與AC相交于點(diǎn)F，連接AD、BF，且BF=AF．(1)求證：AD∥BC；(2)求證：AD=2AE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟知等邊三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BD=BA，∠ABD=∠ABC=60°，則可證明△ABD是等邊三角形，進(jìn)而可得（2）由等邊三角形的性質(zhì)得到AD=BD，∠BDA=60°，再證明DF垂直平分AB，則∠AED=90°，∠ADE=1【詳解】（1）證明；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BD=BA，∴△ABD是等邊三角形，∴∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC；（2）證明：∵△ABD是等邊三角形，∴AD=BD，∠BDA=60°，又∵BF=AF，∴BF=AF，∴DF垂直平分AB，∴∠AED=90°，∴AD=2AE．【變式41】（2425八年級下·廣東河源·期中）如圖，在△ABC中，CA=CB,∠A=30°，D是AC的中點(diǎn)，DE⊥AC交AB于點(diǎn)E．求證：BE=2AE．【答案】見詳解【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊對等角，30度角的直角三角形，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)等邊對等角，得∠B=∠A=30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)得∠ACB=120°，再結(jié)合DE⊥AC交AB于點(diǎn)E．D是AC的中點(diǎn)，得ED是AC的垂直平分線，則∠ECA=∠A=30°，∠BCE=90°，運(yùn)用30度角所對的直角邊是斜邊的一半，即可作答．【詳解】解：∵CA=CB,∠A=30°，∴∠B=∠A=30°，∠ACB=180°?30°?30°=120°，∵DE⊥AC交AB于點(diǎn)E．D是AC的中點(diǎn)，∴ED是AC的垂直平分線，∴AE=CE，∴∠ECA=∠A=30°，∴∠BCE=120°?30°=90°，在Rt△BCE中，∠B=30°則BE=2EC，∵AE=CE，∴BE=2AE．【變式42】（2425八年級下·廣東梅州·階段練習(xí)）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E在邊BC、AC上，且BD=CE，連接AD、BE交于點(diǎn)F．(1)求證：△ABD≌△BCE；(2)過點(diǎn)A作AG⊥BE，求線段AF與GF的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)證明見解析(2)AF=2GF【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）利用等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定即可證明；（2）利用全等三角形的性質(zhì)得到∠BAD=∠CBE，推出∠AFG=60°，結(jié)合AG⊥BE即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=CA，∠ABD=∠BCE=60°，在△ABD和△BCE中，AB=BC∠ABD=∠BCE∴△ABD≌△BCESAS（2）解：∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，∴∠AFG=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABD=60°，∵AG⊥BE，∴∠AGB=90°，∴∠FAG=30°，∴AF=2GF．【變式43】（2425八年級上·河南周口·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，D是AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長線上，ED的延長線交AB于點(diǎn)F，且EF⊥AB，若∠A與∠ACE互補(bǔ)，∠E=30°．(1)求證：△ABC是等邊三角形．(2)請判斷線段AD與CE的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)AD=CE，見解析【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識，熟記等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠B=60°，再求出AB=CB，根據(jù)“有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形”即可得解；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)求出∠CDE=30°=∠E，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得解．【詳解】（1）證明：∵EF⊥AB，∴∠BFE=90°，∴∠B+∠E=90°．∵∠E=30°，∴∠B=60°．∵∠ACB+∠ACE=180°，∠A+∠ACE=180°，∴∠A=∠ACB，∴AB=CB，∴△ABC是等邊三角形．（2）解：AD=CE．理由：由（1）得△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°．∵∠AFD=90°∴∠ADF=30°．∵∠CDE=∠ADF，∴∠CDE=30°，∴∠E=∠CDE，∴CE=CD．∵D是AC邊的中點(diǎn)，∴AD=CD．∴AD=CE．【題型5利用含30°的直角三角形的性質(zhì)解決動點(diǎn)問題】【例5】（2425八年級上·山西大同·期末）如圖，在△ABC中，AB=6cm，BC=5cm，∠B=60°，動點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)B、C同時出發(fā)，其中點(diǎn)M以2cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，點(diǎn)N以1?cm/s的速度沿CB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，當(dāng)M、N其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為tsA．1 B．1或52 C．1或2 D．2或【答案】B【分析】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．分兩種情況討論△BMN為直角三角形的情況，再結(jié)合路程公式求解即可．【詳解】解：∵點(diǎn)M以2cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，點(diǎn)N以1?cm/s的速度沿CB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，∴BM=2tcm，BN=BC?CN=當(dāng)∠BMN=90°時，∵∠B=60°，∴∠BNM=30°，∴BN=2BM，∴5?t=2×2t，∴t=1；當(dāng)∠BNM=90°時，∵∠B=60°，∴∠BMN=30°，∴BM=2BN，∴2t=2×5?t∴t=5∵當(dāng)M、N其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，點(diǎn)M從B到A所需時間為6÷2=3s，點(diǎn)N從C到B所需時間為5÷1=5∴0≤t≤3；∵t=1和t=52均滿足∴t的值為1或52故選B．【變式51】如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點(diǎn)，由A向C運(yùn)動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一動點(diǎn)，與點(diǎn)P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運(yùn)動（Q不與B重合），連接PQ交AB于D．當(dāng)∠BQD=30°時，AP的長為．【答案】2【分析】先證明CQ=2CP，由此構(gòu)建方程求解，可得答案．【詳解】解：∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，設(shè)AP=x，則PC=6?x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°∴PC=12QC解得x=2，∴AP=2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會考慮構(gòu)建方程解決問題．【變式52】如圖∠MAN=60°，若△ABC的頂點(diǎn)B在射線AM上，且AB=2，動點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個單位沿射線AN運(yùn)動，當(dāng)運(yùn)動時間t的取值范圍是秒時，△ABC是銳角三角形．【答案】1<t<4【分析】過B作BE⊥AN于E，BF⊥AM，BF交AN于F，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得AE,AF的長即可求解．【詳解】解：如圖，過B作BE⊥AN于E，BF⊥AM，BF交AN于F，則∠AEB=90°，∠ABF=90°，∵∠MAN=60°，∴∠ABE=30°，∠AFB=30°，∵AB=2，∴AE=12AB=1∴當(dāng)運(yùn)動時間t的取值范圍是1<t<4秒時，△ABC是銳角三角形．故答案為：1<t<4．【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的分類，理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式53】（2425八年級下·江西九江·期中）如圖，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，點(diǎn)P，Q分別從頂點(diǎn)A，B同時出發(fā)，點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動，點(diǎn)Q沿折線BC?CA運(yùn)動，且它們的速度都為1cm/s．當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動．連接PQ，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為ts．當(dāng)PQ與△ABC的一條邊垂直時，t=【答案】2或4或8【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)等知識，分三種情形：如圖1中，當(dāng)PQ⊥BC時，如圖2中，當(dāng)QP⊥AB時，同法可得QB=2BQ，如圖3中，當(dāng)PQ⊥AC時，同法可得AP=2AQ，分別求解即可；【詳解】解：由題意BQ=tcm，PB=①如圖1中，當(dāng)PQ⊥BC時，∵∠PQB=90°，∴∠BPQ=30°，∴PB=2BQ，∴6?t=2t，∴t=2．如圖2中，當(dāng)QP⊥AB時，同法可得QB=2PB，∴t=26?t∴t=4．③如圖3中，當(dāng)PQ⊥AC時，同法可得AP=2AQ，∴t=212?t∴t=8，綜上所述，滿足條件的t的值為2或4或8．故答案為：2或4或8．【題型6利用含30°的直角三角形的性質(zhì)解決最值問題】【例6】（2425九年級上·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=16，點(diǎn)D是BC邊上一個動點(diǎn)，連接AD，將△ABD繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AEF，連接CF，則在點(diǎn)D運(yùn)動過程中，線段CF長度的最小值為（

A．8 B．4 C．2 D．1【答案】B【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)和垂線段最短，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．延長EF，過點(diǎn)C作CG⊥EF于點(diǎn)G，先證明點(diǎn)A、C、E在同一直線上，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出∠AEF=∠B=30°，根據(jù)垂線段最短，得出點(diǎn)F在點(diǎn)G處時，EF最小，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出結(jié)果即可．【詳解】解：延長EF，過點(diǎn)C作CG⊥EF于點(diǎn)G，如圖所示：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=90°?30°=60°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：AB=AE=16，∠BAE=∠DAF=60°，∴∠BAC=∠BAE，∴點(diǎn)A、C、E在同一直線上，∵△BAD≌△EAF，∴∠AEF=∠B=30°，∴點(diǎn)F在直線EG上，∵垂線段最短，∴點(diǎn)F在點(diǎn)G處時，EF最小，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°∴AC=1∴CE=AE?AC=16?8=8，∵∠CGF=90°，∠CEG=30°，∴CG=1∴CF的最小值為4．故選：B．【變式61】（2425八年級上·福建廈門·期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，D為BC上一動點(diǎn)，EF垂直平分AD分別交AC于E、交AB于F，則BF的最大值為（

A．43 B．32 C．8【答案】C【分析】本題考查了直角三角形的特征，線段垂直平分線的性質(zhì)，連接DF，過F作FG⊥BC交于G，由直角三角形的特征得AB=2AC=4，由線段垂直平分線的性質(zhì)得AF=DF，BF=AB?AF=4?DF，當(dāng)DF取得最小值時，BF取得最大值，當(dāng)DF=FG時，DF取得最小值，即可求解；直角三角形的特征，線段垂直平分線的性質(zhì)，能找出取得最大值的條件是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接DF，過F作FG⊥BC交于G，∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，∴AB=2AC=4，∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴BF=AB?AF=4?DF，當(dāng)DF取得最小值時，BF取得最大值，∵DF≥FG，∴當(dāng)DF=FG時，DF取得最小值，此時DF與FG重合，如圖，∴DF=1∴BF=4?1解得：BF=8故選：C．【變式62】（2425九年級上·廣東廣州·期中）如圖，邊長為4的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個動點(diǎn)，連接MB．將線段BM繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接HN，則在點(diǎn)M運(yùn)動過程中，線段HN長度的最小值是（

）A．16 B．12 C．1【答案】C【分析】取CB的中點(diǎn)G，連接MG，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得MB=NB，然后利用“邊角邊”證明△MBG≌△NBH，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得HN=MG，然后根據(jù)垂線段最短可得MG⊥CH時最短，再根據(jù)∠BCH=30°求解即可．【詳解】解：如圖，取BC的中點(diǎn)G，連接MG，則BG=CG=1由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠MBN=60°，BM=BN，∴∠MBH+∠HBN=60°，∵三角形ABC是等邊三角形，CH是等邊△ABC的高線，∴∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，BH=12AB=2∴∠HBN=∠MBC，BH=BG，在△MBG和△NBH中，BG=BH∠MBG=∠NBH∴△MBG≌△NBH(SAS∴MG=NH，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)MG⊥CH時，MG最短，此時HN最短，∵∠BCH=30°，CG=2，∴在Rt△CGM中，MG=∴線段HN長度的最小值是1，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短，含30°的直角三角形等，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．【變式63】如圖，OE是等邊△AOB的中線，OB=8，C是直線OE上一動點(diǎn)，以AC為邊作等邊三角形ACD，連接ED，下列說法正確的是（A．ED的最小值是2 B．ED有最大值C．ED的最小值是4 D．ED沒有最小值也沒有最大值【答案】A【分析】取OA中點(diǎn)K，連接CK，EK，證明△ACK≌△ADE，得出CK=DE，當(dāng)CK⊥CE時，CK最小，故DE【詳解】如圖，取OA中點(diǎn)K，連接CK，∵OE是等邊△AOB的中線，∴OA=AB，AK=AE，∵以AC為邊作等邊三角形ACD，∴∠CAD=∠OAB=60°，∴∠CAD?∠OAD=∠OAB?∠OAD，即∠OAC=∠BAD，∴△ACK≌△ADESAS∴CK=DE，∴當(dāng)DE最小時，CK最小，當(dāng)CK⊥CE時，CK最小，∴DEmin∵∠ADE=30°，∴CK=1∴DE故選：A．【點(diǎn)睛】本題是幾何最值問題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【題型7利用含30°的直角三角形的性質(zhì)解決翻折問題】【例7】如圖，在△ABC中，AB=5，BC=9，∠B=60°，點(diǎn)D在邊BC上，CD=4，連接AD．將△ACD沿直線AD翻折后，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，作EF⊥BC，垂足為F，則FD=

【答案】2【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，及直角三角形的性質(zhì)．先證明△ABD是等邊三角形，則可得∠ADB=60°，則∠ADC=120°，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得∠FDE=60°，和DE的長．在Rt△EFD中，根據(jù)“直角三角形中30°角所對的邊等于斜邊的一半”即可求出FD【詳解】解：∵BC=9,CD=4，∴BD=9?4=5．∵△ABD中，AB=5,BD=5,∠B=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ADB=60°，∴∠ADC=180°?∠ADB=120°．根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，∠ADE=∠ADC=120°,DE=DC=4，∴∠FDE=∠ADE?∠ADB=60°．又∵EF⊥BC，∴∠EFD=90°，∴∠FED=30°，∴FD=1故答案為：2．【變式71】如圖，RtΔABC中，∠C=90°，當(dāng)ΔABC沿折痕BE翻折時，點(diǎn)C恰好落在AB的中點(diǎn)D上.若BE=6，則AC的長是（A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】先證明EA=EB，再證明∠EAB=∠EBA=∠EBC=30°，根據(jù)30°角所對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半得出EC的長，之后進(jìn)一步求解即可.【詳解】∵∠BDE=∠C=90°，∴ED⊥AB，∵AD=DB,∴EA=EB=6，∴∠EAB=∠EBA=∠EBC，又∵∠BEC=∠EAB=∠EBA，∴∠BEC＋∠EBC=3∠EBC=90°，∴∠EBC=30°，∵BE=6，∴EC=12∴AC=EA＋EC=9.所以答案為C選項.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的折疊問題已經(jīng)直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.【變式72】如圖，將一塊長方形紙片ABCD沿BD翻折后，點(diǎn)C與E重合，BE交AD于點(diǎn)H，若∠CBD=30°，EH=2，則BC的長度為．【答案】6【分析】由翻折得到∠EBD=∠CBD=30°，∠C=∠E=90°，利用長方形的性質(zhì)得到∠ADB=∠CBD，推出BH=DH，證明△ABH≌△EDH，得到AH=EH=2，求出∠ABH=90°?30°?30°=30°，由此求出【詳解】解：由翻折得∠EBD=∠CBD=30°，∠C=∠E=90°，在長方形ABCD中，AD∥BC，BC=AD，∴∠ADB=∠CBD，∴∠ADB=∠EBD，∴BH=DH，∵∠A=∠E,∠AHB=∠EHD，∴△ABH≌∴AH=EH=2，∵∠ABH=90°?30°?30°=30°，∴BH=2AH=4，∴BC=AD=AH+DH=2+4=6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題考查了翻折的性質(zhì)，長方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式73】如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=9，點(diǎn)D為AB邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)E在AC邊上，DE∥BC，將△ADE沿DE翻折，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為F，連接BF．當(dāng)△BDF為直角三角形時，AD的長為

【答案】3或6【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．分兩種情況畫圖討論：當(dāng)∠BFD=90°時，點(diǎn)F在△ABC內(nèi)，當(dāng)∠DBF=90°時，點(diǎn)F在△ABC外，進(jìn)而解答即可．【詳解】解：∵∠ABC=60°，DE∥∴∠ADE=∠ABC=60°，由折疊可得∠FDE=∠ADE=60°，∴∠BDF=60°，當(dāng)∠BFD=90°時，點(diǎn)F在△ABC內(nèi)（如圖所示），∵∠BDF=60°，∴∠DBF=30°，∴BD=2DF，由折疊得DF=AD，∴BD=2AD，∴3AD=9，∴AD=3；當(dāng)∠DBF=90°時，點(diǎn)F在△ABC外，同理可得AD=DF=2BD，∴3BD=9，∴BD=3；∴AD=6．綜上所述：AD的長為3或6．故答案為：3或6．【題型8含30°的直角三角形的實際應(yīng)用】【例8】小亮想測量屋前池塘的寬度，他結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，設(shè)計了如圖1的測量方案：先在池塘外的空地上任取一點(diǎn)O，連接AO，CO，并分別延長至點(diǎn)B，點(diǎn)D，使OB=OA，OD=OC，連接(1)如圖1，求證：AC=BD；(2)如圖2，但在實際測量中，受地形條件的影響，于是小亮采取以下措施：延長CO至點(diǎn)D，使OC=OD，過點(diǎn)D作AC的平行線DE，延長AO至點(diǎn)F，連接EF，測得∠DEF=120°，∠OFE=90°，【答案】(1)見詳解(2)池塘寬度AC為23【分析】本題主要考查了對頂角相等、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）利用“SAS”證明△OAC≌△OBD，由全等三角形的性質(zhì)可證明結(jié)論；（2）延長DE,AF交于點(diǎn)B，根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”可知∠C=∠D，進(jìn)而利用“ASA”證明△OAC≌△OBD，得AC=BD；然后證明△BEF為含30度角的直角三角形，∠B=30°，根據(jù)“直角三角形中30度角所對的直角邊等于斜邊的一半”可得BE=2EF=18m，進(jìn)而可解得BD=BE+D